המשפט היסודי של האלגברה

המשפט היסודי של האלגברה קובע שלכל פולינום לא קבוע עם מקדמים מרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד. זה כולל כמובן פולינומים עם מקדמים ממשיים שכן כל מספר ממשי הוא בפרט מרוכב עם חלק מדומה 0. ניסוח שקול של משפט זה הוא ששדה המספרים המרוכבים הוא שדה סגור אלגברית. שימוש חשוב של משפט זה, שהוא למעשה ניסוח שקול שלו, אומר כי כל פולינום מעל המרוכבים ניתן לכתוב כמכפלה של גורמים ליניאריים.

לעומת שמו של המשפט, אין לו הוכחה שמשתמשת אך ורק באלגברה שכן הגדרת המספרים המרוכבים דורשת את תכונת השלמות של שדה המספרים הממשיים, ודרוש שימוש כלשהו בה. ישנן הוכחות שאופיין אלגברי במהותו, אך כולן משתמשות במשפטים או כלים כלשהם מאנליזה, כדוגמת משפט ערך הביניים.

מן המשפט נובע שכל פולינום לא קבוע מעל המרוכבים מקבל כל ערך מרוכב (כלומר הוא מעתיק את המישור המרוכב על עצמו). זאת מכיוון שהטענה שלמשוואה $p(z)=z_{0}$ יש פתרון שקולה לטענה שלפולינום $p(z)-z_{0}$ יש שורש.

מסקנה מהמשפט

מסקנה חשובה של המשפט היא מיון פולינומים אי-פריקים מעל הממשיים. יהי פולינום

$p(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

בעל מקדמים ממשיים ונאמר שהוא אי-פריק מעל הממשיים. נפרק אותו לגורמים ליניאריים מעל המרוכבים:

$p(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n})$

אפשר לראות די בקלות כי עבור שורש מרוכב של $p$, גם הצמוד של מספר זה הוא שורש מרוכב של $p$.

לכן ניתן לכתוב מחדש $p(z)=(z-\beta _{1})(z-{\bar {\beta }}_{1})\cdots$ כאשר $\beta _{1}$ שורש לא ממשי (בהנחה שיש כזה, אם אין אזי $p$ בבירור ליניארי כי הוא אי-פריק) ועכשיו, ניתן להסתכל על $p$ כמכפלה של $(z-\beta _{1})(z-{\bar {\beta }}_{1})$ פולינום ממשי (אם נפתח סוגריים, נראה כי כל המקדמים ממשיים) ופולינום מרוכב אחר. הפולינום המרוכב הזה הוא גם ממשי, כי הוא מכפלה של ביטויים מצורה דומה. לכן, בהנחה שהפולינום הנוסף הזה הוא לא הפולינום הקבוע 1, קיבלנו סתירה לאי-פריקות $p$ מעל הממשיים. סך הכול קיבלנו את המשפט הבא:

כל פולינום אי פריק מעל הממשיים הוא ליניארי או ריבועי.

הוכחות למשפט היסודי

באמצעות משפט ליוביל

נניח $p:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ פולינום לא קבוע ללא שורשים מרוכבים, המקיים $\lim _{z\to \infty }|p(z)|=\infty$. אם נתבונן בפונקציה $g(z)={\frac {1}{p(z)}}$, הגבול שלה באינסוף הוא 0, ומהיותה פונקציה שלמה (כהרכבה של פונקציות שלמות כאשר ל-$p(z)$ אין אפסים) בפרט היא גם חסומה. ממשפט ליוביל נקבל שהפונקציה $p(z)$ קבועה, וזאת בסתירה להנחה המקורית שהפולינום $p(z)$ לא קבוע. כלומר לפולינום לא קבוע מעל המרוכבים יש לפחות שורש מרוכב אחד.

באמצעות עקרון המינימום

עקרון המינימום הוא מסקנה מעקרון המקסימום:

תהי $f:U\to \mathbb {C}$ פונקציה הולומורפית לא קבועה, כאשר $U$ קבוצה פתוחה וקשירה. אזי קיים ל-$|f(z)|$ מינימום מקומי ב-$z_{0}$ אם ורק אם $f(z_{0})=0$.

הוכחת עקרון המינימום היא בדרך בשלילה, תוך התבוננות בפונקציה ${\frac {1}{f(z)}}$ המקבלת מקסימום מקומי ב-$z_{0}$ – בסתירה לעקרון המקסימום.

פולינום $p:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ הוא פונקציה כזו. אזי מתקיים $\lim _{z\to \infty }|p(z)|=\infty$. מעקרון המינימום, קיים $z_{0}\in \mathbb {C}$ כלשהו עבורו $|p(z_{0})|=\min _{z\,\in \,\mathbb {C} }|p(z)|$ ולכן $p(z_{0})=0$.

באמצעות תורת גלואה

הוכחה זו מבוססת על משפט ערך הביניים, ממנו ניתן להסיק כי לכל פולינום ממעלה אי-זוגית מעליו יש שורש (ממשי). מכאן שפולינום אי-פריק ממעלה אי-זוגית מוכרח להיות ליניארי.

נניח בשלילה שקיימת הרחבה ממימד סופי $K/\mathbb {C}$. מכיוון שגם $K/\mathbb {R}$ ממימד סופי, קיימת הרחבה נורמלית ממימד סופי המכילה אותה. מכיוון שכל הרחבה נורמלית מעל שדה ממאפיין אפס היא ספרבילית, נובע כי $K$ היא הרחבת גלואה.

תהי $G={\text{Gal}}(K/\mathbb {R} )$ חבורת גלואה של ההרחבה $K/\mathbb {R}$. תהי $H$ חבורת 2-סילו של $G$. האינדקס $[G:H]$ של $H$ ב-$G$ הוא אי זוגי. לכן הממד של שדה השבת $L=K^{H}$ מעל $\mathbb {R}$ הוא אי-זוגי, אבל אז הפולינום המינימלי של כל איבר הוא ליניארי, כלומר $L=\mathbb {R}$. מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע כי $G=H$, כלומר $G$ היא חבורת-2, כלומר הסדר שלה הוא חזקה של 2. לכן קיימת לה תת-חבורה מאינדקס 2. שוב מהמשפט היסודי של תורת גלואה נובע שקיימת הרחבת ביניים $\mathbb {C} \leq M\leq K$ כך ש-$[M:\mathbb {C} ]=[G:N]=2$. אבל כל פולינום ממעלה 2 מעל $\mathbb {C}$ מתפרק לגורמים ליניאריים לפי הנוסחה לפתרון משוואה ממעלה שנייה והוצאת שורש לפי משפט דה מואבר. מכאן $N=1$ והממד של $K$ מעל הממשיים הוא 2, כלומר $K=\mathbb {C}$.

באמצעות טופולוגיה אלגברית

הוכחה זו מסתמכת על החבורה היסודית של מעגל היחידה, שכידוע מקיימת $\pi _{1}(S^{1},1)\cong \mathbb {Z}$. נשתמש בסימון $\alpha _{n}$ למסילה $\alpha _{n}(s)=e^{2\pi isn}$ שמקיפה את המעגל $n$ פעמים (כשהסימן של $n$ הוא הכיוון). אנו יודעים כי כל מסילה כזו נמצאת במחלקת שקילות אחרת בחבורה היסודית של מעגל היחידה.

יהי $p(z)$ פולינום מדרגה $n$. נוכל להניח ללא הגבלת הכלליות כי הפולינום מתוקן ונוכל לרשום $p(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}$. נניח כעת כי לפולינום אין שורשים, ונוכיח כי $n=0$.

לכל $0\leq r\in \mathbb {R}$ נגדיר מסילה $f_{r}(s)={\frac {p(re^{2\pi is})/p(r)}{|p(re^{2\pi is})/p(r)|}}$. קל להבחין כי זו מסילה על מעגל היחידה ($S^{1}\subset \mathbb {C}$) עם נקודות קצה $f_{r}(0)=f_{r}(1)=1$.

עבור $r=0$, מתקיים $f_{0}(s)={\frac {p(0)/p(0)}{|p(0)/p(0)|}}=1$, ולכן $f_{0}=\alpha _{0}$.

בנוסף, ברור כי לכל $r$ המסילות $f_{r},f_{0}$ הן הומוטופיות (בעזרת ההומוטופיה $F(t,s)=f_{t}(s)$), ומכאן $f_{r}\sim f_{0}=\alpha _{0}$.

נקבע $r>\max {\Big \{}1,|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|{\Big \}}$. כעת לכל $z$ כאשר $|z|=r$ מתקיים:

${\begin{aligned}|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}|&\leq |a_{n-1}||z^{n-1}|+\cdots +|a_{0}|\\&=|a_{n-1}|r^{n-1}+\cdots +|a_{0}|\\&\leq |a_{n-1}|r^{n-1}+\cdots +|a_{0}|r^{n-1}\\&=r^{n-1}(|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|)\\&<r^{n}=|z^{n}|\end{aligned}}$

כלומר $|a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0}|<|z^{n}|$.

מכאן שלכל $t\in [0,1]$ לפולינום $p_{t}(z)=z^{n}+t(a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{0})$ אין שורשים המקיימים $|z|=r$.

לכל $t\in [0,1]$ נגדיר $g_{t}(s)={\frac {p_{t}(re^{2\pi is})/p_{t}(r)}{|p_{t}(re^{2\pi is})/p_{t}(r)|}}$.
עבור $t=0$ מקבלים $p_{0}(z)=z^{n}$ ולכן $g_{0}(s)={\frac {(re^{2\pi is})^{n}/r^{n}}{|(re^{2\pi is})^{n}/r^{n}|}}=e^{2\pi isn}$, פירוש הדבר $g_{0}=\alpha _{n}$.
עבור $t=1$ מקבלים $p_{1}(z)=p(z)$ ולכן $g_{1}(s)=f_{r}(s)$.
כמקודם, מתקיים שהמסילות $g_{0}$ הומוטופית $g_{1}$ (בעזרת ההומוטופיה $G(t,s)=g_{t}(s)$).

לסיכום, $\alpha _{0}=f_{0}\sim f_{r}=g_{1}\sim g_{0}=\alpha _{n}$, ולכן $\alpha _{0}\sim \alpha _{n}$, ומהחישוב עבור החבורה היסודית של המעגל, הנ"ל מתקיים אם ורק אם $n=0$.

קישורים חיצוניים

• המשפט היסודי של האלגברה, באתר MathWorld (באנגלית)
• המשפט היסודי של האלגברה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)