אינטגרל רב-ממדי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-colors-edit-find-replace.svg יש לשכתב ערך זה. הסיבה לכך היא: אי דיוקים (אופן חישוב).
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

אינטגרל רב-ממדי הוא הרחבה של אינטגרל מסוים לפונקציה בשני משתנים או יותר (פונקציה מהצורה f(x,y,z) למשל). אינטגרל לא מסוים אינו מוגדר עבור פונקציה עם יותר ממשתנה אחד, כי לא מוגדרת פונקציה קדומה שלה, או פעולת גזירה שבעזרתה חוזרים לפונקציה המקורית.

את האינטגרל של הפונקציה \ f(x,y) (אינטגרל כפול - פונקציה עם שני משתנים) בתחום \ D מסמנים באמצעות:

\ \iint_D f(x,y)dx\ dy

כאשר מספר סימני האינטגרציה מותאם למספר המשתנים שעליהם היא מבוצעת.

לאינטגרלים רב-ממדיים משמעות גאומטרית ופיזיקלית: כפי שאינטגרל חד-ממדי יכול לחשב את השטח במישור בין שני עקומים, כך בעזרת אינטגרל דו-ממדי, הנקרא אינטגרל כפול, מחשבים את הנפח בין שני משטחים במרחב, ובממדים גבוהים יותר מחשבים היפר-נפח. דוגמה נוספת היא חישוב מומנט אינרציה של גוף דו- או תלת-ממדי בעל צפיפות משתנה.

הגדרה (אינטגרל כפול)[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטגרל כפול מופעל על פונקציה המוגדרת ואינטגרבילית בתחום \ D \subset \mathbb{R}^2 כלשהו החלקי למישור XY, כלומר פונקציה מהצורה: \ f :\mathbb D \rightarrow \mathbb R. פונקציה כזו, המגדירה ערך עבור נקודה במישור XY, נקראת גם שדה סקלרי ב-\mathbb R^2.

ניקח את התחום עליו מוגדרת הפונקציה ונרחיב אותו למלבן  \ D \subset \ Rec . נניח \ Rec = [a,b] \times [c,d] כעת עלינו להרחיב גם את הפונקציה, וכדי לא לשנות את ערך האינטגרל נרחיב כך:  F(x,y)=\left\{\begin{matrix} f(x,y) &  & (x,y)\in D \\ 0 &  &  else \end{matrix}\right. . בהגדרה זו, לא הוספנו נפח בין F למישור XY, ולכן ברור כי \iint_D f(x,y)dx\ dy  = \iint_{Rec} F(x,y)dx\ dy.

את האינטגרל הכפול על מלבן נגדיר בעזרת אינטגרל רימן. נחלק את המלבן \ Rec למלבנים קטנים, שאורך האלכסון שלהם שואף לאפס, נעשה זאת על ידי חלוקת הקטע [a,b] לקטעים קטנים: \ a = x_0 \le x_1 \le... \le x_k = b, וחלוקת הקטע [c,d] לקטעים קטנים: \ c = y_0 \le y_1 \le... \le y_m = d ולכל מלבן \ R_{ij} = [x_i,x_{i+1}]\times[y_j, y_{j+1}] ניתן ערך שרירותי של נקודה שנמצאת בתוכו (כמו בסכום רימן רגיל). כאשר אורך האלכסון המקסימלי (מכל המלבנים R_{ij}) ישאף ל 0, נקבל את האינטגרל הכפול על המלבן, והוא שווה לאינטגרל הכפול על התחום D שחיפשנו.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחינה היסטורית, אינטגרל רימן שהוגדר על ידי המתמטיקאי ברנרד רימן קודם לאינטגרל לבג שהוגדר על ידי אנרי לבג ופיתוחו דורש פחות ידע מתמטי מוקדם. לעומתו, כדי להגדיר את אינטגרל לבג אמנם יש להשתמש במושגים מתורת המידה שפותחה לשם מטרה זו. למרות זאת הטיפול המתמטי באינטגרל לבג נוח הרבה יותר מבאינטגרל רימן והוא גם כללי בהרבה. כך, בתורת המידה, הגדרת אינטגרל כפול אינה שונה בדבר מהגדרת האינטגרל הרגיל וכמוהו תלויה רק בבניית פונקציית מידה מתאימה על המרחב הדו-ממדי. מידה כזו ניתן לבנות על ידי המלבנים בדומה לבנייה של מידת לבג על הישר הממשי באמצעות הקטעים הסופיים.

חישוב אינטגרל כפול[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניגוד לאינטגרל על הישר הממשי, אותו ניתן לעתים קרובות לחשב באמצעות המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי את האינטגרל הכפול לא ניתן לחשב בדרך זו ישירות. במקרה המיוחד בו התחום עליו עורכים את האינטגרציה הוא מלבני ניתן לבצע את האינטגרציה על ידי אינטגרציה כפולה של אינטגרל חד ממדי בכל פעם:

\iint_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y) dx\ dy = \int _a ^b \left( \int _c ^d f(x,y) dy \right) dx

במקרים בהם התחום אינו מלבני, נשתמש בדימויו של האינטגרל לסכום: כלומר שאם המשתנה Y חסום בין שתי עקומות m ו n המקיימות: m=f(x) n=g(x) m>n נסכם את המשתנה ה Y מ g עד f ועל תוצר זה נסכם על כל ערכי X

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]


P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.