תלות לינארית

באלגברה לינארית, קבוצת וקטורים במרחב וקטורי תלויה לינארית אם אפשר להציג אחד מן הווקטורים שלה כצירוף לינארי של וקטורים אחרים בקבוצה.

לדוגמה, שלושת הווקטורים (1, 0, 0), (0,1,0) ו-(0, 0, 1) ב-$\mathbb{R}^3$ בלתי תלויים לינארית, אולם (2, 1-, 1), (1, 0, 1) ו-(3, 1-,2) הם וקטורים תלויים לינארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).

הגדרה

יהא $\ V$ מרחב לינארי מעל שדה $\ \mathbb F$. אם $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ הם וקטורים ב $\ V$, נאמר שהם תלויים לינארית מעל $\ \mathbb F$ אם ישנם סקלרים $\ a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ ב-$\ \mathbb F$, לא כולם אפסים, כך ש- $\ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$ או ביתר קיצור, $\sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = \mathbf{0} \,$.

האפס שבאגף ימין הוא וקטור האפס של $\ V$ ולא סקלר האפס של $\ \mathbb F$. אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots,\mathbf{v}_{n}$ בלתי תלויים לינארית, או בקיצור בת"ל.

מכאן נובע כי הווקטורים $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ הם בלתי תלויים לינארית אם ורק אם מן השוויון $\ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$ נובע בהכרח כי $\ a_{i}=0$ לכל $\ 1\le i\le n$.

המרחב המוקרן על ידי תלות לינארית

תלות לינארית בין וקטורים $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ היא וקטור $\ (a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n})$ עם $\ n$ סקלרים, לא כולם אפס, כך שמתקיים

$\ a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \ldots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

אם קיימת תלות כזו, הווקטורים הם תלויים לינארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות לינארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות לינארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הלינאריות בין הווקטורים $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \ldots, \mathbf{v}_{n}$ יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת-מרחב של $\mathbb{F}^n$.

דוגמאות

הנה מספר דוגמאות שנועדו להבהיר את רעיון התלות הלינארית:

דוגמה א'

הווקטורים (1, 1), (2, -3) ב $\ \mathbb R ^2$ הם בלתי תלויים לינארית

הוכחה: יהיו $\ a$ ו $\ b$ שני מספרים ממשיים כך שמתקיים

$a(1, 1) + b(-3, 2) = (0, 0) \,$

$( a - 3 b , a + 2 b ) = (0, 0) \,$

וכן

$a - 3b = 0 \,$

ו

$a + 2b = 0. \,$

אם נפתור עבור $\ a$ ועבור $\ b$ נמצא כי $\ b=0$ ו $\ a=0$.

דוגמה ב'

יהי $\ V=\mathbb R^n$ נסתכל על הווקטורים הבאים ב $\ V$

$e_1 = (1,0,0,\ldots,0) \,$

$e_2 = (0,1,0,\ldots,0) \,$

$\cdots \,$

$e_n = (0,0,0,\ldots,1) \,$

אז e₁,e₂,...,e_n הם בלתי תלויים לינארית.

הוכחה:

נתבונן בקבוצת סקלרים $\ a_1,a_2,\dots, a_n\in \mathbb{R}$ שעבורם מתקיים

$a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n = 0 \,$

מכיוון ש

$a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n = (a_1 ,a_2 ,\ldots, a_n) \,$

מתקיים $\ a_i=0$ עבור כל i מ 1 עד n.

ראו גם

• אי תלות אלגברית