משתמש:Avneref/מתמטיקה/חשבון טנזורים

Mechanics

חשבון טנזורים, טנזור: סדרה מאת כריס-עצמי (eigenchris, λ)

• ערוץ יוטיוב: [1]
• eigenchris קו-פי
• קדם: משתמש:Avneref/מתמטיקה/טנזור

עזרים

לטנזורים

• אקדמיית קהאן: מבוא לטנזורים, סרטון באתר יוטיוב
• טנזורים באופן אינטואיטיבי, סרטון באתר יוטיוב
• דן פלייש. מהו טנזור, סרטון באתר יוטיוב
• חשבון טנזורים 1, סרטון באתר יוטיוב: חוקי המשחק
• הקורסים של ליה ואס, בעיקר: [2]
• טנזור העקמומיות של רימן, סרטון באתר יוטיוב
• טנזור העקמומיות של ריצ'י, סרטון באתר יוטיוב

אחרים של כריס

• קוד לתיקון שגיאות, סרטון באתר יוטיוב

משמעות חדשה לסימנים
סימן	חשבון רב-משתנים ואלגברה ליניארית	חשבון טנזורים
${\vec {e_{1}}},{\boldsymbol {e_{i}}}$	וקטור יחידה (אוקלידי)	נגזרת חלקית
$dx$	שינוי קטן ב-x	תבנית דיפרנציאלית
$\nabla _{\vec {v}}f$	נגזרת כיוונית	נגזרת קו-ואריאנטית

לקלקולוס

• אקדמיית קהאן
• Paul's online math notes
• MOOCs
  • Coursera
  • Edx Harvard
  • MIT open courseware
• Wolfram

כללי

• רשימה

משוואת השדה

• משוואת השדה, ד"ר פיזיקס-איי, סרטון באתר יוטיוב: מאת DrPhysicsA; מפושט; למשל: זמן '58
  • 10 שנים של עבודה של איינשטיין, בסיוע מתמטיקאים-חברים
• יחסות כללית, לאונרד סוסקינד, סטנפורד, אוקטובר 2008, סרטון באתר יוטיוב: יותר מפורט. לאונרד ססקינד, ממייסדי תורת המיתרים

חשבון טנזורים

חשבון

מס. 0

חשבון טנזורים 0, סרטון באתר יוטיוב

מס. 1

חשבון רב-משתנים
נוסחאות שימושיות:

• כלל השרשרת במשתנים מרובים: ${\frac {df}{dt}}=\sum _{i}{{\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {dq^{i}}{dt}}}={\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}{\frac {dq^{i}}{dt}}$
• Total differential ז $df={\frac {\partial f}{\partial q^{i}}}dq^{i}$
• וקטור "מהירות" המשיק לעקומה (הגודל): $\left\|{\frac {d{\vec {R}}}{dt}}\right\|={\sqrt {{\frac {dq^{i}}{dt}}{\frac {dq^{j}}{dt}}({\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial q^{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial q^{j}}})}}$

מס. 2

מערכות צירים
כדאי לבטא את וקטורי הבסיס כנגזרות חלקיות, זה מקל מאד על החשבון בהמשך:

• במערכת צירים קרטזית: ${\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial x}}\equiv {\vec {e_{x}}}$: נגזרת חלקית של וקטור מקום R, בכיוון x = וקטור בגודל 1 (כי על כל תוספת ε ל-x, מתווסף אותו גודל ל-R); והוא בכיוון x = וקטור יחידה.
• ובקוטביות:${\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial r}}\equiv {\tilde {\vec {e_{r}}}};\;\;{\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial \theta }}\equiv {\tilde {\vec {e_{\theta }}}}$; ספרי הלימוד מנרמלים את ${\vec {e_{\theta }}}$ ב-$1 \over r$ כדי שאורכו יהיה קבוע; אבל eigenchris מעדיף לשמור על הזהות בינו לבין הנגזרת החלקית.

בסיסי

מס. 3: היעקוביאן

חשבון טנזורים 3
מעבר, עפ"י כלל השרשרת: ${\tilde {\vec {e_{r}}}}={\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial r}}={\frac {\partial x}{\partial r}}{\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial x}}+{\frac {\partial y}{\partial r}}{\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial y}}={\frac {\partial x}{\partial r}}{\vec {e_{x}}}+{\frac {\partial y}{\partial r}}{\vec {e_{y}}}$, ו-$x=rcos\theta ,y=rsin\theta$ ומכאן: ${\tilde {\vec {e_{r}}}}=cos\theta \cdot {\vec {e_{x}}}+sin\theta \cdot {\vec {e_{y}}};\;\;{\tilde {\vec {e_{\theta }}}}=-rsin\theta \cdot {\vec {e_{x}}}+rcos\theta \cdot {\vec {e_{y}}}$, ומטריצת המעבר: $[F_{r,\theta }^{x,y}]={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&\color {green}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}\\\color {green}{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}=J;\;\;\color {green}{\begin{bmatrix}{\tilde {\vec {e_{r}}}}&{\tilde {\vec {e_{\theta }}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\vec {e_{x}}}&{\vec {e_{y}}}\end{bmatrix}}[F_{r,\theta }^{x,y}]$ (הקליפ תקין). $F={\begin{bmatrix}cos\theta &-rsin\theta \\sin\theta &rcos\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/r&-y\\y/r&x\end{bmatrix}}=J$, והיעקוביאן ההפוך: $B={\begin{bmatrix}{\frac {\partial r}{\partial x}}&{\frac {\partial r}{\partial y}}\\{\frac {\partial \theta }{\partial x}}&{\frac {\partial \theta }{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/r&y/r\\-y/r^{2}&x/r^{2}\end{bmatrix}}=J^{-1}$

מס. 4: נגזרות

נגזרות הן וקטורים

• שדה וקטורי לאורך עקומה
• וקטור-משיק לעקומה (בכתיב איינשטיין): $x=c^{1},y=c^{2};\;\;r=p^{1},\theta =p^{2}$ כאשר: c=cartesian, p=polar; שימוש בכלל השרשרת במשתנים מרובים: ${\frac {d{\vec {R}}}{d\lambda }}={\frac {dc^{i}}{d\lambda }}{\boldsymbol {\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial c^{i}}}}={\frac {dp^{i}}{d\lambda }}{\boldsymbol {\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial p^{i}}}}$, כך בשדה וקטורי, שהמקביל הוקטור-בודד שלו: ${\vec {v}}=v^{i}{\vec {e_{i}}}={\tilde {v^{i}}}{\tilde {\vec {e_{i}}}}$.

מס. 5: טיפולי המרה

חוקי המרה של נגזרת של שדות וקטוריים (קונטרה-ואריאנס)
${\frac {d}{d\lambda }}={\frac {dc^{i}}{d\lambda }}{\boldsymbol {\frac {\partial }{\partial c^{i}}}}={\frac {dp^{i}}{d\lambda }}{\boldsymbol {\frac {\partial }{\partial p^{i}}}};\;\;{\boldsymbol {\frac {\partial }{\partial p^{j}}}}={\frac {\partial c^{i}}{\partial p^{j}}}{\boldsymbol {\frac {\partial }{\partial c^{i}}}};\;\;{\boldsymbol {\frac {\partial }{\partial c^{j}}}}={\frac {\partial p^{i}}{\partial c^{j}}}{\boldsymbol {\frac {\partial }{\partial p^{i}}}}$

מס. 5.1

נגזרות הן וקטורים: דיון
ביריעה מסילה, כל וקטור (ישר) יהיה בהכרח אקסטרינזי (חיצוני) ליריעה; קו אינטרינזי (שלא עוזב את היריעה) יהיה בהכרח עקום - ולא יוכל לשמש כוקטור-מקום. רק נגזרות (לאורך מסילה שנחה על היריעה) מאפשרות להתייחס לכיוונים על היריעה באופן אינטרינזי, כלומר לא מצריכות "יציאה מהיריעה". הסימון החדש משתמש במרחב וקטורי של אופרטורי-גזירה, מרחב שנקרא Tangent Vector Space, ומסומן: $T_{p}M$ (נגזרות בנקודה p על היריעה M).

מס. 6: דיפרנציאלים

דיפרנציאלים (df ותבנית דיפרנציאלית) הם קו-וקטורים תבנית דיפרנציאלית,
בהינתן שדה סקלרי f במרחב, df הוא שדה במרחב שהוא כמו קו-וקטור: אם f הוא גובה, אז df הוא מעין שדה של קווי גובה, בכל נקודה. הפעולה של df על וקטור v (פעולה שמחזירה סקלר) היא למעשה קצב השינוי ב-f כשנעים ב"מהירות" ובכיוון ${\vec {v}}$, כלומר: df היא הנגזרת כיוונית של f בכיוון v - פעולה זהה לזו של קו-וקטור, על v, כך: $df({\vec {v}})=\nabla _{\vec {v}}f$.

מס. 7: רכיבים

רכיבים
הרכיבים של df הם dx,dy, כי: $df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy$ הדיפרנציאל (תבנית דיפרנציאלית) בכתיב איינשטיין, $x=c^{1},y=c^{2};\;\;r=p^{1},\theta =p^{2}$; הוא: $df={\frac {\partial f}{\partial c^{i}}}{\boldsymbol {dc^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial p^{i}}}{\boldsymbol {dp^{i}}}$; כך בשדה קו-וקטורים, שהמקביל הבודד שלו: $\alpha =\alpha _{i}{\boldsymbol {\epsilon ^{i}}}={\tilde {\alpha _{i}}}{\boldsymbol {\tilde {\epsilon ^{i}}}}$.

מס. 8: כללי מעבר

כללי מעבר של שדה קו-וקטורים

מס. 9: איטגרציה

אינטגרציה בתבניות דיפרנציאליות
משפטים שימושיים:

• המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, ומשפט ניוטון-לייבניץ: $\int _{a}^{b}{\frac {dF}{dx}}dx=\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
• משפט הגרדיאנט (המשפט היסודי לאינטגרל רב-ממדי): $\int _{P[a,b]}\nabla F\cdot d{\vec {r}}=F(b)-F(a)$

אינטגרל (למשל, עבודה; למשל, של כוח כבידה): ${\vec {F_{G}}}=m{\vec {G}}=m(-\nabla \phi );\;\;W=\int _{P}{\vec {F_{G}}}\cdot d{\vec {R}}=\int _{P}m(-\nabla \phi )\cdot {\frac {d{\vec {R}}}{d\lambda }}d\lambda =-m\int _{P}{\frac {d\phi }{d\lambda }}d\lambda =\int _{P}d\phi =\phi (P_{end})-\phi (P_{start})$ (מהירות: ${\frac {d{\vec {R}}}{d\lambda }}$)

פירוש האינטגרל כתבנית דיפרנציאלית: ערך האינטגרל לאורך מסילה הוא "מספר קווי-הגובה" (= הקו-וקטור d) שהמסילה "דוקרת": $\int _{P[a,b]}d\phi =\phi (e)-\phi (s)$

מס. 10

אינטגרציה בתבניות דיפרנציאליות

מס. 11: הטנזור המטרי

הטנזור המטרי ואורך של מסילה (במרחב שטוח)
$\left\|{\frac {d{\vec {R}}}{dt}}\right\|={\frac {dc^{i}}{d\lambda }}{\frac {dc^{j}}{d\lambda }}g_{ij}$, ומטריצת הרכיבים של הטנזור המטרי g היא טנזור (0,2), כי מקיימת שני מעברי קו-ואריאנט.

• [3] במרחב כללי (לא בהכרח שטוח), המרחק בין 2 נקודות (ב-2 ממדים, לפשטות): $ds^{2}=g_{11}dx^{2}+2g_{12}dxdy+g_{22}dy^{2}$. ו-g12 מבטא את מידת אי-האנכיות של הצירים (באותה נקודה): g12=0 פירושו מאונכים, כל ערך אחר (+ או -) מבטא סטיה מהאנכיות; g11, g22 מבטאים את צפיפות השנתות: g11>1 פירושו צפיפות גדולה (ולכן מרחק נמדד גדול).

מס. 12

הטנזור המטרי במרחב עקום
גאומטריה אינטרינזית ואקסטרינזית (בגאומטריה דיפרנציאלית). טנזור מטרי של:

• ספירה: $X=cos(v)sin(u),Y=sin(v)sin(u),Z=cos(u);g_{j}^{i}={\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}(u)\end{bmatrix}}$
• גליל, אוכף

משוואות וטנזור מטרי של משטחים
משטח	X	Y	Z	טנזור מטרי
ספירה	(cos(v)sin(u	(sin(v)sin(u	(cos(u	${\begin{bmatrix}1&0\\0&sin^{2}(u)\end{bmatrix}}$
גליל	cos(v	(sin(v	u	${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$
אוכף	u	v	uv	${\begin{bmatrix}1+v^{2}&uv\\uv&1+u^{2}\end{bmatrix}}$

מס. 13: diff

גרדיאנט .d" vs" גרדיאנט

• ב-(Covariance and contravariance of vectors) הגרדיאנט מוגדר (באופן לא מדויק) כקו-וקטור: "An example of a covector is the gradient". האמת, ש: כשם שלכל וקטור v במרחב V מותאם קו-וקטור ${\vec {v}}\cdot \Box$

במרחב הדואלי *V - כך: לוקטור $\nabla f$ מותאם קו-וקטור df, באופן הזה: $df({\vec {v}})=\nabla f\cdot {\vec {v}}$.

• בדומה, המעבר בין המקדמים של הוקטור $\nabla f$ לבין מקדמי הקו-וקטור df, הוא באמצעות מקדמי המטריצה g של הטנזור המטרי: $(\nabla f)^{i}=g_{ij}{\frac {\partial f}{\partial c^{j}}}$.
• אנלוגיה מוזיקלית: $\flat (\nabla f)=df;\;\;\sharp (df)=\nabla f$

מס. 14

גרדיאנט .d" vs", דוגמאות

• פעולת הטנזור המטרי על זוג וקטורים: $g({\vec {v}},{\vec {w}})=v^{i}w^{j}g_{ij}={\begin{bmatrix}v^{1}&v^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\end{bmatrix}}$
• רואים שטנזור מטרי הוא מעין קו-וקטור-כפול; אפשר לכתוב אותו כקומבינציה לינארית של מכפלות-טנזוריות של קו-וקטורים: $g=g_{11}(\epsilon ^{1}\otimes \epsilon ^{1})+g_{12}...$, כאשר כל מכפלה טנזורית של שני קו-וקטורים היא: $\epsilon ^{1}\otimes \epsilon ^{1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}$; ובכתיב איינשטיין: $g=g_{ij}(\epsilon ^{i}\otimes \epsilon ^{j})$
  • וחישוב המכפלה הסקלרית של וקטורים: ${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}=g({\vec {v}},{\vec {w}})=g_{ij}(\epsilon ^{i}\otimes \epsilon ^{j})(v^{k}{\vec {e_{k}}},w^{l}{\vec {e_{l}}})=g_{ij}v^{k}w^{l}\delta _{k}^{i}\delta _{l}^{j}=g_{ij}v^{i}w^{j}$ (אחרי ביטול אינדקסים).
  • והקו-וקטור שיוצא ממכפלת v ב"משהו": ${\vec {v}}\cdot \Box =g({\vec {v}},\Box )=g_{ij}(\epsilon ^{i}\otimes \epsilon ^{j})(v^{k}{\vec {e_{k}}})=g_{ij}v^{k}\delta _{k}^{i}\epsilon ^{j}=g_{ij}v^{i}\epsilon ^{j}$ .
• ובגרסת הקלקולוס, מחליפים את קו-וקטורי הבסיס בבסיסים של שדה הקו-וקטורים: $g=g_{ij}(dc^{i}\otimes dc^{j});c=cartesian,c^{1}=x,c^{2}=y;dc^{j}\left({\frac {\partial }{\partial c^{i}}}\right)=\delta _{i}^{j}$ (וזה נכון לכל מערכת צירים), וכך: $\nabla f\cdot {\vec {v}}=g_{ij}(\nabla f)^{k}v^{l}\delta _{k}^{i}\delta _{l}^{j}=g_{ij}(\nabla f)^{i}v^{j}$
  • והקו-וקטור המתאים: $\nabla f\cdot \Box =g_{ij}(\nabla f)^{i}dc^{j}$.
  • בניגוד לספרי לימוד, הגרדיאנט הוא $\nabla ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\vec {e_{x}}}\\{\vec {e_{y}}}\end{bmatrix}}$ רק בקרטזיות (כאשר מטריצת הטנזור המטרי היא מטריצת היחידה); בכל מערכת אחרת, צריך להכפיל במטריצת הטנזור המטרי ההפוך: $\nabla f={\mathfrak {g}}^{ij}{\frac {\partial f}{\partial c^{i}}}{\vec {e_{j}}}$.

מס. 15: גאודזיה

סמלי כריסטופל, גאומטריה אקסטרינזית סמל כריסטופל

• מסילה גאודזית: הקו ה"ישר" ביותר על פני יריעה, כשנעים "קדימה" .
• מסילה היא גאודזית, אם לביטוי ה"תאוצה" ביחס לפרמטר λ, אין רכיב משיק ליריעה (= הוא 0), רק רכיב ניצב: ${\frac {d^{2}{\vec {R}}}{d\lambda ^{2}}}=\left({\frac {d^{2}u^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {du^{i}}{d\lambda }}{\frac {du^{j}}{d\lambda }}\right){\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial u^{k}}}+L_{ij}{\frac {du^{i}}{d\lambda }}{\frac {du^{j}}{d\lambda }}{\hat {n}};\;\;\Gamma _{ij}^{k}={\frac {\partial ^{2}{\vec {R}}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial u^{l}}}{\mathfrak {g}}^{lk};\;\;L_{ij}={\frac {\partial ^{2}{\vec {R}}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}\cdot {\frac {{\vec {e_{i}}}\times {\vec {e_{j}}}}{\|{\vec {e_{i}}}\times {\vec {e_{j}}}\|}};\;\;{\vec {e_{i}}}={\frac {\partial {\vec {R}}}{\partial u^{i}}}$
• התנאי שהמסילה גאודזית: ${\frac {d^{2}u^{k}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{ij}^{k}{\frac {du^{i}}{d\lambda }}{\frac {du^{j}}{d\lambda }}={\vec {0}}$, נקרא המשוואה הגאודזית. זוהי המקבילה היחסות-כללית לחוק השני של ניוטון: הנגזרת השניה של המקום ביחס לפרמטר (למעשה, הזמן עצמי) - שהיא תאוצה, שווה ל"כוח" במובן של עיוות המרחב כתוצאה ממסה! עיוות זה מיוצג ע"י: $\Gamma _{ij}^{k}$ שנקראים סמל כריסטופל, ומציינים את המידה שבה וקטורי הבסיס משתנים על היריעה (במישור: כולם 0); L נקרא (Second fundamental form); כלומר, את מידת ה"עיוות" של גריד הקואודינטות שבשימוש: הסמלים מורכבים מהנגזרות של וקטורי הבסיס (בקומבינציה עם הטנזור המטרי), כך שאם הגריד "מעוות" - הסמלים שונים מ-0. כך יוצא, שהנגזרת הקו-ואריאנטית נשמרת.

• #משוואת השדה, ד"ר פיזיקס
  • זמן '02 1: סמל כריסטופל מהווה "תיקון" לעובדה שנגזרת היא ואריאנטית (לא נשמרת בין מערכות-ייחוס) - צריך להוסיף הסמל, מוכפל בוקטור; רק הנגזרת הקו-ואריאנטית נשמרת: $T_{mn}(y)=\nabla _{n}(V_{m})={\frac {\partial V_{m}}{\partial y^{n}}}+\Gamma _{mn}^{r}V_{r}(x)$
  • זמן "30'44 1: הסמל "שקול" לכוח, במכניקה ניוטונית.

מס. 16

גאודזיה, דוגמאות על מישור, וספירה

נגזרת קו-ואריאנטית

מס. 17

גאודזיה, הנגזרת הקו-ואריאנטית (אין קשר לרכיבים קו-ואריאנטים!) ההגדרה במרחב שטוח (הכי קלה, וחלשה)

• פשוט, הנגזרת ה"רגילה".
• רק חשוב לגזור גם את רכיבי הוקטור, וגם את וקטורי הבסיס: ${\frac {\partial }{\partial c^{i}}}({\vec {v}})={\frac {\partial }{\partial c^{i}}}(v^{j}{\vec {e_{j}}})={\frac {\partial v^{j}}{\partial c^{i}}}{\vec {e_{j}}}+v^{j}{\frac {\partial {\vec {e_{j}}}}{\partial c^{i}}}=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial c^{i}}}+v^{j}\Gamma _{ij}^{k}\right){\vec {e_{k}}}$
• כי הנגזרת של וקטורי בסיס, היא קומבינציה לינארית של וקטורי הבסיס עצמם, באמצעות סמלי כריסטופל (זאת למעשה ההגדרה של הסמלים): $\nabla _{\mu }{\vec {e}}_{\nu }=\Gamma _{\mu \nu }^{\rho }{\vec {e}}_{\rho }$       או:       ${\frac {\partial {\vec {e_{j}}}}{\partial c^{i}}}=\Gamma _{ij}^{k}{\vec {e_{k}}}$.

מס. 17.5

השלמה. הגדרה של רכיבים (הנדסית; פיסיקלית)

מס. 18

נגזרת קו-ואריאנטית. במרחב עקום

• זוהי הנגזרת של שדה וקטורי v, בכיוון וקטור w, "בניכוי" של וקטור היחידה הנורמלי (כי "העתקה מקבילה" של וקטור על פני יריעה מסילה - מעניקה לו שינוי בניצב ליריעה ): $\nabla _{\vec {w}}{\vec {v}}=\nabla _{\frac {\partial }{\partial u^{i}}}{\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial u^{i}}}-{\vec {n}}=\left[{\frac {\partial v^{k}}{\partial u^{i}}}+v^{j}\Gamma _{ij}^{k}\right]{\vec {e_{k}}};\;\;\Gamma _{ij}^{k}=\left({\frac {\partial {\vec {e_{j}}}}{\partial u^{i}}}\cdot {\vec {e_{l}}}\right){\mathfrak {g}}^{lk}$
  • כלומר: כדי שההעתקה לאורך מסילה תהיה מקבילה, נדרש שהנגזרת הקו-ואריאנטית שווה ל-0 (= כל השינוי הוא בניצב ליריעה).
• ביריעה עקומה, אי-אפשר להגדיר שדה "קבוע" של וקטורים; במקום, מגדירים העתקה מקבילה, שהיא "הכי קרוב שאפשר" לשדה וקטורי קבוע.
  • מסילה שמבצעת העתקה מקבילה לוקטור-המשיק שלה (כך שהנגזרת הקו-ואריאנטית של וקטור-המשיק היא 0 לאורך המסילה: $\nabla _{\frac {\partial }{\partial \lambda }}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}={\vec {0}}$), היא מסילה גאודזית.
• נגזרת קו-ואריאנטית עוזרת למצוא שדות וקטורים שהם העתקות מקבילות של וקטור.
• אנימציה של העתקות מקבילות על קוי-רוחב שונים של ספירה

מס. 19

נגזרת קו-ואריאנטית. ההגדרה האינטרינזית

• מאי טעמא? - בתורת היחסות הכללית, לא מתייחסים למרחב-זמן כאילו הוא נמצא במרחב מממד גבוה יותר (בניגוד ליריעה הדו-ממדית במרחב התלת, אז המבט הוא אקסטרינזי); לכן שם הדיון הוא אינטרינזי, במרחב 4-ממדי בלבד.
• במבט אינטרינזי, אין וקטורי-בסיס שהם נגזרות חלקיות של וקטור-מיקום R - כי אין בכלל ראשית שממנה יוצא R (ראשית כזו יש רק במרחב אקסטרינזי). לכן משתמשים רק בוקטורי-בסיס שהם פעולות נגזרת חלקית לפי הצירים (u,v), או בכתיב u בלבד: ${\vec {e_{i}}}\equiv {\frac {\partial }{\partial u^{i}}}\equiv \partial _{i}$. וקטורי-בסיס אלה שייכים למרחב-וקטורי המשיק ליריעה (M (Manifold, בכל נקודה p - זהו המרחב $T_{p}M$.
• בהתחשב: $g_{ij}=g_{ji},\Gamma _{ij}^{k}=,\Gamma _{ji}^{k}$, ובקומפטביליות המטרית: ${\frac {\partial }{\partial u^{k}}}({\vec {e_{i}}}\cdot {\vec {e_{j}}})={\frac {\partial {\vec {e_{i}}}}{\partial u^{k}}}\cdot {\vec {e_{j}}}+{\vec {e_{i}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {e_{j}}}}{\partial u^{k}}}$,       מקבלים: $\Gamma _{jk}^{m}={\frac {1}{2}}{\mathfrak {g}}^{mi}\left({\frac {\partial g_{ij}}{\partial u^{k}}}+{\frac {\partial g_{ki}}{\partial u^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial u^{i}}}\right)$; אין צורך ב-X,Y, אבל חייבים לדעת את רכיבי המטריצה של טנזור המטרי.

מס. 20

נגזרת קו-ואריאנטית. ההגדרה המופשטת, סימן לוי-צ'יוויטה

• נגזרת קו-ואריאנטית היא הכללה של נגזרת כיוונית של שדה סקלרי - לשדה וקטורי.
• היא למעשה פעולה על שדה, בכיוון מסויים (וקטור), שמחזירה שדה חדש: קצב השינוי של השדה המקורי.
• 4 תכונות:
  • לינארית בוקטור הכיוון: $\nabla _{a{\vec {w}}+b{\vec {t}}}{\vec {v}}=a\nabla _{\vec {w}}{\vec {v}}+b\nabla _{\vec {t}}{\vec {v}}$
  • אדיטיבית: $\nabla _{\vec {w}}({\vec {v}}+{\vec {u}})=\nabla _{\vec {w}}{\vec {v}}+\nabla _{\vec {w}}{\vec {u}}$
  • כלל המכפלה ביחס ל"מתיחה" (כלל לייבניץ): $\nabla _{\vec {w}}(a{\vec {v}})=(\nabla _{\vec {w}}a){\vec {v}}+a(\nabla _{\vec {w}}{\vec {v}})$
  • נגזרת קו-ואריאנטית של פונקציה סקלרית: $\nabla _{\partial _{i}}(a)={\frac {\partial a}{\partial u^{i}}}$
• נזכור, ש: $\nabla _{\vec {e_{i}}}{\vec {e_{j}}}=\Gamma _{ij}^{k}{\vec {e_{k}}}$.
• קושרת בין מרחב-וקטורי-משיק בנקודה p, בה וקטור-משיק מצביע לכיוון מסוים - לבין מרחב-משיק אחר ב-q, שבו הוקטור (אחרי העתקה מקבילה) מצביע לכוון אחר; זוהי מפה בין וקטור בשדה $T_{p}S$ (מרחב וקטורי משיק T לספירה S ב-p) לבין וקטור ב-$T_{q}S$; הנגזרת הקו-ואריאנטית מספקת את הקשר, לכן נקראת גם "קשר".
  • תכונת היעדר מאמץ פיתול: $\nabla _{\vec {e_{i}}}{\vec {e_{j}}}=\nabla _{\vec {e_{j}}}{\vec {e_{i}}}$ (למעשה, במקרה הכללי ההפרש ביניהם שווה לסוגרי-לי: $[{\vec {v}},{\vec {w}}]={\vec {v}}{\vec {w}}-{\vec {w}}{\vec {v}}$, שכאן שווה 0 כי הוקטורים הם נגזרות חלקיות בסדר הפוך - אין ביניהם הבדל); מה שאומר שסמלי כריסטופל הם סימטריים.
  • תכונת התאימות המטרית Metric Compatibility: "כשמבצעים העתקה מקבילה לשני וקטורים (בנפרד), המכפלה הסקלרית שלהם לא משתנה (נגזרתה הקו-ואריאנטית = 0)"; גם האורך של וקטור (= המכפלה הסקלרית עם עצמו) שעובר העתקה מקבילה (נגזרתו הקו-ואריאנטית = 0) יישאר קבוע (נגזרת האורך = 0);     וכללית: $\nabla _{\vec {w}}({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})=(\nabla _{\vec {w}}{\vec {v}})\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot (\nabla _{\vec {w}}{\vec {u}})$
    • תוצאה: $\nabla _{\partial _{i}}({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})=(\nabla _{\partial _{i}}{\vec {v}})\cdot {\vec {u}}+{\vec {v}}\cdot (\nabla _{\partial _{i}}{\vec {u}})\rightarrow \partial _{k}(g_{ij})=\Gamma _{ik}^{l}g_{jl}+\Gamma _{kj}^{l}g_{il}$
• שילוב 2 התכונות לעיל מהווה את המשפט היסודי של הגאומטריה הרימנית : במטריקה רימנית (מרחב עקום עם מטריקה) יש קשר יחודי (נגזרת קו-ואריאנטית), ללא מאמץ פיתול ועם תאימות מטרית; נקרא קשר לוי-צ'יוויטה . זה הקשר שבו סמלי כריטופל (גם: "מקדמי-קשר") נתונים בנוסחה שלעיל (קליפ #19).
• יש גם נגזרות קו-ואריאנטיות אחרות (משעממות; ללא תאימות-מטרית; סמלי כריסטופל = 0). גם הן מקיימות את 4 התכונות, אבל לא את התאימות-מטרית; בד"כ לוי-צ'יוויטה היא השימושית.
• על קו-וקטור (טנזור 0,1): $\nabla _{\partial _{i}}(\alpha )=\left({\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial u^{i}}}\color {red}-\alpha _{j}\Gamma _{ik}^{j}\color {black}\right)\epsilon ^{k}$;     (על וקטור: $\nabla _{\partial _{i}}({\vec {v}})=\left({\frac {\partial v^{k}}{\partial u^{i}}}+v^{j}\Gamma _{ij}^{k}\right){\vec {e_{k}}}$)
• על שדה של טנזור-מטרי (טנזור 0,2): $\nabla _{\partial _{i}}(g)=\left[{\frac {\partial g_{rs}}{\partial u^{i}}}-g_{ks}\Gamma _{ir}^{k}-g_{rk}\Gamma _{is}^{k}\right](\epsilon ^{r}\otimes \epsilon ^{s})$
  • בהתקיים התאימות המטרית - הנגזרת הקו-ואריאנטית של g = אפס, בכל כיוון.
• ואפשר להשתמש בתכונה שהוגדרה לצורך הפעולה על טנזור-מטרי: $\nabla _{\vec {w}}(T\otimes S)=(\nabla _{\vec {w}}T)\otimes S+T\otimes (\nabla _{\vec {w}}S)$     כדי לחשב נגזרת קו-ואריאנטית של כל שדה טנזורי.
  • לכל טנזור מדרגה (m,n), נגזרת קו-ואריאנטית תיתן איבר-נגזרת בשביל רכיבים (של מטריצת הטנזור המטרי); וכן m סמלי-כריסטופל ב +, ו-n סמלים ב -, לכל וקטור או קו-וקטור בסיס.

אחרים

מס. 21: סוגרים, עקומות זרימה

הסוגרים של לי (ע"ש סופוס לי), עקומות זרימה, מאמץ פיתול

• סוגרי-לי: $[{\vec {u}},{\vec {v}}]={\vec {u}}({\vec {v}})-{\vec {v}}({\vec {u}})$ (גם: vector field commutators)
  • בגאומטריה דיפרנציאלית, שדות וקטורים הם בעצם אופרטורי-גזירה, ולכן ${\vec {u}}({\vec {v}})$ הוא הנגזרת של v בכיוון הוקטור u.
  • גדלים שמהווים מדד ל"סגירות כהלכה" של שני מסלולים במרחב
  • הרשתות במערכות קואורדינטות תמיד "נסגרות כהלכה", כי: $[{\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}}]=[\partial _{i},\partial _{j}]={\vec {0}}$.
• טנזור מאמץ-הפיתול: ה"מִפתֵח" (או הבדל) בין העתקות מקבילות של שני וקטורים; או: ההפרש בין העתקה-מקבילה של וקטור v (אל נקודה p) לבין הוקטור v בנקודה p - הוא תוצאת הנגזרת הקו-ואריאנטית של v בנקודה p; ההפרש בין ההפרשים האלה, לשני וקטורים v, u, פחות סוגר-לי - נותן את טנזור המאמץ T, כך: $T({\vec {u}},{\vec {v}})=\nabla _{\vec {u}}{\vec {v}}-\nabla _{\vec {v}}{\vec {u}}-[{\vec {u}},{\vec {v}}]$
  • אפשר גם לבטא: $T({\vec {u}},{\vec {v}})=u^{i}v^{j}(\Gamma _{ij}^{k}-\Gamma _{ji}^{k})\partial _{k}=u^{i}v^{j}T_{ij}^{k}\partial _{k}$.
    • כפי שרואים לעיל, T תלוי ב"קשר" בלבד - לא בשדה הוקטורי!
  • (מהו הביטוי ל"העתקה של וקטור"?)
  • היעדר מאמץ פיתול: הטנזור הזה = 0, כלומר: כל הוקטורים המועתקים-במקביל, "נסגרים כהלכה"; כלומר: $\Gamma _{ij}^{k}=\Gamma _{ji}^{k}$.

טנזור העקמומיות

מס. 22: טנזור העקמומיות

טנזור העקמומיות של רימן; עקמומיות, . משמעויות: הולונומיות, סטייה גאודזית.

• עקמומיות#טנזור העקמומיות של רימן: טנזור (1,3) $R({\vec {u}},{\vec {v}}){\vec {w}}=\nabla _{\vec {u}}\nabla _{\vec {v}}{\vec {w}}-\nabla _{\vec {v}}\nabla _{\vec {u}}{\vec {w}}-\nabla _{[{\vec {u}},{\vec {v}}]}{\vec {w}}$
• הולונומיות (-?): אם R שונה מ-0, אז היריעה עקומה (בנקודה האמורה).
• דרך נוספת לבדוק עקמומיות: (Geodesic deviation). (שלילה של) טנזור העקמומיות: $\nabla _{\vec {v}}\nabla _{\vec {v}}{\vec {s}}=-R({\vec {s}},{\vec {v}}){\vec {v}}$, באשר s הוא שדה הוקטורים של ההפרדה בין גאודזות היוצאות מהנקודה האמורה; אם הגודל הוא 0, אז היריעה שטוחה.

1. מידת העקמומיות: הגבול של היחס בין שינוי הזוית של וקטור המועתק-במקביל, לבין השטח הכלוא בתוך מסלול ההעתקה; כשהשטח שואף ל-0. (השלמה)
2. סימן העקמומיות: אם הוקטור יוצר זוית באותו סימן כמו כיוון התנועה שלו (למשל: זוית חיובית תוך תנועה נגד כיוון השעון) = עקמומיות חיובית (למשל: בספירה, העקמומיות זהה בכל נקודה, וחיובית; באוכף - שונה בכל נקודה, אבל תמיד שלילית).

מס. 23

הרכיבים של טנזור רימן

• במעבר לטנזור רימן על וקטורי-בסיס:$R({\vec {u}},{\vec {v}}){\vec {w}}=u^{i}v^{j}w^{k}R({\vec {e_{i}}},{\vec {e_{j}}}){\vec {e_{k}}}=u^{i}v^{j}w^{k}R_{kij}^{m}{\vec {e_{m}}};\;\;R_{cab}^{d}=\partial _{a}(\Gamma _{bc}^{d})-\partial _{b}(\Gamma _{ac}^{d})+\Gamma _{bc}^{i}\Gamma _{ai}^{d}-\Gamma _{ac}^{j}\Gamma _{bj}^{d}$
• כל אינדקס מה-4 יכול לקבל ערכים, כמספר הממדים במרחב; לכן ב-2 ממדים, יש $2^{4}=16$ אברים בביטוי לטנזור; ב-4 ממדים של המרחב-זמן יש 256 אברים; אבל תודות לסימטריה, רובם 0:
  • סימטריה-34:     $R_{c\color {red}b\color {blue}a\color {black}}^{d}=-R_{c\color {blue}a\color {red}b\color {black}}^{d}$
  • זהות ביאנקי (במרחב ללא מאמץ-פיתול):     $R_{cab}^{d}+R_{bca}^{d}+R_{abc}^{d}=0$
  • סימטריה-12 (תאימות-מטרית):     $R_{\color {green}ba\color {black}cd}=-R_{\color {green}ab\color {black}cd}$
  • הפיכה (מכל ה-3 שלעיל):     $R_{\color {red}ab\color {blue}cd\color {black}}=R_{\color {blue}cd\color {red}ab\color {black}}$
  • למעשה, ב-2 ממדים למשל, יש רק משתנה חופשי אחד: R1212 (ב-4 ממדים: 20 משתנים חופשיים, מתוך 256).

מס. 24

טנזור העקמומיות של ריצ'י

• $R_{ab}=R_{aib}^{i}$. טנזור העקמומיות R (שמאל) מכיל 2 אינדקסים: a, קואורדינטת הוקטור ("הלבן") שעובר העתקה מקבילה (מקבל: 0-3); b, קואורדינטת dX של השטח האינפ עליו מחושב הגבול (מקבל: 1-4). אינדקס i מציין את קואורדינטת dX של השינוי בוקטור הלבן, כתוצאה מהעקמומיות; כל אחד מ-$R_{\mu \nu }$ הוא סכום של 4 אברים, i=1..4. סה"כ 64 או 256???
• משוואת איינשטיין: $R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$.
  • 4*4=16 משוואות, אבל מתוכן 6 תלויות, לכן אלה 10 משוואות.
  • כל אבר במערך המייצג את טנזור מאמץ האנרגיה והתנע T הוא מכפלה של תנע במהירות (ליחידת נפח, בנקודה), כל אחד ב-4 ממדים: סה"כ 16 אברים. $T^{00}$ הוא המשמעותי (צפיפות אנרגיה בנפח; כי מכיל את c^2), כל השאר זניחים במהירויות "נמוכות". כדי לקבל את $T_{\mu \nu }$ במשוואת איינשטיין, יש להפעיל את הטנזור המטרי g (= לסכם על כל ה-16, לכל אבר; = להוריד אינדקסים).
    • #משוואת השדה ד"ר פיזיקס, '57 1: $T^{00}$ הוא "גורם הזמן"; $T^{0[123]}$ הם "זרימת האנרגיה"; $T^{[123]0}$ הם "צפיפות התנע"; שאר ה-9: "שטף מאמץ/לחץ התנע". כל הטנזור מהווה מדד לצפיפות האנרגיה בנפח.
  • הטנזור המטרי g: שווה ל"מטריצת היחידה" במרחב שטוח.
  • סקלר העקמומיות: $R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu };\;\mu =0..3,\nu =0..3$ באמת? זה משאיר את אגף שמאל ב-1/2 ???
    זה קבוע הפרופורציה בין השטח da שמוגבל בתוך מסילה סגורה, לבין מידת ה"גרעון" בזוית dθ, שנוצר כתוצאה מהעתקה-מקבילה של וקטור בסיבוב אחד על המסילה.
  • טנזור העקמומיות של ריצ'י: מרכיבים: $R_{\mu \nu }=g^{\sigma \kappa }R_{\sigma \mu \kappa \nu };\;\sigma =0..3,\kappa =0..3$. הוא צמצום של טנזור העקמומיות של רימן (וזה קיים בגלל הבדלים בסמל כריסטופל בנקודות לאורך המסילה, כלומר הוא בנוי מנגזרות של הסמל).
  • הקבוע הקוסמולוגי: $\Lambda$
    • (T?) כולל כל האנרגיה והתנע בכל נקודה, כתוצאה מחומר, ומקרינה; אבל לא כולל אנרגיה כתוצאה מעקמומיות.

מס. 25

משמעות גאומטרית של טנזור העקמומיות של ריצ'י

מס. 26

תכונות של טנזור / סקלר של ריצ'י

נספחים

סוגים של טנזורים
טנזור	מאפיין	סוג	דרגה
סקלר	מספר	(0,0)?	0
וקטור	איבר במרחב וקטורי	(1,0)	1
מטריצה	-"-	(2,0)?	2
קו-וקטור	איבר במרחב וקטורי (הדואלי)	(1,0)	1
מפה לינארית	פונקציה מוקטור לוקטור	(1,1)	2
טנזור מטרי	פונקציה מזוגות של וקטורים - לסקלר	(0,2)	2?
תבנית בילינארית	זוגות של קווקטור-קווקטור	(0,2)	2?

המרת קרטזיות לקוטביות

באמצעות היעקוביאן; וקטורי בסיס: ${\frac {\partial }{\partial c^{i}}}={\frac {\partial p^{j}}{\partial c^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p^{j}}}$,     טנזור מטרי: $g_{ij}={\frac {\partial p^{a}}{\partial c^{i}}}{\frac {\partial p^{b}}{\partial c^{j}}}{\tilde {g_{ab}}}$,     ומקדמי-קשר: $\Gamma _{ij}^{k}={\frac {\partial c^{k}}{\partial p^{c}}}\left[{\frac {\partial p^{a}}{\partial c^{i}}}{\frac {\partial p^{b}}{\partial c^{j}}}{\tilde {\Gamma _{ab}^{c}}}+{\frac {\partial ^{2}p^{c}}{\partial c^{i}\partial c^{j}}}\right]$

מרחק על משטח כדורי

מרחק על משטח כדורי, באמצעות מטריקה

• האינטגרל: $\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\sqrt {1+(sin\theta \cdot m)^{2}}}d\theta$ לא ניתן לחישוב אנליטי (כריס "רימה": מוולפראם); לכן משתמשים במשפט הקוסינוסים (בהתבסס על : נוסחת המרחק על מעגל גדול.
• $m={\frac {d\phi }{d\theta }}={\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{\theta _{2}-\theta _{1}}}$, שהוא קבוע ביחס לאינטגרציה.

שונות

• גלים, סרטון באתר יוטיוב: גלים ארוכים (קול) עוקפים מכשולים (שקטנים בהרבה מאורך הגל), אבל קצרים (אור) נבלמים.
• פיתוח משוואת שרדינגר. סובורנו איזאק בארי (בן 6), סרטון באתר יוטיוב:

לקריאה

• ג'רמי קון