משפטי ויירשטראס

שני המשפטים שהוכיח קארל ויירשטראס על פונקציות ממשיות הם מן המשפטים היסודיים בחשבון האינפיניטסימלי. המשפטים עוסקים בפונקציות רציפות המוגדרות בקטע סגור וחסום.

המשפט הראשון קובע שפונקציה רציפה בקטע סגור, חסומה שם.

המשפט השני מוסיף וקובע כי הפונקציה מקבלת בקטע ערכי מינימום ומקסימום.

תכונות אלה לא מתקיימות בהכרח בפונקציות רציפות מעל קטעים שאינם סגורים. לדוגמה, הפונקציה $\ f(x)=1/x$ רציפה בקטע $\ (0,1)$, שאינו סגור, ואינה חסומה שם. באופן דומה, הפונקציה $\ g(x)=x$ חסומה בקטע $\ (0,1)$, אבל אינה מקבלת בו מינימום או מקסימום (לכל נקודה בקטע הפתוח יש נקודה שמאלית/ימנית ממנה בקטע ששם מתקבל ערך קטן/גדול יותר בהתאמה).

שני המשפטים חלים גם על פונקציות ממשיות של כמה משתנים: פונקציה רציפה המוגדרת על קבוצה סגורה וחסומה ב-$\ \mathbb {R} ^{n}$, היא חסומה, וערכי המינימום והמקסימום שלה מתקבלים.

באופן כללי אף יותר, המשפטים נותנים את אחת התכונות היסודיות של פונקציות המוגדרות על קבוצות קומפקטיות: פונקציה ממשית רציפה המוגדרת על קבוצה קומפקטית היא חסומה, ומקבלת את ערך המקסימום שלה בתחום ההגדרה. כפי שיוסבר בהמשך, הסיבה העקרונית לשתי התכונות היא שתמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת המשפט הראשון

נביא כאן הוכחה עבור פונקציה רציפה $\ f$ המוגדרת על קטע סגור $\ A=[a,b]$ ב- $\ \mathbb {R}$. ההוכחה הכללית עבור קבוצה סגורה וחסומה ב-$\ \mathbb {R} ^{n}$ דומה.

נניח שתמונת $\ f$ אינה חסומה. אם כך, לכל $\ n$ קיימת נקודה $\ x_{n}\in A$ כך ש- $\ f(x_{n})>n$. לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לסדרה שבנינו קיימת תת-סדרה מתכנסת, $\ x_{n_{k}}\rightarrow x$. מכיוון ש-$\ A$ סגורה, $\ x\in A$. אבל $\ f$ רציפה, ולכן $\ f(x)=\lim _{k\rightarrow \infty }f(x_{n_{k}})\geq \lim _{k\rightarrow \infty }n_{k}=\infty$, סתירה.

הוכחת המשפט השני

הוכחה א'

לפי המשפט הראשון, הפונקציה חסומה מלעיל ב-$\ A$. לכן, בשל שלמות הממשיים, קיים לה חסם עליון שנסמן $s=\sup f\left(A\right)$. מכיוון שזהו חסם עליון, קיימת לכל $\ n\in \mathbb {N}$ נקודה $\ x_{n}\in A$ כך ש- $\ s-1/n<f(x_{n})\leq s$. שוב לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס קיימת לסדרה שבנינו תת-סדרה מתכנסת, $\ x_{n_{k}}$, שגבולה $\ x_{0}\in A$. אבל $\ f$ רציפה, ולפי משפט הסנדוויץ' $\ f(x_{0})=\lim _{k\rightarrow \infty }f(x_{n_{k}})=s$, כדרוש.

הוכחה ב'

אפשר להציע הוכחה שונה מעט למשפט השני, הנסמכת על המשפט הראשון במקום על משפט בולצאנו-ויירשטראס: אם s הוא חסם עליון בקטע אבל אינו מתקבל שם, אז $\ s-f(x)>0$ והפונקציה $\ {\frac {1}{s-f(x)}}$ חיובית ורציפה בכל הקטע. לפי המשפט הראשון היא חסומה מלעיל, כלומר קיים $\ z>0$ כך שלכל $x\in A$ מתקיים ${\frac {1}{s-f(x)}}\leq z$. מכך נובע ש- $\ f(x)\leq s-1/z<s$, בסתירה לכך ש- $\ s$ הוא החסם העליון.

הוכחה כללית

לכל שני מרחבים טופולוגיים $\ X,Y$ ופונקציה רציפה $\ f:X\rightarrow Y$, התמונה של קבוצה קומפקטית במרחב X היא קומפקטית במרחב Y (להוכחה עיינו בערך קומפקטיות). כעת נניח שהמרחב השני הוא הישר הממשי עם הטופולוגיה המטרית. נזכיר שקבוצה קומפקטית על הישר הממשי היא קבוצה סגורה וחסומה, ולכן היא כוללת את החסם התחתון והחסם העליון של עצמה. מכאן נובע שפונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית מקבלת שם מקסימום ומינימום.

כדי לסיים את גזירת המשפטים של ויירשטראס עבור קבוצה סגורה וחסומה ב-$\ \mathbb {R} ^{n}$, נשאר להפעיל את משפט היינה-בורל שלפיו קבוצות כאלה הן קומפקטיות.