שחלוף (מתמטיקה)

באלגברה לינארית, שחלוף (אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i,j) שלה נמצא האיבר ה-(j,i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

הגדרה פורמלית

תהא $\!\, A$ מטריצה מסדר $\!\, n\times m$. המטריצה המשוחלפת שלה, $\!\, A^t$ (מקובלים גם הסימונים $\ A^{T},A^{\top}, {}^tA, A^{tr}, A'$) היא מטריצה מסדר $\!\, m\times n$ שמוגדרת כך: $\!\, (A^t)_{ij}=(A)_{ji}$, עבור כל $\!\, 1\le i\le m, 1\le j\le n$.

דוגמאות:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}^t \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\qquad$

$\qquad \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}^t \!\! \;\! = \, \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;$

תכונות

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

• $\!\, (A+B)^t=A^t+B^t$.
• $\!\, (\lambda A)^t=\lambda (A^t)$.
• $\!\, (AB)^t=B^tA^t$
• $\!\, (A^t)^t=A$

מן התכונות האלה נובע גם שאם $\!\, A$ הפיכה אז גם $\ A^t$ הפיכה ו-$\!\, (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t$.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של $\ A^t$ שווה לזה של $\ A$ , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף

מטריצה ריבועית $\ A$ נקראת סימטרית אם $\ A=A^t$, כלומר $\ A$ שווה למטריצה המשוחלפת שלה. $\ A$ נקראת אנטי-סימטרית אם $\ - A= A^t$.

אם $\ A$ היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים $\ A^{-1} = A^t$, אז $\ A$ נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית $\ A$ היא אורתוגונלית אם ורק אם $\ AA^{t} = A^{t}A = I$, כאשר $\ I$ היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה $\ A$ מסומן $\ A^*$ וכאמור מוגדר לפי $\ (A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}$. אם $\ A$ מקיימת $\ A^* = A$, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה לינארית

ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה לינארית

אם $\ V$ ו-$\ W$ הם מרחבים וקטוריים מעל שדה $\mathbb{F}$ ו-$T:V \to W$ היא העתקה לינארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה $T^{t}:W^{*}\to V^{*}$ בין המרחבים הדואליים של $\ W$ ו-$\ V$ המוגדרת באופן הבא:

$\left(T^{t}g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right)$ לכל $v\in V$ ולכל $g\in W^{*}$.

זוהי העתקה לינארית ודרגתה שווה לדרגת $\ T$. הפונקציונל $\ T^tg$ מכונה לעתים המשיכה לאחור של $\ g$ במקביל ל-$\ T$.

אם $\ V$ ו-$\ W$ הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, $\mathfrak{B}$ הוא בסיס סדור ל-$\ V$ עם בסיס דואלי $\mathfrak{B}^{*}$, $\mathfrak{B}'$ הוא בסיס סדור ל-$\ W$ עם בסיס דואלי $\mathfrak{B}'^{*}$ ו-$\ A$ היא המטריצה המייצגת של $\ T$ ביחס לבסיסים $\mathfrak{B},\mathfrak{B}'$, אז המטריצה המייצגת של $\ T^t$ ביחס לבסיסים $\mathfrak{B}'^{*},\mathfrak{B}^{*}$ היא בדיוק $\ A^t$.