דמיון מטריצות

דמיון הוא יחס שקילות בין מטריצות ריבועיות מאותו גודל, המוגדר באופן כזה ששתי מטריצות דומות זו לזו אם הן מייצגות את אותה טרנספורמציה לינארית, בבסיסים שונים.

המונח 'דמיון' בהקשר זה אינו מוצלח, משום שמדובר במקרה פרטי של יחס הצמידות מתורת החבורות. אלא שהמונח השתרש ללא תקנה. גם באנגלית מקובל לקרוא למטריצות דומות similar matrices, בעוד שצמידות היא conjugacy.

הגדרה

תהיינה $\ A, B$ מטריצות ריבועיות בגודל $\ n \times n$. אומרים שהמטריצה $\ A$ דומה למטריצה $\ B$ אם קיימת מטריצה ריבועית הפיכה $\ P$, כך שמתקיים

$\ A = P^{-1}BP$.

נשים לב שיחס הדמיון הוא יחס שקילות:

1. כל מטריצה דומה לעצמה: ניקח $\ P=I$ (מטריצת היחידה) ואז $\ A = I^{-1}AI$.
2. אם A דומה ל B אזי B דומה ל A: אם $\ A = P^{-1}BP$ אזי $\ Q=P^{-1}$ גם היא מטריצה הפיכה ולכן $\ B = Q^{-1}AQ$ ולפי ההגדרה B דומה ל A. בגלל הסימטריות הזאת אפשר לומר ש- $\ A, B$ דומות זו לזו.
3. אם A דומה ל B ו B דומה ל C אזי A דומה ל C:

נניח ש $\ A = P^{-1}BP$ וגם $\ B = Q^{-1}CQ$

אזי $\ A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP)$

וברור גם ש $\ QP$ הפיכה. לכן $\ A$ דומה ל $\ C$ לפי ההגדרה.

כל העתקה לינארית ממרחב וקטורי $\,V$ (בעל ממד סופי) אל עצמו, אפשר לייצג במטריצה ריבועית. הייצוג תלוי בבחירת בסיס למרחב, וכשמייצגים את אותה העתקה בשני בסיסים, מתקבלות מטריצות דומות. מטריצות דומות הן מימושים שונים לאותו אובייקט, ותו לא. זוהי הסיבה לחשיבות של בעיית המיון של מטריצות למחלקות דמיון, כלומר, מציאת דרך לקבוע מתי שתי מטריצות נתונות דומות זו לזו.

מבחינה עקרונית, השאלה אלו מטריצות דומות זו לזו תלויה גם בשדה שמעליו הן מוגדרות. לכאורה, היה צריך לומר ששתי מטריצות $\ A$ ו- $\ B$ בעלות רכיבים בשדה $\ \mathbb F$ הן 'דומות מעל $\ \mathbb F$', אם קיימת מטריצה $\ P$ הפיכה, בעלת מקדמים באותו שדה, המקיימת את התנאי $\ A = P^{-1}BP$. נראה כאילו זה אפשרי שמטריצות תהיינה דומות מעל הרחבה של $\ \mathbb F$ (המאפשרת יותר חופש בבחירת $\ P$), גם אם אינן דומות מעל $\ \mathbb F$. אלא שבפועל המצב פשוט יותר: אם שתי מטריצות המוגדרות מעל $\ \mathbb F$ דומות מעל איזשהו שדה (גדול ככל שיהיה), אז הן דומות כבר מעל $\ \mathbb F$. ההוכחה לעובדה זו דורשת את התאוריה של צורות רציונליות של מטריצות.

דמיון למטריצות מיוחדות

מטריצה הדומה למטריצה אלכסונית (מטריצה שכל איבריה שמחוץ לאלכסון הראשי שווים לאפס) נקראת "מטריצה לכסינה" (או: "מטריצה ניתנת ללכסון"). תנאי הכרחי ומספיק לכך הוא שכל הערכים העצמיים של המטריצה נמצאים בשדה המדובר, ושהריבוי הגאומטרי של כל אחד מהם שווה לריבויו האלגברי. בפרט, זה קורה כאשר למטריצה בגודל $\ n\times n$ ישנם n ערכים עצמיים שונים.

אחד המשפטים החשובים באלגברה לינארית קובע שמעל שדה סגור אלגברית, כל מטריצה דומה למטריצת ז'ורדן אחת ויחידה (עד כדי סדר הבלוקים).

תכונות

לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופייני, ו(לכן) גם אותה דטרמיננטה ואותה עקבה (trace - סכום האיברים באלכסון הראשי). מכאן, יש להן גם אותם ערכים עצמיים (אך לא בהכרח אותם וקטורים עצמיים). יש להן גם אותו פולינום מינימלי. כמו כן יש להן אותה דרגה. אם לשתי מטריצות בגודל $\ 2\times 2$ או $\ 3\times 3$ יש אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי, אז הן דומות. מצד שני, קל להציג מטריצות בעלות אותם פולינום אופייני ופולינום מינימלי (מסדר 4 או יותר, כמובן), שאינן דומות זו לזו.

ראו גם

• אלגברה לינארית
• מטריצה
• טרנספורמציה לינארית
• ערך עצמי

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • יוניטריות • חפיפת מטריצות • טנזור • שדה