פונקציה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
שלוש פונקציות לינאריות גאומטריות. לאדומה ולכחולה יש שיפוע זהה (m), בעוד לאדומה ולירוקה יש נקודת חיתוך ציר y זהה (n)

פונקציה לינארית או פונקציה קווית היא מושג שמשמש במתמטיקה לתיאור שני מושגים שונים במקצת.

בגאומטריה אנליטית, פונקציה לינארית היא פונקציה פולינומית ממעלה ראשונה בצורת: \!\, f(x)=mx+n כאשר m ו- n הם קבועים. יש אנשים המגדירים את הפונקציות הנ"ל כפונקציות אפיניות.

באלגברה לינארית מגדירים פונקציה לינארית ממרחב וקטורי למישנהו, כפונקציה שמקיימת את שני התנאים הבאים:

  • אדיטיביות: \!\, f(x+y)=f(x)+f(y)
  • הומוגניות: \!\, \alpha f(x)=f(\alpha x)

כאשר x,y וקטורים במרחב ו \!\ \alpha קבוע בשדה מעליו מוגדרים המרחבים הווקטוריים.

תחת הגדרה זו, קל להראות שפונקציה אפינית על המספרים הממשיים היא לינארית רק אם \ n=0.

גרף הפונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה לינארית. כפי שרואים השיפוע קבוע

פונקציות לינאריות (לפי ההגדרה הגאומטרית) נכתבות גם בצורה \!\, y=mx+n וממוקמות על מערכת צירים קרטזית. על הגרף הפונקציה מהווה קו ישר, ומכאן שמה.

הקבוע m מאפיין את שיפוע הפונקציה שהוא יחס השינוי בין הצירים \!\, \left(m=\frac{dy}{dx}\right). יחס זה קבוע לכל אורך הפונקציה. לדוגמה, פונקציה בעלת שיפוע 2 תעלה שתי נקודות בציר האנכי על כל נקודה בציר האופקי, בפונקציה שבה השיפוע הוא 0.5 היחס הפוך, על כל תזוזה של שתי נקודות בציר האופקי הפונקציה תעלה נקודה אחת. שיפוע יכול להיות גם שלילי. פונקציות בעלות שיפוע שווה הן מקבילות.

בחשבון האינפיניטסימלי יש שימוש בפונקציה הקווית על מנת לתאר התנהגות פונקציות ממעלה שנייה בכל נקודה על הגרף. באמצעות גזירת הפונקציה הפרבולית מתקבל שיפוע הפונקציה הקווית המשיקה לפונקציה המקורית לכל x נתון.

הקבוע n מאפיין את נקודת חיתוך הציר האנכי של הפונקציה. לפונקציה יש נקודת חיתוך אחת בלבד עם הציר האנכי. על מנת למצוא את נקודת החיתוך עם הציר האנכי יש להציב \!\, x=0 ובכדי למצוא את נקודת חיתוך הציר האופקי יש להציב \!\, y=0.

כל פונקציה היא ייחודית על פי שני מאפיינים אלו, ובמקרה של שינוי אחד מהקבועים מתקבלת פונקציה לינארית אחרת. בפונקציה זו לכל תמונה יש מקור אחד, קרי, לכל y יש x אחד בשונה מפונקציות ממעלות גבוהות.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • \!\,y=2x-1 - השיפוע הוא 2 ונקודת חיתוך הציר האנכי היא (1-).
  • \!\,y=-x+5 - שיפוע – (1-), נק' חיתוך – 5.
  • \!\,f(x)=3x - שיפוע – 3, נק' חיתוך – ראשית הצירים.
  • \!\,f(x)=4 - השיפוע הוא אפס. זהו קו אופקי שחוצה את הציר האנכי ב- 4.

המשוואה מסוג \!\,x=n אינה פונקציה משום שלמקור אחד יש אינסוף תמונות.

דוגמאות לשימושים מעשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

כפי שהוסבר הפונקציה הלינארית מתארת יחס קבוע בין שני משתנים, במילים אחרות, כל משתנה התלוי במכפלת משתנה אחר בקבוע. לדוגמה, אם נתון שכיכר לחם עולה שני שקלים, הסכום שישולם תלוי ביחס ישיר לכמות הכיכרות. במקרה זה התמונה (y) היא הסכום שישולם, המקור (x) הוא מספר הכיכרות והיחס הקבוע (m) הוא מחיר הלחם, שני שקלים. הגרף שיתאר את הסכום הכללי כפונקציית הכיכרות יהיה לינארי. פונקציה מהסוג \ y = m x נקראת יחס ישר.

דוגמאות מעשיות נוספות:

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]