תורת גלואה

תורת גלואה היא ענף באלגברה העוסק בהרחבות של שדות, ובפרט בקשר בין שדות לבין חבורות, שאותו מנסח המשפט היסודי של ענף זה. התורה נקראת על שמו של אווריסט גלואה.

מבוא

הנוסחאות המוכרות לפתרון משוואה ממעלה שנייה מציגות את הפתרון על ידי פעולות השדה, והוצאת שורש ריבועי. קיימות נוסחאות דומות (אך מסובכות יותר) עבור משוואה ממעלה שלישית ומשוואה ממעלה רביעית. תורת גלואה פותחה בניסיון להראות שמשוואה ממעלה חמישית או יותר לא תמיד ניתן לפתור על ידי סדרה סופית של פעולות אריתמטיות והוצאות שורש. בעזרת התורה הזו מראים גם את אי-הפתירות של הבעיות הגאומטריות של ימי קדם.

הרחבות של שדות

אם $F$ הוא תת-שדה של $K$ (כלומר, תת-קבוצה סגורה לחיבור וכפל ולהיפוך, שהיא לכן שדה בפני עצמה), אז $K$ הוא מרחב וקטורי מעל $F$ ולכן יש לו ממד. קוראים ל-$K$ הרחבה של $F$. איבר של $K$ הוא איבר אלגברי (מעל $F$) אם הוא מהווה שורש של פולינום בעל מקדמים ב-$F$, ואיבר טרנסצנדנטי אחרת. ההרחבה היא אלגברית אם כל איברי $K$ אלגבריים. כל הרחבה מממד סופי היא אלגברית, אבל ההפך אינו נכון. אם $K$ מתקבל על ידי הוספת שורש של פולינום אי פריק בעל מקדמים ב-$F$, אז ההרחבה נקראת הרחבה אלגברית פשוטה, והממד שלה שווה למעלת הפולינום.

חבורת גלואה ושדות פיצול

האובייקט המרכזי של תורת גלואה הוא חבורת גלואה של הרחבת שדות. זוהי חבורה, שאיבריה הם האוטומורפיזמים של השדה הגדול השומרים על אברי השדה הקטן. גודלה של חבורת גלואה של ההרחבה $K/F$ חסום על ידי הממד של $K$ מעל $F$ (הלמה של ארטין). שוויון מתקבל אם ורק אם $K$ הוא שדה פיצול של פולינום ספרבילי מעל השדה $F$. כאשר זה המצב, ההרחבה נקראת הרחבת גלואה.

כל הרחבת גלואה מממד סופי היא שדה פיצול של פולינום ספרבילי אי פריק מעל $F$. במקרה כזה, חבורת גלואה של ההרחבה פועלת באופן טרנזיטיבי על אוסף השורשים של הפולינום. כך אפשר לראות אותה כתת חבורה טרנזיטיבית של החבורה הסימטרית מסדר $n$, כאשר $n$ הוא מעלת הפולינום.

המשפט היסודי של תורת גלואה קובע שאם $K/F$ הרחבת גלואה, אז ישנה התאמה הופכת הכלה בין הרחבות הביניים (תת-השדות של $K$ המכילים את $F$), לבין תת-החבורות של חבורת גלואה $\mathrm {Gal} (K/F)$. בפרט נובע מכך שבכל הרחבה ספרבילית מממד סופי של שדות, יש רק מספר סופי של הרחבות ביניים. מכאן ניתן להראות שכל הרחבה ספרבילית מממד סופי של שדה אינסופי היא פשוטה.

הרחבות רדיקליות ופתירות

הרחבה של שדה על ידי הוספת שורש $m$-י של איבר נקראת הרחבה רדיקלית. אם השדה בעל מאפיין זר ל-$m$, והוא מכיל את כל שורשי היחידה מסדר $m$, אז כל הרחבה כזו היא הרחבה ציקלית של שדות, כלומר הרחבת גלואה עם חבורת גלואה ציקלית, ולהפך - כל הרחבת גלואה ציקלית היא הרחבה רדיקלית. תכונה זו מקנה לשורשי היחידה תפקיד חשוב בתורת גלואה; שורשים אלה נחקרים באמצעות הפולינום הציקלוטומי.

אפשר להציג איבר על ידי סדרה סופית של פעולות בשדה והוצאות שורש, רק כאשר הוא שייך לשדה הרחבה של $F$, שהתקבל על ידי שרשרת של הרחבות רדיקליות. אם אפשר להציג שורש של פולינום באופן כזה, אומרים שהפולינום ניתן לפתרון על ידי רדיקלים.

יהי $F$ שדה (בעל מאפיין זר ל-$n$) המכיל את כל שורשי יחידה מסדר n, ויהי f פולינום ממעלה $n$ בעל מקדמים ב-$F$. נסמן ב-$K$ את שדה הפיצול של $f$ מעל $F$. מן המשפט היסודי של תורת גלואה נובע ש-$f$ ניתן לפתרון על ידי רדיקלים אם ורק אם חבורת גלואה של $K/F$ היא חבורה פתירה. מכיוון שהחבורה הסימטרית ממעלה חמש או יותר אינה פתירה (ומכיוון שאפשר לבנות פולינומים ממעלה $n\geq 5$ מעל שדה המספרים הרציונליים, שחבורת גלואה של שדה הפיצול שלהם היא החבורה הסימטרית כולה), לא ניתן לפתור את הפולינום הכללי ממעלה חמש או יותר על ידי רדיקלים.

ראו גם

• הרחבה ספרבילית (של שדות)
• שדות סופיים
• שדה המספרים הניתנים לבנייה
• הבעיות הגאומטריות של ימי קדם
• בעיית ההיפוך של תורת גלואה
• בעיית נתר
• חבורת גלואה האבסולוטית
• קוהומולוגיית גלואה
• היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תורת גלואה בוויקישיתוף

• גדי אלכסנדרוביץ', מבוא לתורת גלואה, באתר "לא מדויק", 26 באפריל 2018
• גדי אלכסנדרוביץ', המשפט היסודי של תורת גלואה, באתר "לא מדויק", 21 במאי 2018
• תורת גלואה, באתר MathWorld (באנגלית)
• תורת גלואה, דף שער בספרייה הלאומית