שחלוף (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באלגברה לינארית, שחלוף (אנגלית: Transpose) הוא פעולת ההחלפה בין השורות והעמודות של מטריצה נתונה. הפעולה מקבלת מטריצה בת n שורות ו-m עמודות, ומחזירה מטריצה בת m שורות ו-n עמודות, שבמקום ה-(i,j) שלה נמצא האיבר ה-(j,i) של המטריצה המקורית. השחלוף הוא דוגמה סטנדרטית לאינוולוציה מסוג ראשון. מטריצה ריבועית שפעולת השחלוף אינה משנה אותה נקראת מטריצה סימטרית.

השחלוף AT של מטריצה A יכולה להתקבל על ידי שיקוף של מקדמי המטריצה לאורך האלכסון הראשי. חזרה על הפעולה מחזירה את המקדמים למקומם המקורי.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \!\, A מטריצה מסדר \!\, n\times m. המטריצה המשוחלפת שלה, \!\, A^t (מקובלים גם הסימונים \ A^{T},A^{\top}, {}^tA, A^{tr}, A') היא מטריצה מסדר \!\, m\times n שמוגדרת כך: \!\, (A^t)_{ij}=(A)_{ji}, עבור כל \!\, 1\le i\le m, 1\le j\le n.

דוגמאות:

\begin{bmatrix}
1 & 2  \\
3 & 4 \end{bmatrix}^t \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3  \\
2 & 4 \end{bmatrix}\qquad

\qquad
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^t  \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

פעולת השחלוף מהווה, כאמור, אינוולוציה מסוג ראשון. פירושו של דבר הוא שהפעולה שומרת על החיבור ועל הכפל בסקלר, הופכת את פעולת הכפל, ויש לה סדר 2:

  • \!\, (A+B)^t=A^t+B^t.
  • \!\, (\lambda A)^t=\lambda (A^t).
  • \!\, (AB)^t=B^tA^t
  • \!\, (A^t)^t=A

מן התכונות האלה נובע גם שאם \!\, A הפיכה אז גם \ A^t הפיכה ו-\!\, (A^t)^{-1}=(A^{-1})^t.

הדטרמיננטה של מטריצה זהה לזו של המטריצה המשוחלפת שלה. מכאן נובע שגם הפולינום האופייני של \ A^t שווה לזה של \ A , ולכן יש להן גם אותם ערכים עצמיים. יתרה מזו, כל מטריצה דומה למטריצה המשוחלפת שלה.

מטריצות מיוחדות הקשורות בשחלוף[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטריצה ריבועית \ A נקראת סימטרית אם \ A=A^t, כלומר \ A שווה למטריצה המשוחלפת שלה. \ A נקראת אנטי-סימטרית אם \ - A= A^t.

אם \ A היא מטריצה ריבועית הפיכה ומתקיים \ A^{-1} = A^t, אז \ A נקראת מטריצה אורתוגונלית. כלומר, מטריצה ריבועית \ A היא אורתוגונלית אם ורק אם \ AA^{t} = A^{t}A = I, כאשר \ I היא מטריצת היחידה.

בדומה לפעולת השחלוף אפשר להגדיר גם פעולת הצמדה הרמיטית הכוללת בנוסף לשחלוף גם פעולת הצמדה של אברי השדה. הצמוד ההרמיטי של מטריצה \ A מסומן \ A^* וכאמור מוגדר לפי \ (A^*)_{ij} = \overline{A_{ji}}. אם \ A מקיימת \ A^* = A, היא נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית בדיוק כאשר כל הרכיבים שלה ממשיים. בעניין זה, ראו גם אופרטור הרמיטי.

שחלוף של העתקה לינארית[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מרחב דואלי#שחלוף של העתקה לינארית

אם \ V ו-\ W הם מרחבים וקטוריים מעל שדה \mathbb{F} ו-T:V \to W היא העתקה לינארית, ההעתקה המשוחלפת שלה היא העתקה T^{t}:W^{*}\to V^{*} בין המרחבים הדואליים של \ W ו-\ V המוגדרת באופן הבא:

\left(T^{t}g\right)\left(v\right)=g\left(T\left(v\right)\right) לכל v\in V ולכל g\in W^{*}.

זוהי העתקה לינארית ודרגתה שווה לדרגת \ T. הפונקציונל \ T^tg מכונה לעתים המשיכה לאחור של \ g במקביל ל-\ T.

אם \ V ו-\ W הם מרחבים וקטוריים סוף-ממדיים, \mathfrak{B} הוא בסיס סדור ל-\ V עם בסיס דואלי \mathfrak{B}^{*}, \mathfrak{B}' הוא בסיס סדור ל-\ W עם בסיס דואלי \mathfrak{B}'^{*} ו-\ A היא המטריצה המייצגת של \ T ביחס לבסיסים \mathfrak{B},\mathfrak{B}', אז המטריצה המייצגת של \ T^t ביחס לבסיסים \mathfrak{B}'^{*},\mathfrak{B}^{*} היא בדיוק \ A^t.