אופרטור הרמיטי

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אופרטור הרמיטי הוא אופרטור לינארי ממרחב מכפלה פנימית לעצמו, הצמוד לעצמו. כל האופרטורים ההרמיטיים הם לכסינים אוניטרית, ואפשר לאפיין אותם בכך שהכל הערכים העצמיים שלהם ממשיים. האופרטורים האלו קרויים כך על-שם המתמטיקאי שארל הרמיט.

לאופרטורים הרמיטיים תפקיד מרכזי במכניקת הקוונטים, שבה כל גודל פיזיקלי מדיד (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצגים על ידי אופרטור הרמיטי. תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור.

אופרטורים במרחב מכפלה פנימית

יהי H מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים. לכל אופרטור לינארי $\ A:H\to H$ מוגדר האופרטור הצמוד $\ A^{*}:H\to H$, לפי החוק

$\ (1)\quad \quad \quad \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle$

(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם $\ A^{\dagger }$, מבטאים כ"A דאגר"). לדוגמא, אם H הוא מרחב הילברט ו-A אופרטור חסום, אז לפי משפט ההצגה של ריס גם $\ A^{*}$ חסום. אם $\ A^{*}=A$, אומרים ש-A צמוד לעצמו.

משפט הפירוק הספקטרלי מבטיח שכל אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו הוא לכסין אוניטרית. יתרה מזו, לכל וקטור עצמי v של A עם ערך עצמי $\ \lambda$, מתקיים

$\ \lambda \langle v,v\rangle =\langle Av,v\rangle =\langle v,A^{*}v\rangle =\langle v,Av\rangle =\langle v,\lambda v\rangle ={\bar {\lambda }}\langle v,v\rangle$,

ולכן $\ \lambda$ ממשי. מכאן שיש למרחב בסיס אורתוגונלי (ובמקרה האינסוף-ממדי מערכת אורתונורמלית שלמה) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.

אם נגדיר נורמה אופרטורית על ידי

$(2)\quad \quad \quad \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}$

אזי

$\|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op}$.

יתרה מכך,

$(3)\quad \quad \quad \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}$

יש לשים לב ש-$A^{*}A$ אופרטור הרמיטי שכן $(A^{*}A)^{*}=A^{*}(A^{*})^{*}=A^{*}A$, ובאופן דומה גם $AA^{*}$ הוא הרמיטי. בתוספת עובדה זו מסקנה (3) הופכת לשימושית, שכן $A^{*}A$ ניתן ללכסון אוניטרי ולכן

$\|A\|_{op}={\sqrt {\|A^{*}A\|_{op}}}={\sqrt {\max\{|\lambda |\in \mathbb {R} \ :\ \lambda {\mbox{ is an eigenvalue of }}A^{*}A\}}}$

דבר המקל על חישוב הנורמה האופרטורית, שכן במקרה זה הנורמה של A נקבעת על ידי הערך העצמי המקסימלי של $A^{*}A$.

אופרטורים על מרחב סופי

על מרחב הווקטורים המרוכבים $\ \mathbb {C} ^{n}$ מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית $\ \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\bar {y}}_{k}$ אותה אפשר לפרש ככפל מטריצות של וקטור שורה בווקטור עמודה (האחרון מוצמד על ידי צמוד מרוכב). לכל מטריצה $\ A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ מתאים אופרטור הכפל $\ {\vec {z}}\mapsto A{\vec {z}}$ (ביתר דיוק: A היא המטריצה המייצגת של אופרטור הכפל ביחס לבסיס הסטנדרטי). האופרטור הצמוד מתאים למטריצה A הוא $\ A^{*}={\overline {A^{t}}}={\overline {A}}^{t}$ (בכתיב לפי רכיבים: $A_{ij}^{*}={\overline {(A_{ji})}}$ ). כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת משחלוף והפעלת הצמוד המרוכב.

עבור מטריצות ממשיות, אם כך, מטריצה היא הרמיטית אם ורק אם היא סימטרית. מטריצות סימטריות ממשיות הן לכסינות אורתוגונלית אפילו מעל הממשיים.

דוגמאות

1. אופרטור הזהות $\mathrm {id} :\mathbb {H} \to \mathbb {H}$ הוא אופרטור הרמיטי.
2. בפרט, לכל $n\in \mathbb {N}$ טבעי, מטריצת היחידה $I_{n}$ היא מטריצה הרמיטית מעל $\mathbb {R} ^{n}$ ו-$\mathbb {C} ^{n}$ .
3. יהי $\mathbb {H} =\mathbb {R} ^{2}$, אזי כל מטריצה סימטרית A היא אופרטור הרמיטי. שכן,

   $\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\left[x_{1}\ x_{2}\right]A\left[{\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\end{matrix}}\right]=\left(A^{t}\left[{\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}}\right]\right)^{t}\left[{\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\end{matrix}}\right]=\langle A^{t}\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$

4. מעל $\mathbb {H} =\mathbb {C} ^{2}$ הצמוד ההרמיטי של $A=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right]$ הוא $A^{*}={\overline {A}}^{t}={\overline {A^{t}}}=\left[{\begin{matrix}{\bar {a}}_{11}&{\bar {a}}_{21}\\{\bar {a}}_{12}&{\bar {a}}_{22}\end{matrix}}\right]$.
5. מעל $\mathbb {H} =\mathbb {C} ^{2}$ מטריצות פאולי $\sigma _{x}=\left[{\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}}\right]\quad ,\quad \sigma _{y}=\left[{\begin{matrix}0&-i\\i&0\end{matrix}}\right]\quad ,\quad \sigma _{z}=\left[{\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}}\right]\quad :$ הן מטריצות הרמיטיות.
6. יהי $\mathbb {H} =C^{2}(I)\cap L^{2}(I)$ מרחב הפונקציות הממשיות הגזירות פעמיים ברציפות ואינטגרביליות לבג בריבוע שמתאפסות בקצות הקטע $I\subset \mathbb {R}$, עם מכפלה פנימית $\langle f,g\rangle =\int _{I}f(x)g(x)\mathrm {d} x$, אזי האופרטור ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}$ (גזירה פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן

   $\langle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},g\rangle =\int _{I}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)g(x)\mathrm {d} x=-\int _{I}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\right)\mathrm {d} x=\int _{I}f(x){\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} x^{2}}}\mathrm {d} x=\langle f,{\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} x^{2}}}\rangle$ (השתמשנו פעמיים באינטגרציה בחלקים)

ראו גם

• תורת שטורם-ליוביל על פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות אופרטורים הרמיטיים.