התפלגות פואסון

התפלגות פואסון

פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\ \lambda \in (0,\infty)$
תומך	$\ k \in \{0,1,2,\ldots\}$
פונקציית הסתברות (pmf)	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}\!$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\frac{\Gamma(k+1, \lambda)}{k!}\!$
תוחלת	$\ \lambda$
חציון	$\approx\lfloor\lambda+1/3-0.02/\lambda\rfloor$
ערך שכיח	$\lfloor\lambda\rfloor$
שוֹנוּת	$\ \lambda$
אנטרופיה	$\lambda[1\!-\!\ln(\lambda)]\!+\!e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty \frac{\lambda^k\ln(k!)}{k!}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$\exp(\lambda (e^t-1))\,$
צידוד	$\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$
גבנוניות	$\frac{1}{\lambda}$

גרף ההסתברויות בהתפלגות פואסון

בתורת ההסתברות, התפלגות פואסון (Poisson distribution) היא התפלגות של משתנה מקרי בדיד, הקרויה על שם המדען הצרפתי סימאון דני פואסון (1781-1840).

כמו התפלגויות חשובות אחרות, 'התפלגות פואסון' היא למעשה משפחה של התפלגויות בעלת פרמטר אחד, המסומן בדרך כלל באות $\ \lambda$. הפרמטר יכול לקבל כל ערך ממשי חיובי. אם X הוא משתנה מקרי בדיד שמתפלג פואסונית, אז הוא יכול לקבל רק ערכים שלמים אי שליליים, וההסתברות לקבלת הערך k היא

$P\left(X=k\right)=\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$.

התפלגות פואסון מתקבלת כאשר סופרים אירועים נדירים שמתרחשים בפרק זמן נתון. אם האירועים מתרחשים באופן בלתי תלוי ובקצב (ממוצע) קבוע, אזי מספר האירועים שהתרחשו בפרק זמן נתון מתפלג פואסונית.

התפלגות פואסון מתקבלת מהתפלגות בינומית כאשר המכפלה של מספר הניסויים בסיכויי ההצלחה בכל ניסוי נשארת קבועה (ושווה ל- $\ \lambda$), ומספר הניסויים שואף לאינסוף. המשמעות של הפרמטר $\ \lambda$ הוא מספר המאורעות הממוצע המתרחש לכל דגימה. קירוב זה נקרא חוק המספרים הקטנים. הקירוב הזה מתיישב עם העובדה שהתוחלת והשונות של משתנה מקרי פואסוני שוות שתיהן ל-$\ \lambda$.

מאידך, כאשר $\ \lambda\rightarrow \infty$, ההתפלגות של $\ \frac{X - \lambda}{\sqrt{\lambda}}$ מתקרבת להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית.

להתפלגות פואסון חשיבות רבה בתורת התורים. אם מניחים שלקוחות נוספים לתור באופן בלתי תלוי זה בזה, מתברר שזמן ההמתנה בין לקוח ללקוח הוא בעל התפלגות מעריכית, ומספר הלקוחות שנוספים לתור מדי שעה מתפלג פואסונית. התפלגויות אלו מאפיינות זו את זו: זמן ההמתנה בין הופעות בהתפלגות פואסון הוא מעריכי, ומספר ההופעות בזמן קבוע של תופעות שזמן ההמתנה ביניהן מעריכי (עם פרמטר קבוע), הוא פואסוני.

הופעות של התפלגות פואסונית

התפלגות פואסונית מתאימה לתיאור מספר התופעות המתרחשות בפרק זמן מסוים, כאשר ההסתברות להתרחשות התופעה בפרק זמן קצרצר היא קבועה.

הכלכלן לדיסלב פון בורטקייביץ' (אנ') שהיה פרופסור בברלין בשנים 1901-1931, הוא אחד הראשונים שהבינו את החשיבות המעשית של התפלגות פואסון. בספרו "חוק המספרים הקטנים" הוא נתן דוגמאות (מקבריות) רבות, שאחת הידועות שבהן היא ההתפלגות של מספר החיילים בגדוד של חיל הפרשים הפרוסי שנהרגו בשנה מבעיטת סוס.

להלן דוגמאות נוספות:

• מספר האטומים שמתפרקים בפרק זמן נתון בחומר רדיואקטיבי.
• מספר המכוניות שעוברות דרך נקודה מסוימת בכביש בפרק זמן מסוים.
• מספר שיחות הטלפון במרכז תמיכה בדקה.
• מספר הטצ'דאונים בסופרבול האמריקאי.
• מספר המוטציות במקטע DNA לאחר חשיפה מסוימת לקרינה.
• מספר עצי האלון ביחידת שטח של יער.
• מספר הקוצים על חוטר של ורד.
• מספר הדוורים הננשכים על ידי כלבים במשך יום עבודה.

הקשר בין התפלגות פואסון להתפלגות בינומית

כפי שנכתב לעיל, ניתן לראות את התפלגות פואסון בתור גבול של סדרת התפלגויות בינומיות שבה מספר הניסויים שואף לאינסוף, ותוחלת מספר ההצלחות נשארת קבועה.

נקבע פרמטר $\ \lambda$. לכל $\ n$ טבעי נביט בהתפלגות הבינומית של מספר ההצלחות ב-$\ n$ ניסויים בעלי הסתברות הצלחה $\ \frac{\lambda}{n}$, כלומר ההתפלגות $\ X\sim Bin\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)$. נראה ש-$\ \lim_{n\to\infty}P(X=k)=P(Y=k)$ כאשר $\ Y\sim Poisson(\lambda)$.

אכן, $\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!n^k} =1$ משום שזו מנה של פולינומים ב-n; $\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{n}=e^{-\lambda}$ לפי תכונות ידועות של הקבוע e, ו-$\lim_{n\to\infty}\left(1-{\lambda\over n}\right)^{-k}=1$ כי החזקה אינה תלויה ב-$\ n$, והביטוי שבתוך הסוגריים שואף ל-1. לכן $\lim_{n\to\infty} P(X=k)=\lim_{n\to\infty}{n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} =\lim_{n\to\infty}{n! \over (n-k)!k!} \left({\lambda \over n}\right)^k \left(1-{\lambda\over n}\right)^{n-k} = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$, וזו ההסתברות שמשתנה פואסוני עם תוחלת $\ \lambda$ יקבל את הערך k.

ראו גם

• תהליך פואסון