משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־23:18, 18 בדצמבר 2012

המחשה גרפית של משפט ערך הביניים. u מספר בין ערכי הפונקציה בקצוות הקטע, ולכן קיים c בקטע כך ש- $f(c)=u$ .

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט ערך הביניים מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של פונקציות רציפות כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל גם כל ערך שביניהם.

ניסוח פורמלי

תהי $f$ פונקציה רציפה בקטע $[a,b]$ . יהי $t$ מספר ממשי בין $f(a)$ ל- $f(b)$ (כלומר $f(a)\leq t\leq f(b)$ או $f(b)\leq t\leq f(a)$ ). אזי קיים $c\in [a,b]$ כך ש- $f(c)=t$ .

ניסוח נוסף

קיים ניסוח שקול למשפט ערך הביניים, שנותן תמונה גאומטרית יותר של המצב.

בהינתן קטע סגור $\ I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ופונקציה רציפה $\ f:I\rightarrow \mathbb {R}$ , אזי :

תמונת הקטע $\ f(I)$ היא גם קטע.
מתקיים או ש- $\ [f(a),f(b)]\subseteq f(I)$ או ש $\ [f(b),f(a)]\subseteq f(I)$ .

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות ש- $f(a)\leq f(b)$ (ההוכחה למקרה $f(b)\leq f(a)$ זהה). אנו רוצים למצוא מספר $\ c\in (a,b)$ כך ש- $\ f(c)=t$ עבור $\ t\in (f(a),f(b))$ . נגדיר את הקבוצה הבאה: $\ A=\left\{x\in [a,b]\mid f(x)\leq t\right\}$ . זהו קבוצה לא ריקה (כי $\ a\in A$ ) וחסומה (על ידי $b$ ), מכאן שיש לה חסם עליון, על פי אקסיומת החסם העליון של המספרים הממשיים. נסמן חסם עליון זה $\ c$ , וכעת נוכיח כי $\ f(c)=t$ .

נניח כי $\ f(c)>t$ , אז $\ f(c)-t>0$ , ולכן, מרציפות $\ f$ נובע שקיים $\ \delta >0$ כך שלכל $\ |x-c|<\delta$ מתקיים $\ |f(x)-f(c)|<f(c)-t$ , כלומר $\ f(x)>f(c)-(f(c)-t)=t$ . אבל מאחר ש- $\ c$ הוא חסם עליון של $\ A$ , בכל סביבה שלו יש איבר מתוך $\ A$ , ובפרט קיים $\ x\in A$ כך ש- $\ |x-c|<\delta$ , אבל זו סתירה, כי מהגדרת $\ A$ נובע ש- $\ f(x)\leq t$ .

נניח כי $\ f(c)<t$ , אז $\ t-f(c)>0$ ולכן קיים $\ \delta >0$ כך שלכל $\ |x-c|<\delta$ מתקיים $\ |f(x)-f(c)|<t-f(c)$ , כלומר $\ f(x)<f(c)+(t-f(c))=t$ . כלומר, מצאנו איבר $\ x>c$ שעבורו $\ f(x)<t$ , בסתירה להיות $\ c$ חסם עליון.

מאחר ששללנו את האפשרויות $\ f(c)>t,f(c)<t$ , בהכרח $\ f(c)=t$ , כמבוקש.

הטענה ההפוכה

הטענה כי "אם לכל מספר ממשי $\ y\in \left[c,d\right]$ קיים $\ x\in \left[a,b\right]$ המקיים $\ f(x)=y$ , אז f רציפה", אינה נכונה. דוגמה נגדית למשפט היא הפונקציה $\ f(x)=\sin(1/x)$ שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x=0 (שם מגדירים f(x)=0). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא פונקציית הבסיס-13 של קונוויי.

תכונת ערך הביניים

אומרים שמרחב טופולוגי $X$ ניחן בתכונת ערך הביניים אם לכל פונקציה רציפה $f:X\to \mathbb {R}$ , לכל $a,b\in X$ ולכל $t$ בין $f(a)$ ל- $f(b)$ , קיים $c\in X$ כך ש- $f(c)=t$ . או בנוסח אחר, לכל $f:X\to \mathbb {R}$ רציפה, $f(X)$ הוא קטע.

ראו גם

משפט דארבו

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-[[תמונה:Intermediatevaluetheorem.png|שמאל|ממוזער|300px|המחשה גרפית של משפט ערך הביניים]]
+[[תמונה:Intermediatevaluetheorem.png|שמאל|ממוזער|300px|המחשה גרפית של משפט ערך הביניים. u מספר בין ערכי הפונקציה בקצוות הקטע, ולכן קיים c בקטע כך ש-<math>f(c)=u</math>.]]
 ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''משפט ערך הביניים''' מספק ביסוס פורמלי לתכונה האינטואיטיבית של [[רציפות|פונקציות רציפות]] כפונקציות ש"ניתן לצייר אותן מבלי להרים את העיפרון מהדף". המשפט אומר כי כאשר פונקציה ממשית רציפה מקבלת שני ערכים שונים, היא תקבל גם כל ערך שביניהם.
 ==ניסוח פורמלי==
-תהי <math>f: \left[ a,b \right] \to \mathbb{R}</math> [[רציפות|פונקציה רציפה]], המקיימת <math>f \left( a \right) = c</math>, וכן <math>f \left( b \right) = d</math>, עבור <math>c,d \in \mathbb{R}</math>.
+תהי <math>f</math> [[רציפות|פונקציה רציפה]] ב[[קטע]] <math>[a,b]</math>. יהי <math>t</math> מספר ממשי בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math> (כלומר <math>f(a)\le t \le f(b)</math> או <math>f(b)\le t \le f(a)</math>). אזי קיים <math>c \in [a,b]</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>.
-<br>נניח בלי הגבלת הכלליות <math>\ c \le d</math>.
-<br>
-אזי לכל מספר ממשי <math>\ y \in \left[ c,d \right]</math> קיים <math>\ x \in \left[ a,b \right]</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math>.
 ===ניסוח נוסף===
@@ שורה 13: / שורה 10: @@
 בהינתן קטע סגור <math> \ I= [a,b]\subseteq\mathbb{R}</math> ופונקציה רציפה <math>\ f:I\rightarrow \mathbb{R}</math>, אזי :
 * תמונת הקטע <math>\ f(I)</math> היא גם קטע.
-* מתקיים או ש <math> \ [f(a),f(b)]\subseteq f(I)</math> או ש  <math> \ [f(b), f(a)] \subseteq f(I)</math>.
+* מתקיים או ש-<math> \ [f(a),f(b)]\subseteq f(I)</math> או ש  <math> \ [f(b), f(a)] \subseteq f(I)</math>.
 ==הוכחה==
-אנו רוצים למצוא מספר <math>\ x\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ f(x)=y</math> עבור <math>\ y\isin(c,d)</math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A=\left\{t\isin[a,b]|f(t)\le y\right\}</math>. ברור כי <math>\ a\isin A</math> ולכן זוהי קבוצה לא ריקה. מכאן שיש לה [[חסם עליון]], על פי [[אקסיומת השלמות]] של [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]]. נסמן חסם עליון זה <math>\ x</math>, וכעת נוכיח כי <math>\ f(x)=y</math>.
+נניח [[ללא הגבלת הכלליות]] ש-<math>f(a)\le f(b)</math> (ההוכחה למקרה <math>f(b)\le f(a)</math> זהה). אנו רוצים למצוא מספר <math>\ c\isin(a,b)</math> כך ש-<math>\ f(c)=t</math> עבור <math>\ t\isin(f(a),f(b))</math>. נגדיר את הקבוצה הבאה: <math>\ A=\left\{x\isin[a,b]\mid f(x)\le t\right\}</math>. זהו קבוצה לא ריקה (כי <math>\ a\isin A</math>) וחסומה (על ידי <math>b</math>), מכאן שיש לה [[חסם עליון]], על פי [[אקסיומת החסם העליון]] של [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]]. נסמן חסם עליון זה <math>\ c</math>, וכעת נוכיח כי <math>\ f(c)=t</math>.
-נניח כי <math>\ f(x)>y</math>, אז <math>\ f(x)-y>0</math>, ולכן, מרציפות <math>\ f</math> נובע שקיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |t-x|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(t)-f(x)|<f(x)-y</math>, כלומר <math>\ f(t)>f(x)-(f(x)-y)=y</math>. אבל מאחר ש-<math>\ x</math> הוא חסם עליון של <math>\ A</math>, בכל סביבה שלו יש איבר מתוך <math>\ A</math>, ובפרט קיים <math>\ t\isin A</math> כך ש-<math>\ |t-x|<\delta</math>, אבל זו סתירה, כי מהגדרת <math>\ A</math> נובע ש-<math>\ f(t)\le y</math>.
+נניח כי <math>\ f(c)>t</math>, אז <math>\ f(c)-t>0</math>, ולכן, מרציפות <math>\ f</math> נובע שקיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(x)-f(c)|<f(c)-t</math>, כלומר <math>\ f(x)>f(c)-(f(c)-t)=t</math>. אבל מאחר ש-<math>\ c</math> הוא חסם עליון של <math>\ A</math>, בכל סביבה שלו יש איבר מתוך <math>\ A</math>, ובפרט קיים <math>\ x\isin A</math> כך ש-<math>\ |x-c|<\delta</math>, אבל זו סתירה, כי מהגדרת <math>\ A</math> נובע ש-<math>\ f(x)\le t</math>.
-נניח כי <math>\ f(x)<y</math>, אז <math>\ y-f(x)>0</math> ולכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |t-x|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(t)-f(x)|<y-f(x)</math>, כלומר <math>\ f(t)<f(x)+(y-f(x))=y</math>. כלומר, מצאנו איבר <math>\ t>x</math> שעבורו <math>\ f(t)<y</math>, בסתירה להיות <math>\ x</math> חסם עליון.
+נניח כי <math>\ f(c)<t</math>, אז <math>\ t-f(c)>0</math> ולכן קיים <math>\ \delta>0</math> כך שלכל <math>\ |x-c|<\delta</math> מתקיים <math>\ |f(x)-f(c)|<t-f(c)</math>, כלומר <math>\ f(x)<f(c)+(t-f(c))=t</math>. כלומר, מצאנו איבר <math>\ x>c</math> שעבורו <math>\ f(x)<t</math>, בסתירה להיות <math>\ c</math> חסם עליון.
-מאחר ששללנו את האפשרויות <math>\ f(x)>y,f(x)<y</math>, בהכרח <math>\ f(x)=y</math>, כמבוקש.
+מאחר ששללנו את האפשרויות <math>\ f(c)>t,f(c)<t</math>, בהכרח <math>\ f(c)=t</math>, כמבוקש.
 ==הטענה ההפוכה==
 הטענה כי "אם לכל מספר ממשי <math>\ y \in \left[ c,d \right]</math> קיים <math>\ x \in \left[ a,b \right]</math> המקיים <math>\ f(x)=y</math>, אז f רציפה", אינה נכונה. [[דוגמה נגדית]] למשפט היא הפונקציה <math>\ f(x) = \sin(1/x)</math> שמקיימת את התנאי אך היא אינה רציפה בנקודה x=0 (שם מגדירים f(x)=0). דוגמה נגדית חזקה יותר, בה הפונקציה אינה רציפה באף נקודה, היא [[פונקציית הבסיס-13 של קונוויי]].
+==תכונת ערך הביניים==
+אומרים ש[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ניחן ב'''תכונת ערך הביניים''' אם לכל פונקציה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] <math>f: X \to \mathbb{R}</math>, לכל <math>a,b\in X</math> ולכל <math>t</math> בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math>, קיים <math>c\in X</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>. או בנוסח אחר, לכל <math>f: X \to \mathbb{R}</math> רציפה, <math>f(X)</math> הוא קטע.
 == ראו גם ==

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד	חשבון אינפיניטסימלי • סדרה • סדרה מתכנסת • גבול • סדרת קושי • טור • אינפיניטסימל • שדה המספרים הממשיים • ערך מוחלט • אי-שוויון המשולש • אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות	פונקציה • גרף פונקציה • פונקציה ליניארית • פונקציה מונוטונית • נקודת קיצון •נקודת פיתול •נקודת אוכף • פונקציה קעורה • פונקציה קמורה • פונקציה רציפה • פונקציה רציפה במידה שווה • נקודת אי רציפות • נגזרת • טור טיילור • סדרת פונקציות • התכנסות נקודתית • התכנסות במידה שווה
משפטים	משפט בולצאנו-ויירשטראס • משפטי ויירשטראס • משפט קנטור • משפט ערך הביניים • משפט פרמה • משפט רול • משפט הערך הממוצע של לגראנז' • משפט הערך הממוצע של קושי • משפט דארבו • כלל השרשרת • כלל הסנדוויץ' • כלל לופיטל • משפט שטולץ • אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל	אינטגרל • אינטגרל לא אמיתי • אינטגרל רב-ממדי • המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי • אינטגרציה בחלקים • שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת	פונקציה מרוכבת • אנליזה וקטורית • שיטת ניוטון-רפסון • משוואה דיפרנציאלית • טופולוגיה • תורת המידה
אנליזה מתמטית • אנליזה וקטורית • טופולוגיה • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה