לדלג לתוכן

משפט ערך הביניים – הבדלי גרסאות

(שמירת ביניים)
 
==תכונת ערך הביניים==
אומרים ש[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math> ניחן ב'''תכונת ערך הביניים''' אם לכל פונקציה [[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]] <math>f: X \to \mathbb{R}</math>, לכל <math>a,b\in X</math> ולכל <math>t</math> בין <math>f(a)</math> ל-<math>f(b)</math>, קיים <math>c\in X</math> כך ש-<math>f(c)=t</math>. או בנוסח אחר, לכל <math>f: X \to \mathbb{R}</math> רציפה, <math>f(X)</math> הוא קטע. זוהי תכונה טופולוגית, היא נשמרת תחת [[הומיאומורפיזם]]. משפט ערך הביניים אומר שכל קטע הוא מרחב עם תכונת ערך הביניים.
 
מרחב ניחן בתכונת ערך הביניים [[אם ורק אם]] הוא [[מרחב קשיר]] - מרחב שאינו איחוד זר של שתי [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]] לא ריקות (אינטואיטיבית, זהו מרחב העשוי מ"חתיכה אחת"). אם מרחב אינו קשיר, אז ניתן להציגו כאיחוד זר של קבוצות פתוחות לא ריקות A ו-B, ואז הפונקציה
<math>
f(x)= \left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{if } x\in A \\
0 & \mbox{if } x \in B \end{matrix}\right.
</math>
היא רציפה וסותרת את תכונת ערך הביניים. בכיוון השני, אם מרחב הוא קשיר, תמונתו קשירה (כי אם <math>A,B</math> קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן <math>f(X)</math>, <math>f^{-1}(A),f^{-1}(B)</math> הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן <math>X</math>). וקבוצה קשירה ב-<math>\mathbb{R}</math> היא תמיד קטע.
 
למשל קבוצת ה[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]] <math>\mathbb{Q}</math> אינה קשירה ואינה ניחנת בתכונת ערך הביניים. כפי שמעידה לדוגמה הפונקציה הרציפה על הרציונליים:
<math>
f(x)= \left\{\begin{matrix}
1 & \mbox{if } x<\sqrt2 \\
0 & \mbox{if } x>\sqrt2\end{matrix}\right.
</math>.
 
== ראו גם ==