אופרטור הרמיטי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־02:13, 7 באוקטובר 2020

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אופרטור הרמיטי הוא אופרטור ליניארי ממרחב מכפלה פנימית לעצמו, הצמוד לעצמו (כלומר שווה לאופרטור הצמוד אליו).

כל האופרטורים ההרמיטיים הם לכסינים אוניטרית, והם מקיימים את התכונה שכל הערכים העצמיים שלהם ממשיים. האופרטורים האלו קרויים כך על-שם המתמטיקאי שארל הרמיט.

לאופרטורים הרמיטיים תפקיד מרכזי במכניקת הקוונטים, שבה כל גודל פיזיקלי מדיד (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצג על ידי אופרטור הרמיטי. תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור.

אופרטורים במרחב מכפלה פנימית

יהי $H$ מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים. לכל אופרטור ליניארי $A\colon H\to H$ מוגדר האופרטור הצמוד $A^{*}\colon H\to H$ , לפי החוק

\ \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle

(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם $\ A^{\dagger }$ , מבטאים כ"A דאגר"). לדוגמה, אם $H$ הוא מרחב הילברט ו- $A$ אופרטור חסום, אז לפי משפט ההצגה של ריס גם $A^{*}$ חסום. אם $A^{*}=A$ , אומרים ש- $A$ צמוד לעצמו.

משפט הפירוק הספקטרלי מבטיח שכל אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו הוא לכסין אוניטרית. יתרה מזו, לכל וקטור עצמי $v$ של $A$ עם ערך עצמי $\lambda$ , מתקיים

\ \lambda \langle v,v\rangle =\langle \lambda v,v\rangle =\langle Av,v\rangle =\langle v,A^{*}v\rangle =\langle v,Av\rangle =\langle v,\lambda v\rangle ={\bar {\lambda }}\langle v,v\rangle

,

ולכן $\lambda$ ממשי. מכאן שיש למרחב בסיס אורתוגונלי (ובמקרה האינסוף-ממדי מערכת אורתונורמלית שלמה) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.

כל אופרטור אפשר לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי, לפי הנוסחה הפשוטה $\ A={\frac {1}{2}}(A+A^{*})+{\frac {1}{2}}(A-A^{*})$ . מחצית הסכום $A+A^{*}$ היא, אם כך, המרכיב ההרמיטי של האופרטור. גם המכפלות $AA^{*}$ ו- $A^{*}A$ תמיד הרמיטיות, ויש להן תכונה שימושית נוספת: $\|AA^{*}\|=\|A\|\|A^{*}\|=\|A\|^{2}$ , כאשר $\ \|A\|$ מסמן את הנורמה של $A$ כאופרטור.

אופרטורים על מרחב סופי

על מרחב הווקטורים המרוכבים $\ \mathbb {C} ^{n}$ מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית $\ \langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\bar {y}}_{k}$ אותה אפשר לפרש ככפל מטריצות של וקטור שורה בווקטור עמודה (האחרון מוצמד על ידי צמוד מרוכב). לכל מטריצה $A\in \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ מתאים אופרטור הכפל ${\vec {z}}\mapsto A{\vec {z}}$ (ביתר דיוק: A היא המטריצה המייצגת של אופרטור הכפל ביחס לבסיס הסטנדרטי). האופרטור הצמוד מתאים למטריצה $A$ הוא $A^{*}={\overline {A^{\mathrm {T} }}}={\overline {A}}^{\mathrm {T} }$ (בכתיב לפי רכיבים: $A_{ij}^{*}={\overline {(A_{ji})}}$ ). כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת משחלוף והפעלת הצמוד המרוכב.

עבור מטריצות ממשיות, אם כך, מטריצה היא הרמיטית אם ורק אם היא סימטרית. מטריצות סימטריות ממשיות הן לכסינות אורתוגונלית אפילו מעל הממשיים.

דוגמאות

אופרטור הזהות $\mathrm {id} \colon \mathbb {H} \to \mathbb {H}$ הוא אופרטור הרמיטי.
בפרט, לכל $n\in \mathbb {N}$ טבעי, מטריצת היחידה $I_{n}$ היא מטריצה הרמיטית מעל $\mathbb {R} ^{n}$ ו- $\mathbb {C} ^{n}$ .
יהי $\mathbb {H} =\mathbb {R} ^{2}$ , אזי כל מטריצה סימטרית $A$ היא אופרטור הרמיטי. שכן,
$\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\left[x_{1}\ x_{2}\right]A\left[{\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\end{matrix}}\right]=\left(A^{t}\left[{\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}}\right]\right)^{t}\left[{\begin{matrix}y_{1}\\y_{2}\end{matrix}}\right]=\langle A^{t}\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$ .
מעל $\mathbb {H} =\mathbb {C} ^{2}$ הצמוד ההרמיטי של $A=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right]$ הוא $A^{*}={\overline {A}}^{t}={\overline {A^{t}}}=\left[{\begin{matrix}{\bar {a}}_{11}&{\bar {a}}_{21}\\{\bar {a}}_{12}&{\bar {a}}_{22}\end{matrix}}\right]$ .
מעל $\mathbb {H} =\mathbb {C} ^{2}$ מטריצות פאולי $\sigma _{x}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$ הן מטריצות הרמיטיות.
יהי $\mathbb {H} =C^{2}(I)\cap L^{2}(I)$ מרחב הפונקציות הממשיות הגזירות פעמיים ברציפות ואינטגרביליות לבג בריבוע שמתאפסות בקצות הקטע $I\subset \mathbb {R}$ , עם מכפלה פנימית $\langle f,g\rangle =\int _{I}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x$ , אזי האופרטור ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}$ (גזירה פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן,
$\left\langle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},g\right\rangle =\int _{I}\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}}\right)g(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{I}\left({\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\right)\left({\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} x}}\right)\mathrm {d} x=\int _{I}f(x){\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\left\langle f,{\frac {\mathrm {d} ^{2}g}{\mathrm {d} x^{2}}}\right\rangle$ (השתמשנו פעמיים באינטגרציה בחלקים).

ראו גם

תורת שטורם-ליוביל על פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות אופרטורים הרמיטיים.

@@ שורה 8: / שורה 8: @@
 == אופרטורים במרחב מכפלה פנימית ==
-יהי <math>H</math> [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]. לכל אופרטור ליניארי <math>\ A : H \to H</math> מוגדר ה[[אופרטור צמוד|אופרטור הצמוד]] <math>\ A^* : H \to H</math>, לפי החוק
+יהי <math>H</math> [[מרחב מכפלה פנימית]] מעל [[שדה המספרים המרוכבים|המרוכבים]]. לכל אופרטור ליניארי <math>A \colon H \to H</math> מוגדר ה[[אופרטור צמוד|אופרטור הצמוד]] <math>A^* \colon H \to H</math>, לפי החוק
 : <math>\ \lang Ax , y \rang = \lang x, A^* y \rang</math>
-(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>, מבטאים כ"A [[צלבון|דאגר]]"). לדוגמה, אם <math>H</math> הוא [[מרחב הילברט]] ו-<math>A</math> [[אופרטור ליניארי חסום|אופרטור חסום]], אז לפי [[משפט ההצגה של ריס]] גם <math>\ A^*</math> חסום. אם <math>\ A^* = A</math>, אומרים ש-<math>A</math> '''צמוד לעצמו'''.
+(את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם <math>\ A^{\dagger}</math>, מבטאים כ"A [[צלבון|דאגר]]"). לדוגמה, אם <math>H</math> הוא [[מרחב הילברט]] ו-<math>A</math> [[אופרטור ליניארי חסום|אופרטור חסום]], אז לפי [[משפט ההצגה של ריס]] גם <math>A^*</math> חסום. אם <math>A^* = A</math>, אומרים ש-<math>A</math> '''צמוד לעצמו'''.
-[[משפט הפירוק הספקטרלי]] מבטיח שכל אופרטור [[אופרטור קומפקטי|קומפקטי]] '''צמוד לעצמו''' הוא [[לכסון אוניטרי|לכסין אוניטרית]]. יתרה מזו, לכל [[וקטור עצמי]] <math>v</math> של <math>A</math> עם [[ערך עצמי]] <math>\ \lambda</math>, מתקיים
+[[משפט הפירוק הספקטרלי]] מבטיח שכל אופרטור [[אופרטור קומפקטי|קומפקטי]] '''צמוד לעצמו''' הוא [[לכסון אוניטרי|לכסין אוניטרית]]. יתרה מזו, לכל [[וקטור עצמי]] <math>v</math> של <math>A</math> עם [[ערך עצמי]] <math>\lambda</math>, מתקיים
 :<math>\ \lambda \lang v, v\rang = \lang \lambda v , v \rang = \lang Av, v\rang = \lang v, A^* v\rang = \lang v, A v \rang= \lang v, \lambda v\rang = \bar{\lambda}\lang v, v\rang</math>,
-ולכן <math>\ \lambda</math> [[מספר ממשי|ממשי]]. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] (ובמקרה האינסוף-ממדי [[מערכת אורתונורמלית שלמה]]) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
+ולכן <math>\lambda</math> [[מספר ממשי|ממשי]]. מכאן שיש למרחב [[בסיס אורתוגונלי]] (ובמקרה האינסוף-ממדי [[מערכת אורתונורמלית שלמה]]) שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
-כל אופרטור אפשר לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי, לפי הנוסחה הפשוטה <math>\  A = \frac{1}{2}(A+A^*)+\frac{1}{2}(A-A^*)</math>. מחצית הסכום <math>\ A+A^*</math> היא, אם כך, המרכיב ההרמיטי של האופרטור. גם המכפלות <math>\ AA^*</math> ו- <math>\ A^*A</math> תמיד הרמיטיות, ויש להן תכונה שימושית נוספת: <math>\ \|AA^*\|=\|A\|\|A^*\|=\|A\|^2</math>, כאשר <math>\ \|A\|</math> מסמן את ה[[נורמה של אופרטור|נורמה]] של <math>A</math> כאופרטור.
+כל אופרטור אפשר לפרק לסכום של מרכיב הרמיטי ומרכיב אנטי-הרמיטי, לפי הנוסחה הפשוטה <math>\  A = \frac{1}{2}(A+A^*)+\frac{1}{2}(A-A^*)</math>. מחצית הסכום <math>A+A^*</math> היא, אם כך, המרכיב ההרמיטי של האופרטור. גם המכפלות <math>AA^*</math> ו- <math>A^*A</math> תמיד הרמיטיות, ויש להן תכונה שימושית נוספת: <math>\|AA^*\|=\|A\|\|A^*\|=\|A\|^2</math>, כאשר <math>\ \|A\|</math> מסמן את ה[[נורמה של אופרטור|נורמה]] של <math>A</math> כאופרטור.
 ==אופרטורים על מרחב סופי==
-על מרחב ה[[מרחב וקטורי|ווקטורים]] ה[[מספר מרוכב|מרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}^n</math> מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית <math>\ \lang \vec{x}, \vec{y} \rang = \sum_{k=1}^{n} x_k \bar{y}_k </math> אותה אפשר לפרש כ[[כפל מטריצות]] של וקטור שורה בווקטור עמודה (האחרון מוצמד על ידי [[צמוד מרוכב]]). לכל מטריצה <math>\ A \in \operatorname{M}_n(\mathbb{C})</math> מתאים אופרטור הכפל <math>\ \vec{z} \mapsto A \vec{z}</math> (ביתר דיוק: A היא ה[[מטריצה מייצגת|מטריצה המייצגת]] של אופרטור הכפל ביחס ל[[הבסיס הסטנדרטי|בסיס  הסטנדרטי]]). האופרטור הצמוד מתאים למטריצה <math>A</math> הוא <math>\ A^* = \overline{A^t} = \overline{A}^t</math> (בכתיב לפי רכיבים: <math> A^*_{ij} = \overline{(A_{ji})}</math> ). כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת מ[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] והפעלת ה[[צמוד מרוכב|צמוד המרוכב]].
+על מרחב ה[[מרחב וקטורי|ווקטורים]] ה[[מספר מרוכב|מרוכבים]] <math>\ \mathbb{C}^n</math> מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית <math>\ \lang \vec{x}, \vec{y} \rang = \sum_{k=1}^{n} x_k \bar{y}_k </math> אותה אפשר לפרש כ[[כפל מטריצות]] של וקטור שורה בווקטור עמודה (האחרון מוצמד על ידי [[צמוד מרוכב]]). לכל מטריצה <math>A \in \operatorname{M}_n(\mathbb{C})</math> מתאים אופרטור הכפל <math>\vec{z} \mapsto A \vec{z}</math> (ביתר דיוק: A היא ה[[מטריצה מייצגת|מטריצה המייצגת]] של אופרטור הכפל ביחס ל[[הבסיס הסטנדרטי|בסיס הסטנדרטי]]). האופרטור הצמוד מתאים למטריצה <math>A</math> הוא <math>A^* = \overline{A^\mathrm{T}} = \overline{A}^\mathrm{T}</math> (בכתיב לפי רכיבים: <math> A^*_{ij} = \overline{(A_{ji})}</math> ). כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת מ[[שחלוף (מתמטיקה)|שחלוף]] והפעלת ה[[צמוד מרוכב|צמוד המרוכב]].
 עבור מטריצות ממשיות, אם כך, מטריצה היא הרמיטית אם ורק אם היא [[מטריצה סימטרית|סימטרית]]. מטריצות סימטריות ממשיות הן לכסינות אורתוגונלית אפילו מעל הממשיים.
@@ שורה 26: / שורה 26: @@
 == דוגמאות ==
-# [[פונקציית הזהות|אופרטור הזהות]] <math>\mathrm{id}: \mathbb{H} \to \mathbb{H}</math> הוא אופרטור הרמיטי.
+# [[פונקציית הזהות|אופרטור הזהות]] <math>\mathrm{id} \colon \mathbb{H} \to \mathbb{H}</math> הוא אופרטור הרמיטי.
-# בפרט, לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> טבעי, [[מטריצת היחידה]] <math>I_n</math> היא מטריצה הרמיטית מעל <math>\mathbb{R}^n</math> ו-<math>\mathbb{C}^n</math> .
+# בפרט, לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> טבעי, [[מטריצת היחידה]] <math>I_n</math> היא מטריצה הרמיטית מעל <math>\mathbb{R}^n</math> ו-<math>\mathbb{C}^n</math>.
-# יהי <math>\mathbb{H} = \mathbb{R}^2</math>, אזי כל מטריצה סימטרית A היא אופרטור הרמיטי. שכן,
+# יהי <math>\mathbb{H} = \mathbb{R}^2</math>, אזי כל מטריצה סימטרית <math>A</math> היא אופרטור הרמיטי. שכן,
 #:<math> \langle \mathbf{x} , A \mathbf{y} \rangle = \left[ x_1 \ x_2 \right] A \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix}  \right] = \left( A^t \left[ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right] \right)^t \left[ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \langle A^t \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle = \langle A \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle  </math>.
 # מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> הצמוד ההרמיטי של <math>A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right]</math> הוא <math>A^* = \overline{A}^t = \overline{A^t} = \left[ \begin{matrix} \bar{a}_{11} & \bar{a}_{21} \\ \bar{a}_{12} & \bar{a}_{22} \end{matrix} \right]</math>.
-# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> [[מטריצות פאולי]]  <math> \sigma_x = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \quad , \quad \sigma_y = \left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right] \quad , \quad \sigma_z = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \quad : </math> הן מטריצות הרמיטיות.
+# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> [[מטריצות פאולי]]  <math> \sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad
+\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}, \quad
+\sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} </math> הן מטריצות הרמיטיות.
-# יהי <math>\mathbb{H} = C^{2}(I) \cap L^2(I)</math> מרחב הפונקציות הממשיות ה[[נגזרת|גזירות]] פעמיים ברציפות ו[[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] בריבוע שמתאפסות בקצות ה[[קטע]] <math>I \subset \mathbb{R}</math>, עם [[מכפלה פנימית]] <math>\langle f , g \rangle = \int_{I} f(x)g(x)\mathrm{d}x</math>, אזי ה[[אופרטור]] <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}</math> ([[נגזרת|גזירה]] פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן,
+# יהי <math>\mathbb{H} = C^{2}(I) \cap L^2(I)</math> מרחב הפונקציות הממשיות ה[[נגזרת|גזירות]] פעמיים ברציפות ו[[אינטגרל לבג|אינטגרביליות לבג]] בריבוע שמתאפסות בקצות ה[[קטע]] <math>I \subset \mathbb{R}</math>, עם [[מכפלה פנימית]] <math>\langle f , g \rangle = \int_{I} f(x)g(x) \, \mathrm{d}x</math>, אזי ה[[אופרטור]] <math>\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}</math> ([[נגזרת|גזירה]] פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן,
-#:<math>\langle \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} , g \rangle = \int_{I} \left(  \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} \right) g(x) \mathrm{d}x = - \int_{I} \left(  \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}x}
+#:<math>\left\langle \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} , g \right\rangle =
+\int_{I} \left( \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} \right) g(x) \,\mathrm{d}x =
+- \int_{I} \left( \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d}x} \right) \left( \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x} \right) \mathrm{d}x =
-\right) \left( \frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d}x} \right) \mathrm{d}x = \int_{I} f(x)  \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \mathrm{d}x = \langle f ,  \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \rangle </math> (השתמשנו פעמיים ב[[אינטגרציה בחלקים]]).
+\int_{I} f(x) \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \,\mathrm{d}x = \left\langle f ,  \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d}x^2} \right\rangle </math> (השתמשנו פעמיים ב[[אינטגרציה בחלקים]]).
 == ראו גם ==

נושאים באלגברה ליניארית
מושגי יסוד	שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה
וקטורים	סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד
מטריצות	כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן
העתקות	העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית
מרחבי מכפלה פנימית	מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה
תבניות	תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור