שיחה:0.999...

ערך יפה מאוד

אילו רק 46 (מספר) ואחיו יכולים היו להשתוות אליו. ‏odedee • שיחה 05:13, 31 בינואר 2007 (IST)

סוף סוף ערך על מספר שמעניין לקרוא. אגב, הערך לא מקושר משום ערך אחר וכדאי למצוא מאיזה ערכים לקשר לפה כדי שהנגישות לערך לא תהיה פחותה משל הארבעים וששים למיניהם. ערן 08:26, 31 בינואר 2007 (IST)

ורק עכשיו שמתי לב, אבל הערך לא צריך להיקרא אפס נקודה תשע תשע תשע נקודה נקודה נקודה? אם בגלל בעיות כיווניות זה יוצג לא נכון אפשר לתקן עם תבנית:תיקון כותרת כפי שנעשה בC++ ערן 08:30, 31 בינואר 2007 (IST)

לי נראה שהכותרת מוצגת נכון דווקא - שלוש הנקודות מימין למספר. האם אצלך זה לא כך? גדי אלכסנדרוביץ' 08:34, 31 בינואר 2007 (IST)

זה אומנם מוצג נכון, אבל בשורת הכתובת זה מוצג שגוי, והבעיה העיקרית היא שאי אפשר לחפש את זה ככה. ערן 08:37, 31 בינואר 2007 (IST)

הבעיה העיקרית שאני רואה היא עם קישור לערך - אני לא רוצה שיקשרו עם 0.999..., כמו שאתה עושה כאן עם C++. מצד שני, בשביל זה יש לנו הפניות... אתקן. גדי אלכסנדרוביץ' 08:50, 31 בינואר 2007 (IST)

למה בעצם לא מספיק ...0.99 ? קקון 13:46, 31 בינואר 2007 (IST)

odedee, ‏ 46 = ...45.999, ואידך זיל גמור :-) דוד שי 22:06, 31 בינואר 2007 (IST)

הערות

• הסעיף "מבוא - פיתוח עשרוני" מיותר ברובו בערך זה, ומקומו בערך השיטה העשרונית. באופן דומה, בערך שבר מחזורי מיותרת ההוכחה בסעיף "חזרה על הספרה 9", משום שההוכחה מופיעה בערך שלפנינו.
• הפתיח "למרות שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המתמטית, ישנם כאלו שאינם מקבלים את השוויון "...0.999=1", והתוצאה נראית נוגדת את האינטואיציה לרבים נוספים. ויכוחים על נכונות שוויון זה נפוצים בדיונים עם הדיוטות העוסקים במתמטיקה מבלי שיקבלו על עצמם חלק מההגדרות הבסיסיות המקובלות על הקהילה המתמטית." חסר טעם בעיני, ומעניק להדיוטות כבוד מופרז - די להדיוטות בכבוד שהם זוכים לו בטוקבק של ynet.
• בערך מופיעים ביטויים מעורפלים כדוגמת "לא כולם מסכימים". עדיף להחליפם בתיאור מדויק של המתנגדים (אסכולה כלשהי, כגון האינטואיציוניסטים), או בנציג ספציפי שלהם.
• כדאי לציין שהעיקרון נכון לכל שבר עשרוני שזנבו הוא איסוף מופעים של 9, למשל ...0.3999 = 0.4 .
• חוץ מזה - אחלה ערך. דוד שי 22:04, 31 בינואר 2007 (IST)

תשובות:

• לטעמי הפסקה על הפיתוח העשרוני אינה מיותרת, והחלטתי לכתוב אותה לאחר התלבטות רבה בנושא. המטרה שלי בכתיבת הערך הזה היא לשמור אותו self-contained ככל הניתן, כך שגם מי שנמשך אליו בשל ה"קוריוזיות" של הנושא יוכל להבין לפחות את הרעיון המרכזי שבו מבלי שיצטרך לפנות לערכים נוספים, ותוך כדי קריאת הערך גם ילמד משהו כללי יותר. לדעתי הלא מבוססת, ויתור על הפסקה הזו והסתפקות בתיאור קצר והפניה לערך המורחב תגרום ל"בריחה" של חלק מהקוראים, וחבל. איני חושש מיצירת כפילות מידע בערכים - לטעמי זה דווקא טוב שמספר ערכים מציגים את אותו הנושא, כל אחד מהזווית הרלוונטית לו. אגב, שים לב לויקיפדיה:ערכים מומלצים/קריטריונים לקביעת ערך מומלץ - האם אנחנו רוצים לסגור לחלוטין בפני הערך הזה את הדלת להמלצה על ידי מניעת עמידתו בקריטריון ה"מספק/מקיף"?
• במקרה הזה לא ניתן לדעתי להתעלם מהרעש העצום שהויכוח על שאלת השוויון הזה מעורר - זה חלק מרכזי מגורם המשיכה של השאלה (שכן השוויון עצמו הוא טריוויאלי בתכלית). יש לפתח יותר את הנושא, כפי שעושים בויקיפדיה האנגלית, אולם איני בטוח עדיין שאני מסוגל לעשות זאת.
• אני מסכים, אבל זה בעייתי. אני יכול לתת קישורים למאמרים שונים ומשונים באינטרנט שמציגים התנגדות לטיעון - אבל האם יש בהם טעם, אם לא חתומים עליהם אנשים מפורסמים? כשיכלתי לתת דוגמה למתנגד "רציני" (זאב בכלר) עשיתי זאת, ואשמח אם יביאו עוד כמוהו.
• בוודאי. רציתי לעשות זאת ושכחתי כבר פעמיים. אעשה זאת כעת.
• תודה. גדי אלכסנדרוביץ' 22:12, 31 בינואר 2007 (IST)

ההצגה הנ"ל מתעלמת לחלוטין מהעובדה כי הקבלה של מבנה המספרים הממשיים כפי שמוצגת בערך לא הייתה טריוואלית בכלל. זה לא רק ההדיוטות אלא גם מתמטיקאים רציניים התנגדו להנחות שעומדות בבסיס הערך הזה, כפי שניתן לקרוא ב"משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה". היום המצב הוא שכל המתמטיקאים מקבלים זאת, אבל העניין נובע במידה לא מעטה מהתשה של הקהילה המתמטית ומהזעזוע בעקבות משפט גדל (שהביא לייאוש לגבי הסיכויים לפתור בכלל את הבעיה). טרול רפאים 22:47, 31 בינואר 2007 (IST)

הספר המעולה של אברון לא לידי, ולכן אני מתקשה להתייחס עכשיו לטענות הקונקרטיות שלך. בכל מקרה, הערך מדבר על המצב כפי שהוא כיום, ועל השוויון הזה בלבד ולא על האמינות של כל המספרים הממשיים. הוספת פסקה היסטורית תוכל רק לשפר את הערך, אבל נראה לי שטענה כמו "המתמטיקאים מקבלים זאת כיום בשל התשה של הקהילה המתמטית" היא חזקה מדי ואולי אפילו שגויה. את הקישור למשפט גדל לא הבנתי (וכדאי תמיד להיזהר לא להפריז בגודל ה"זעזוע" שהוא גרם). גדי אלכסנדרוביץ' 22:49, 31 בינואר 2007 (IST)

על פי הספר הנ"ל הן סדרות קושי והן חתכי דדקינד לא התקבלו על דעת חלק גדול מהמתמטיקאים של תחילת המאה ה-20. הבעיה למעשה לא נפתרה אלא נואשו ממנה בעקבות המשפט של גדל שאולי לא סגר לגמרי את האפשרות לפתור אותה אבל דחק אותה מעבר להררי החושך (מי רוצה לעבוד על בעיה שאחרי שלושים שנה של עבודה אינטסיבית התגלה כי הפתרון רחוק יותר ממה שנדמה היה כשהתחילו? כנראה לא הרבה). בכלל, לפחות למיטב הבנתי הערך מדבר על בעיה הנגזרת מהבעיה של הגדרת המספרים הממשיים, בהתחשב בכישלונה של תוכנית הילברט (עדיין אדום?) הבעיה עדיין פתוחה (אני חושב אך לא בטוח שהיא שקולה להשערת הרצף), כך שהתקדמות רבה לא נעשתה בנושא.

אני לא משנה את הערך מכיוון שאין לי מספיק ידע בנושא, אבל הטיעון שרק הדיוטות חושבים ככה פשוט לא נכון. טרול רפאים 23:25, 31 בינואר 2007 (IST)

לא ממש הבנתי מה הבעיה (מישהו לא מקבל את זה שסדרות קושי של מספרים רציונליים קיימות? שאפשר ליצור מהן מחלקות שקילות? צריך את אקסיומת הבחירה כאן?) אבל במקום להטריח אותך אקרא שוב מה יש לארנון אברון לומר בעניין. עם זאת, כדי להצדיק את הטיעון שלך לפיו יש גם כאלו בקהילה המתמטית של ימינו שאינם מקבלים את השוויון, כדאי שתביא קישור כלשהו למתמטיקאי רציני שיוצא נגדו (אני חיפשתי כזה לפני כתיבת הערך ולא מצאתי). גדי אלכסנדרוביץ' 23:37, 31 בינואר 2007 (IST)

המשך הדיון

טוב, הנה מה שמצאתי בספר של אברון בנושא המספרים הממשיים (עמ' 54-55):

"המשותף לכל ההגדרות השונות שהוצעו למספרים הממשיים הוא שבכולן המספרים האלה יוצאים מפלצות לוגיות, עצמים מסובכים מאוד... בכולן נעשה שימוש במושג האין-סוף האקטואלי בצורה זו או אחרת... לפי כל הגדרה, מספר ממשי הוא עצמם אין-סופי "גמור". אוקלידס היה מתפלץ מהמחשבה על יציר כזה! ...המטרה של ביסוס המתמטיקה על יסודות לוגיים בטוחים הושגה, לכן, רק במחיר הגבוה של קבלה מחדש של עצמים אין-סופיים בתור עצמים מתמטיים לגיטימיים. את העצמים שבהם השתמשה המתמטיקה עתה שוב לא אפף אמנם אותו ענן של מיסטיקה שאפף את האינפיניטסימלים. אלה האחרונים היו יצירים א-לוגיים בעוד שהעצמים האין-סופיים של המתמטיקה המודרנית מצייתים לחלוטין לחוקי הלוגיקה. ובכל זאת, דורות רבים של מתמטיקאים ופילוסופים, החל ביוונים וכלה בגאוס, דחו עצמים אין-סופיים מכל סוג שהוא. ההתפתחות השנייה היתה שהאריתמטיקציה של המתמטיקה בפרט, ופיתוח המתמטיקה במאה ה-19 בכלל, היו כרוכים בשימוש הולך וגובר במושג ה"קבוצה""

מה לדעתי ניתן להבין מכאן?

1. הבעיה המרכזית במספרים הממשיים (ולכן גם בשוויון) היא בכך שאלו עצמים שבמהותם יש את האינסוף האקטואלי.
2. פעם הייתה התנגדות גדולה מאוד לאינסוף האקטואלי במתמטיקה (החל ביוונים וכלה בגאוס).
3. עם זאת, המספרים הממשיים מוגדרים היטב.
4. הבעיה היחידה שנותרת היא השימוש במושג "קבוצה" (שגרר גם הוא משבר בהמשך הדרך).

התוספת האישית שלי:

1. מתמטיקאים בימינו מקבלים את האינסוף האקטואלי.
2. מתמטיקאים בימינו מקבלים את מושג הקבוצה (לאחר שהוגדר בצורה מדוייקת בתורת הקבוצות האקסיומטית).
3. לכן, מתמטיקאים בימינו מקבלים את בניית המספרים הממשיים.

ייתכן שאתה מכוון לכך שתורת הקבוצות האקסיומטית אינה מניחה את דעת כולם, ושמשפטי גדל הראו ש-ZF לא מסוגלת להוכיח את העקביות של עצמה. זה שוב מתעלם מכך שמתמטיקאים בימינו לא ממש מוטרדים מכך - נראה לי שעיקר הדאגה היא בקרב פילוסופים של המתמטיקה, אם כבר. בכל אופן, איני מוצא בספר ביסוס נוסף להתנגדות למספרים הממשיים, ואשמח אם תפנה אותי לעמודים הרלוונטיים. גדי אלכסנדרוביץ' 10:29, 1 בפברואר 2007 (IST)

ערך מומלץ

האם ערך זה מתאים להיות ערך מומלץ? אם לא, מהן הדרישות? לפי דעתי זהו ערך מצוין. AAssif 22:51, 31 בינואר 2007 (IST)

לא משנה, מצאתי כבר את ויקיפדיה:ערכים מומלצים/הוספה למומלצים AAssif 22:54, 31 בינואר 2007 (IST)

לעת עתה איני חושב שהערך עונה על דרישת היציבות (רק אתמול נולד) וגם אינו מקיף מספיק. גדי אלכסנדרוביץ' 23:00, 31 בינואר 2007 (IST)

אני דווקא חושב שהוא מקיף מאד. בכל מקרה, ניתן לויקיפדים להחליט. AAssif 23:03, 31 בינואר 2007 (IST)

בוא נחכה עוד קצת, עד שהערך יהיה בשל יותר. גדי אלכסנדרוביץ' 23:04, 31 בינואר 2007 (IST)

"הנוסחא הזו לא עושה טוב"

מתוך דיון ההמלצה (שנפתח על אפי ועל חמתי): "באופן כללי, ערך מומלץ במתימטיקה חייב לכל הפחות לענות על התנאי: "אינו מבריח ממנו קוראים שאינם מבינים במתימטיקה, עוד לפני סוף הפסקה הראשונה". הנוסחא הזו על ההתחלה, לא עושה טוב.".

זו אחת הסיבות שבגללן בחרתי במקור לפתוח את הערך ללא נוסחה, ואני נוטה להסכים עם הכתוב לעיל. הערך הזה לא מיועד רק למתמטיקאים, אלא גם (ואולי בעיקר) להדיוטות. לטעמי יש מקום לשקול שוב את ניסוח פסקת הפתיחה (שחלקים ממנה, למשל ההבהרה החד משמעית שהשוויון אינו קירוב אלא מדוייק, הם קריטיים וחייבים להישאר). גדי אלכסנדרוביץ' 23:34, 31 בינואר 2007 (IST)

הכתיב הזה $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }9\cdot 10^{-n}$ חייב להיות מוכר לכל הדיוט בן תרבות. זו הרי נוסחה טריוויאלית, ואוי לו למי שחש צורך לברוח מהערך בגללה. יש לזכור שזו אנציקלופדיה. דוד שי 23:45, 31 בינואר 2007 (IST)

אפשר לנקוט בגישה שלך, ואז נאבד קוראים שאינם בני תרבות; ואפשר לנקוט בגישה שבה אנשים שנתקלים בערך הזה מבלי שידעו כלום על סכומים אינסופיים יצאו ממנו כשהם מעט יותר מיודדים איתם. לטעמי הנוסחה אינה טריוויאלית. היא מכילה סימון (סיגמה) שלא נלמד כלל בבית הספר (אלא אם שינו משהו מאז שהייתי שם) ואינו מופיע בחיי היום-יום, וסימון נוסף (אינסוף) שמשמעותו האינטואיטיבית אינה ברורה כלל וגרמה קשיים רבים לאורך הדורות, ויש צורך בתורה מתמטית כדי לתת לו משמעות ברורה. גדי אלכסנדרוביץ' 23:48, 31 בינואר 2007 (IST)

מסכים לחלוטין. כמה חלקים מהנוסחה אינם טריוויאליים כלל ובטוחני שיש פרופסורים ממחלקות שלא נזקקות למתמטיקה שלא מסוגלים להבין את הכתיב של הנוסחה. DGtal 23:52, 31 בינואר 2007 (IST)

קודם כל, ברכות על הערך, כן ירבו. ושנית, הייתכן שאין לנו ערך על אחת מיצירות האמנות הגדולות של המתמטיקה, קבוצת מנדלברוט? זה יכול בקלות להיות ערך מומלץ. ‏Harel‏ • שיחה 23:53, 31 בינואר 2007 (IST)

זו לא חבורת מנדלברוט? Maromn 23:56, 31 בינואר 2007 (IST)

לא. אין לה מבנה של חבורה. מקור הטעות כנראה בתרגום קלוקל של עמנואל לוטם, מתרגם מעולה בדרך כלל. גדי אלכסנדרוביץ' 23:57, 31 בינואר 2007 (IST)

אין לנו ערך אפילו על המספרים ה-p-אדיים (אם כי אני מקווה שבקרוב ייכתב אחד)... אנחנו רק בצעד הראשון. גדי אלכסנדרוביץ' 23:57, 31 בינואר 2007 (IST)

מספרים פיאדיים זה מעיק וכבד ומצריך המון ידע. קבוצת מנדלברוט זה פשוט יחסית, ויפהפה. ‏Harel‏ • שיחה 00:04, 1 בפברואר 2007 (IST)

אני מסכים שזה לא מתאים להדיוטות גמורים, אבל כל מי שלמד על השלמה של מרחב מטרי יכול להבין את הרעיון הבסיסי, שהוא לכשעצמו יפהפה. גדי אלכסנדרוביץ' 00:09, 1 בפברואר 2007 (IST)

רק המחשבה על המשפט "The ring of p-adic integers is the inverse limit of the finite rings Z/p^kZ" מספיקה - להתאים אותו לקורא הממוצע של הוויקיפדיה יהיה סיוט. ‏Harel‏ • שיחה 00:12, 1 בפברואר 2007 (IST)

כדאי אולי לרכז רשימה של ערכים מתמטיים חשובים חסרים, לא באופן כללי (כי אז יש אלפים....), אלא כאלה עם "סקס אפיל" לקורא הממוצע. זו צריכה להיות רשימה שדי קל לחבר, לא ארוכה מדי. ‏Harel‏ • שיחה 00:15, 1 בפברואר 2007 (IST)

לפני שנים היה לי התענוג המזוכיסטי לקרוא את מוסף "תרבות וספרות" של "הארץ", ולא להבין מילה בחלק מהמאמרים שהופיעו בו. בעיני עורך המדור ועורך "הארץ" זה נראה טבעי לחלוטין שמאמר בעיתון שעוסק בענייני ספרות ישתמש בטרמינולוגיה של חוקרי ספרות. כל הסימנים שמופיעים בביטוי $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }9\cdot 10^{-n}$, כמו גם הביטוי בשלמותו, הם אלף-בית של כתיב מתמטי, וכל בן תרבות חייב להכיר אותם (הבנה זו אינה דורשת ידע שחורג ממה שנלמד עד כיתה ט'). עם זאת ברור לי שעורך "הארץ", שלא לדבר על עורך "תרבות וספרות", יעדיף לחתוך ורידים ובלבד שלא יופיעו בעיתונו - זה גורלה של המתמטיקה, היא לא חלק מהתרבות הישראלית. בכל אופן, אני ממליץ לכל כלה שמחפשת חתן ולכל חתן שמחפש כלה, להציג את הביטוי המיועד לבן הזוג, ואם אינו מסוגל לקורא אותו, חבל על הזמן (במשמעות הישנה של ביטוי זה, שהיא פאסה, בדיוק כמו מוסד הנישואים וכמו המתמטיקה). אבל אם המאמר הזה בא לשמש כדוגמית של אנשי שיווק, שבאים לפתות אנשים תמימים להתנתק לרגע מ"כוכב נולד", לא אשים לו רגל בעקרונותי המיושנים. דוד שי 08:08, 1 בפברואר 2007 (IST)

הסרקזם שלך לא במקום, כמו גם העובדה שאתה קורא לחלק מהויקיפדים כאן "לא בני תרבות" ורומז שאינם ראויים לחתונה. תודה לאל, איננו עורכי המדור הספרותי של הארץ, ואם יש לנו שתי דרכים להציג משהו שאין בינן הבדל מהותי (שכן הסכום, כבודו הרב במקומו מונח, מופיע גם מופיע בהמשך ומדברים עליו רבות), לא ברור מדוע יש לבחור בדרך שברי לנו שתחסל קוראים. אין לזה שום קשר לדוגמיות של אנשי שיווק שמתעניינים בצופי "כוכב נולד" דווקא (האם מישהו מהויקיפדים שכבר התלוננו צופה ב"כוכב נולד"?), אלא לרצון שויקיפדיה תהיה קריאה. האם אנחנו באמת רוצים להוציא מהנפטלין את תבנית "פשט מתמטיקה", ועוד לערך על נושא פשוט כמו זה? גדי אלכסנדרוביץ' 08:22, 1 בפברואר 2007 (IST)

אין סרקזם בדברי, זו תפיסת עולמי באשר למקום הראוי למתמטיקה בחיינו. אין לי ספק שעד סוף היום כל הוויקיפדים יכירו סימון זה (כמו גם סימון מתמטי פחות אלמנטרי שמופיע בערך סימון מתמטי), וממילא יהיו כולם בני תרבות גם לפי הגדרתי, שאיננה מחמירה במיוחד. אין בכוונתי לשים לך רגל במטרתך לעשות את ויקיפדיה קריאה יותר, אני רק רוצה שהתבנית "פשט מתמטיקה" לא תישלף ברגע שאנו משתמשים בסימן שאיננו אחד מאלה של ארבע פעולות החשבון. דוד שי 08:40, 1 בפברואר 2007 (IST)

הזזתי את "המפלצת" להמשך הערך. דוד שי 08:47, 1 בפברואר 2007 (IST)

איש לא כינה את הנוסחה "מפלצת". גדי אלכסנדרוביץ' 08:54, 1 בפברואר 2007 (IST)

נראה לי שהאהבה שלנו למתמטיקה גורמת לנו לפעמים לשכוח את חרדת המתמטיקה שמאפיינת, בצדק או שלא בצדק, רבים מקוראינו. פסקת הפתיחה של הערך - כל ערך - היא זו שאמורה להציג את הנושא בפני הקורא, ואחרי קריאתה הוא מחליט אם להמשיך הלאה או להרים ידיים ולהגיד שהדבר אינו מעניין אותו או נפלא מבינתו. סטיבן הוקינג כתב בהקדמה לקיצור תולדות הזמן (כנראה בחצי חיוך) על כך ששמע כי כל נוסחה בספר מצמצמת את המכירות שלו בחצי. אני לא קיצוני כמוהו - לדעתי הבעיה היא רק עם נוסחה שמכילה סימנים לא מוכרים ($\ E=MC^{2}$ אינה כזו) שמופיעה בפסקת הפתיחה, ומקצצת את מספר הקוראים באחד יותר מדי. אני מקווה שהפתרון שהושג משביע את רצון כולם. גדי אלכסנדרוביץ' 08:54, 1 בפברואר 2007 (IST)

הערות

לא הבנתי את - "אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המתמטית, ישנם כאלו שאינם מקבלים את השוויון "...0.999=1", והתוצאה נראית נוגדת את האינטואיציה לרבים נוספים"

• אלו שאינם מקבלים הם בתוך הקהילה או מחוצה לה?
• התוצאה נראית נוגדת את האינטואיצה, של אחרים?
• זה ערך מומלץ באנגלית. כדאי להרחיב גם את ההקדמה בדומה למה שיש שם, וחלקים נוספים שאינם הוכחות כמו הכללות ישומים ובתרבות. כל הכבוד על ערך מושקע האזרח דרור 00:17, 1 בפברואר 2007 (IST)

החלק של הכללות כבר מוזכר בערך בתור פסקה, ולדעתי אין צורך בהרבה יותר מזה - ויקיפדיה האנגלית קצת מגזימים. גם היישומים נראים לי קצת מאולצים, אבל אתעמק בהם ואראה אם יש בהם משהו. החלק של ה"בתרבות" אכן לוקה מאוד בחסר, ולטעמי הוא הדבר המרכזי שחסר כרגע בערך. גדי אלכסנדרוביץ' 07:32, 1 בפברואר 2007 (IST)

קיצור דרך לשם הערך

ערך יפה מאוד! האם יש דרך נוספת להגיע אליו, מעבר לכתיבת שם הערך 0.999...? אלדד • שיחה 09:17, 1 בפברואר 2007 (IST)

ממליץ בחום על הפניה מסוג "ראו גם" בערך 1 (מספר). מגיסטר 09:33, 1 בפברואר 2007 (IST)

הוספתי את המספר לתבנית:מספרים כך שהוא יהיה נגיש בקלות. DGtal 09:37, 1 בפברואר 2007 (IST)

תודה רבה! אלדד • שיחה 09:43, 1 בפברואר 2007 (IST)

המשך דיון מדף ההוספה למומלצים

לצרך הנוחות, אעתיק את דברי מדף ההוספה ואעביר לכאן את דבריך, גדי. אני מקווה מאוד כי אין לך התנגדות.

הערך מעניין ברובו, אך לא הצלחתי להבין מה רוצים ממני בחלק המדבר על "בנייה פורמלית" לפני שקראתי כל משפט מספר פעמיים לפחות ומבלי לעבור על הערכים הנוגעים למחלקת שקילות ו-חתכי דדקינד, מה גם שישנה בעיה מרכזית של טריות הערך וחוסר יציבות מסוים. עדיף לתת לערך להמשיך ו"להתבשל" ולעבור אולי עוד פישוט בנושא הבניה הפורמלית. איש לא רודף אחרינו. --שמעון נעים

יש כאן בעייתיות מסויימת. הערך לא בא ללמד מחדש את כל התורה שמאחורי הבנייה הפורמלית של הממשיים, ובשלב הזה הוא כבר מניח ידע כלשהו (או לפחות רצון ללמוד ונכונות לקרוא את הערכים המתאימים). זה עדיין לא אומר שיש לפסול את כולו. אם תרצה, אפשר להמשיך את הדיון בדף השיחה של הערך. גדי אלכסנדרוביץ' 15:48, 1 בפברואר 2007 (IST)

אני מסכים אתך בנוגע לקיומה של בעיה הזו ומסכים בהחלט כי "הערך לא בא ללמד מחדש את כל התורה שמאחורי הבנייה הפורמלית של הממשיים, ובשלב הזה הוא כבר מניח ידע כלשהו (או לפחות רצון ללמוד ונכונות לקרוא את הערכים המתאימים)". לפיכך, אני חושב שבמבט מאקרו אפשר לדבר על בעיה מסוימת בהחלטה על ערכים רבים מתחום ההנדסה והמדעים המדויקים כמומלצים. מצד אחד, הערכים מסובכים יחסית להבנה עבור הדיוטות בתחום הערך ולא אחת הבנתם דורשת קריאה מעמיקה אשר "נודדת" גם לערכים אחרים ונכונות ללמוד ולהשקיע, עת מן העבר השני דרוש שערכים מומלצים יכילו ידע מעמיק– הידע אשר לעיתים דורש הבנה מוקדמת.

אם ערך מומלץ הוא בפרט ערך המכיל את כל הידע הדרוש בצורה מדויקת, חפה ככל-הנתן משגיאות (הן תוכניות והן לשוניות, סגנוניות וכו') וערוך נכונה, אזי אני נוטה להאמין שהערך עונה על הדרישה בכל הקריטריונים שהם בתחום ידיעותי. לו אנו מבקשים ערך מומלץ כ"חלון הראווה" של וויקיפדיה, אזי אני רואה בעיתיות בכך ש"חלון הראווה" שלנו יתן מבט דווקא על ערך בעל חלק מסובך מאוד להבנה הדורש עיון מעמיק בכדי שיוכל להפוך בחלקו לקריא עבור הקורא הממוצע. היות ולטעמי ערך מומלץ דורש התאמה לשני הקריטריונים (פרט למקרים חריגים ביותר, כמו במקרא הערכים בנושא הנאציזם, אך זהו כבר דיון אחר), אני נאלץ להחליט כי בערך הספציפי הנ"ל אני נגד, בעיקר בשל הפסקה בנושא הבניה הפורמלית. ומהי דעתך?--שמעון נעים 17:05, 1 בפברואר 2007 (IST)

דעתי היא כי ודאי שאין לפסול ערך דווקא בשל העובדה שהוא בוחר להעמיק גם בנושאים שהדיוטות לא יבינו. ערך מומלץ אמור לעניין את כולם - גם את אלו שלא מבינים כלום, וגם את אלו שמבינים משהו (ובתקווה, גם את אלו שכבר יודעים הכל). אי אפשר לעשות זאת על ידי צמצום ההיקף שבו הערך עוסק, וצריך להכיר בכך שקטעים שיהיו לא מובנים לחלק מהקוראים יהיו קיימים בערך. מה שחשוב הוא לוודא שאותם קטעים לא יהיו הכרחיים' עבור הבנת יתר הערך, ושלא יופיעו באמצע הקריאה - כלומר, שהקורא ההדיוט יוכל לקרוא את הערך עד שיגיע לנקודה שבה "נשבר לו", ולא לפספס שום דבר חשוב בהמשך (פרט לקישורים חיצוניים וכדומה, שכולם בודקים גם אם לא קראו את כל הערך).

לדעתי יהיה אבסורדי למדי להגיד שדווקא הסרת הפסקה על הבניה הפורמלית תהפוך את הערך ל"ראוי" להמלצה, מכיוון שהסרתה מוציאה מהערך הרבה מהעוקץ והעניין שבו (לדעתי). גדי אלכסנדרוביץ' 22:26, 1 בפברואר 2007 (IST)

למרות שהחלק על הבנייה הפורמלית לא היה ברור לי בקריאה ראשונה (ואינני בטוח האם כרגע הוא מובן לי לחלוטין, אבל ניחא), לא אמרתי לרגע (ואם השתמע כך מדברי, אז זו טעות ניסוח שלי) שיש להוריד את הפסקות בנוגע לבניה הפורמלית, מה גם שהורדתן תפגע בשלמות האינפורמטיבית של הערך. כמו שאני רואה זאת, ראוי שערכים הנכנסים לעמקם של נושאים מתחום המדעים המדוייקים וההנדסה יהיו ברורים לכל, או ש – בצער רב – יהיו בעלי "אופי" בעייתי מדי בכדי שיוכלו להקרא "מומלצים". בכל אופן, העלית מספר טיעונים כבדי משקל שראויים למחשבה מעמיקה יותר, עליהם לא אגיב מפני שיהיה חכם יותר לקחת אותם כחומר למחשבה. בכל אופן, כרגע אני נשאר בהתנגדותי גם ובעיקר בגלל סיבת הטריות של הערך. טרם יבשה הדיו הוירטואלית שלו, כפי שעודדי אמר. אולי בהצבעה עתידית אשנה את דעתי. --שמעון נעים 08:44, 2 בפברואר 2007 (IST)

למען הסר ספק, אני המתנגד מס' 1 (תרתי משמע...) להמלצה על הערך הזה כעת, בדיוק בשל סוגיית גילו. אנשים לא קוראים את דרישת ה"יציבות" בדף הקריטריונים... גדי אלכסנדרוביץ' 08:47, 2 בפברואר 2007 (IST)

כן, אני יודע. חשבתי פעם אפילו להציע פסילה מיידית, כנוהל, של כל ערך שגילו צעיר משבועיים. אולי יום אחד אנסה לקדם זאת.--שמעון נעים 09:35, 2 בפברואר 2007 (IST)

שיפורים

לא מסבירים את הקשר בין חזקות שליליות לחילוק בעשר. ראוי שאיפהשהוא יעשה הזיהוי של 10^-1 עם השבר 1/10. בברכה, יוסאריאן • שיחה 00:18, 2 בפברואר 2007 (IST)

לדעתי אנחנו סתם מסבכים את עצמנו עם השימוש בחזקות שליליות - זה סימון מקוצר שכאן רק מוסיף לנו עבודה. תיקנתי. גדי אלכסנדרוביץ' 00:23, 2 בפברואר 2007 (IST)

הבעיה היא שהחזקות השליליות מופיעות גם כתובות במילים, ולא מזוהות באופו ברור עם השבר. יוסאריאן • שיחה 00:40, 2 בפברואר 2007 (IST)

אכן. זו אשמתי הבלעדית. ניסיתי להגיש עזרה ראשונה, אבל כנראה שניסוח מחדש (איך?) עדיף. גדי אלכסנדרוביץ' 00:44, 2 בפברואר 2007 (IST)

הייתי מחליף את התיאור של 25.3 בשיוויון בין שלושה אגפים, אחד עם חזקות שליליות, השני כמו הנוכחי, והשלישי עם המספר עצמו. הכתיבה המתמטית בויקיפדיה היא נוראית.יוסאריאן • שיחה 01:09, 2 בפברואר 2007 (IST)

"טור אינסופי שכזה מכונה טור חזקות. הגדרתו המדוייקת של טור שכזה, וההוכחה כי ניתן לייחס משמעות לסכומו (כלומר, שהטור מתכנס), שייכת לתחום החשבון האינפיניטסימלי."

יכול להשתמע כאילו כל טור חזקות מתכנס, ולא היא (מזכיר לי דיון בP=NP).יוסאריאן • שיחה 00:22, 2 בפברואר 2007 (IST)

יתוקן. גדי אלכסנדרוביץ' 00:23, 2 בפברואר 2007 (IST)

כמו כן, בהצגת הביקורת על ההוכחות כדאי לציין כי העמדות הן מחוץ לקהילה. הדבר מוזכר בפסקת הפתיחה, אבל סבורני שיש מקום להזכיר אותו גם בסיכום החלק הזה. כמו כן אפשר לציין שהעמדה המתמטית מוכיחה את השוויון מעקרונות ראשוניים, ושמסגרת החוקים שמאפשרת אותו שימושית עד מאוד. יוסאריאן • שיחה 00:36, 2 בפברואר 2007 (IST)

אשמח מאוד לראות אותך עושה זאת - לדעתי תעשה זאת טוב ממני. גדי אלכסנדרוביץ' 00:44, 2 בפברואר 2007 (IST)

אנסה. אני מסכים שזה קשה לניסוח, מה גם שלא ברור מה הרקע של מעבירי הביקורת, אליו כדאי להתייחס. יוסאריאן • שיחה

לרוב הרקע שלהם הוא של מתמטיקאים מומחים מטעם עצמם, אבל אנסה למצוא קישורים למבקרים קצת יותר מחוברים למציאות. גדי אלכסנדרוביץ' 01:04, 2 בפברואר 2007 (IST)

אני לא בטוח שאפשר למצוא ביקורת עניינית. הנוסחה הרי אינה מוצגת כאמת ודאית, אלא כמסקנה מאוסף הנחות ידועות שהמתמטיקה ועימה רוב המדעים המדוייקים קיבלו על עצמם משום שימושיותם, והמסקנות המעניינות הנובעות מהן. כדאי לציין זאת בערך ולשים את ההתנגדויות כביכול במקומן. יוסאריאן • שיחה 14:24, 2 בפברואר 2007 (IST)

שאלות לאחר מעבר

קודם כל, רציתי לומר כי זה הערך המתמטי הראשון אני חושב שפגשתי שמוסבר בצורה כה נהירה. גדי- מיטב המחמאות. ממעבר על הערך, נתקלתי במספר דברים שלדעתי זקוקים להסבר:

• בפסקה על סדרות קושי- ממה שהבנתי, אם לשני מספרים יש את אותן סדרות קושי אז הם שווים. האם הבנתי נכון? אם כן, אני חושב שצריך להבהיר את זה בערך.
• באותה פסקה- בסוף הפסקה (יחסית) רשום "...שואף לאפס, שכן $\ |x_{n}-y_{n}|=|{\tfrac {1}{10^{n}}}|\to 0$.". האם לא צריך להיות רשום לפני $\ \lim _{n\to \infty }$? (כך גם בצד השני של השוויון)
• הפסקה על חתכי הדדיקנד ברורה פחות לדעתי. ראשית- אני חושב שלא ברור מה הקשר בין המספר הממשי לחלוקה של הקבוצות A ו-B. שנית- לא הבנתי מדוע מהגדרת החתכים נובע מ-$\ {\frac {a}{b}}<1$ כי $\ {\frac {a}{b}}<1-{\frac {1}{10^{b}}}$. למעשה, גם המשך המשפט לא ברור לי (אולם אולי הוא יתבהר לי לאחר שאבין את הסוגייה האחרונה שציינתי).

כל הכבוד על הערך, ירון • שיחה 14:07, 2 בפברואר 2007 (IST)

תשובות:

• כן, בוודאי - זה נובע מההגדרה, שכן אז ההפרש בין "שתי" הסדרות (שהן בעצם אותה סדרה) יהיה אפס. אני קצת מתקשה להבין איך להבהיר את זה, כי כל ההגדרה הולכת "מהכיוון ההפוך" - קודם יש לנו סדרות קושי, ואז יש לנו מספרים שמוגדרים באמצעותן. תוכל לתת דוגמה למקרה שבו אנחנו חושבים על שני מספרים שונים למרות שסדרת הקושי שלהן זהה?
• יש מספר דרכים לרשום גבולות, והשימוש בחץ הוא אחת מהן. מכיוון שאני רואה שזה גורם לבלבול, אשנה את זה ואשמור על אחידות.
• הרעיון הוא שהמספר הממשי הוא ה"מפריד" בין הקבוצות A ו-B. אנסה להסביר זאת. אי השוויון שמטריד אותך הוא לא מיידי ודורש הוכחה, שתסרבל את הערך - אבל אם זה מבלבל, לפחות אנסה להכניס הסבר.

גדי אלכסנדרוביץ' 14:16, 2 בפברואר 2007 (IST)

• לא (כמדומני זה גם לא אפשרי), אבל מכיוון שסדרות הקושי הן מונח חדש למרבית הקוראים שחסרים תואר כזה או אחר במתמטיקה, נראה לי שציון עובדה פשוטה זו יקל בהבנת העניין.
• אוקיי.
• מעולה, תודה. ירון • שיחה 14:20, 2 בפברואר 2007 (IST)

פיתוח הממשיים

לשם מה? הרי 1 הוא רציונלי, וגם שדה המספרים הרציונליים הוא מרחב טופולוגי; כל הדיון עוסק בטור המתכנס ברציונליים (ושווה שם ל- 1), ולכן הדיון במספרים הממשיים מהווה עומס שאפשר לוותר עליו. עוזי ו. 01:42, 4 בפברואר 2007 (IST)

כי ישנם כאלו שאינם מקבלים את טענות ה"התכנסות" שכן אינם מוכנים לזהות טור עם הסכום שלו (ולא יעזור אם יגידו להם "אנחנו מגדירים את ...0.999 בתור סכום הטור, לא בתור הטור"), ואילו המעבר לממשיים מספיק דרך אחרת לחשוב על השוויון על ידי הרחבת ההקשר. חוץ מזה, אותי כקורא מאוד מעניין לראות איך ההגדרה של ...0.999 מסתדרת עם ההגדרות של הממשיים. גדי אלכסנדרוביץ' 08:41, 4 בפברואר 2007 (IST)

שינוי סדר הסכימה

ההוכחה שמבוססת על טורים הנדסיים (שהיא אכן ההוכחה ה"אמיתית" היחידה בחלק של ההוכחות שאינן עוסקות בממשיים) הועברה לתחילת החלק. איני בטוח שזה רעיון טוב, מכיוון שזו ההוכחה המסובכת ביותר באותו החלק, והיא מבוססת על אמירה חזקה מאוד של "במקום הזה והזה מוכיחים ולא ניכנס לזה כאן", וגם ההתנגדות לה היא העמוקה וה"פילוסופית" ביותר.

לדעתי עדיף ללכת בשיטת "מהקל אל הכבד", להציג את ההוכחות על פי רמת הפשטות שלהם, כך שיהיה לנו סיכוי טוב "לשכנע" את הקורא עוד לפני שהוא מגיע להוכחות האמיתיות (ולדעתי יש קוראים שישתכנעו, או לפחות שהאינטואיציה שלהם תסתדר - ו"סידור אינטואיציה" זה לא משהו שההוכחה עם הסכום האינסופי תעשה למי שזה לא מסתדר אצלו), ורק כשמגיעים להוכחה האחרונה להסביר גם שכל ההוכחות האחרות בעצם נובעות ממנה. מה דעתכם? גדי אלכסנדרוביץ' 08:51, 4 בפברואר 2007 (IST)

עוד דבר שמצער אותי בעריכה הוא שהוסרו ההתנגדויות לשתי ההוכחות הפשוטות ונשארו רק אמירות ה"אם מקבלים...". לדעתי, אחד מהדברים הנאים בהוכחות הללו היא ההתנגדויות התמוהות שהן מעוררות (ובראשן הברנש שאומר "כן, גם להגיד ש-1/3=...0.333 נשמע לי חשוד מאוד אם זה מוכיח ש-...0.999=1"). אחפש קישורים כך שניתן יהיה לספק מקור מדוייק לכל התנגדות, אבל לדעתי כדאי שהן יופיעו כאן. שוב - מה דעתכם? גדי אלכסנדרוביץ' 08:55, 4 בפברואר 2007 (IST)

שאר הנימוקים אינם הוכחה אלא דחיקת הבעיה ("אולי אין משמעות לסכום אינסופי") אל מתחת לשטיח. עוזי ו. 11:58, 4 בפברואר 2007 (IST)

כמו כל הוכחה במתמטיקה, גם הנימוקים הללו הם הוכחות שמבוססות על הנחות יסוד מקובלות. במקרה הזה, ההוכחות הללו מניחות דברים מאוד כבדים, שכדי להבין מדוע ניתן להניח אותם יש לעבור לשאלת המשמעות של סכום אינסופי ודרכי הטיפול בו. מכיוון שרוב הבריות אינם מטרידים את עצמם בנושאים הללו ולפעמים כלל אינם מודעים לקושי שהם מעלים, ההוכחות הללו יותר ברורות להם. לא ראיתי שנימקת מדוע הסדר הנוכחי עדיף, ואולי צריך להשאיר את הבמה לקוראים הנוספים. גדי אלכסנדרוביץ' 13:12, 4 בפברואר 2007 (IST)

כשמציגים בפני הקורא ארבע "הוכחות" ואומרים לו שיש ביניהן מקובלות יותר או פחות, זהו שירות גרוע מאד. יש שם הוכחה אחת, ושלושה משחקים מבלבלים, שמצליחים בעיקר באחיזת עיניים. אם אין משמעות מוסכמת לפיתוח אינסופי, מה זה 0.333...? ואיך אפשר להכפיל פיתוח אינסופי בעשר (באיזו מערכת אלגברית מחשבים כאן את הכפל)? הגרוע מכל הוא אותו $\ \infty -1$ ב"הסבר" האחרון; מה זה בכלל? ומה קורה באותן שלוש נקודות שמפרידות את שני השורות הראשונות מן האחרונה? היתרון היחיד של שלושת הפטנטים האלה על פני הטענה המקורית הוא שהקורא אינו מכיר אותם, ולכן לא הספיק לתמוה מה הם אומרים בדיוק. עוזי ו. 21:13, 4 בפברואר 2007 (IST)

אני לא מבין איך אפשר לענות לך אם כבר בשורה הראשונה אתה אומר דברים לא נכונים. גדי אלכסנדרוביץ' 21:18, 4 בפברואר 2007 (IST)

לפני שערכתי את הפרק הזה, המבוא היה כדלקמן: "קיימות הוכחות רבות ושונות לנכונות השוויון, הנבדלות זו מזו ברמת המורכבות והריגורוזיות שלהן ובטיב ההנחות המוקדמות שנדרשות כדי לקבלן. נציג כאן חלק מההוכחות המקובלות וביקורות אפשריות עליהן. נציין מראש כי ההתנגדויות להוכחות אלה אינן מקובלות בקהילה המדעית היום, בשל הבסיס האקסיומטי המוסכם שעליו הן נשענות ומשמש בהצלחה את העוסקים במדעים המדוייקים". כל מה שיש להוכיח בשוויון שלנו, טעון הוכחה באותה מידה גם בשלושת הפעלולים-שאינם-הוכחות. עוזי ו. 23:21, 4 בפברואר 2007 (IST)

איפה טענתי אחרת? אמרתי שההבדל הוא בטיב ההנחות המוקדמות שנדרשות כדי לקבל את ההוכחות. עבור הוכחת ה-3/3, למשל, נדרשות שתי הנחות כבדות מאוד: שקורא ההוכחה כבר "קנה" את זה ש-1/3=...0.333 (בין אם הוא יודע את ההגדרה המדוייקת ובין אם לאו) ובכך שהוא מאמין שניתן לבצע כפל של הביטוי שבצד שמאל במספר טבעי (ושמקבלים ...0.999). בוודאי שכדי להוכיח שאפשר לעשות את הדברים הללו צריך לעבור למשהו בסיסי יותר. יתר על כן, מכיוון שכל הוכחה מתבססת על הנחות יסוד מוסכמות (במקרה שלנו - פיתוח עשרוני הוא סכום הטור), אין מניעה, כשדנים בנושא עם כאלו שהריגורוזיות לא חשובה להם, לקחת בתור הנחות יסוד את הטענות שאמרתי קודם שהקורא צריך "לקנות". לדעתי אלו אינם "פעולולים-שאינם-הוכחות" אלא "הוכחות-עם-הנחות-מופרזות-עבור-מתמטיקאים-קפדנים". גדי אלכסנדרוביץ' 23:30, 4 בפברואר 2007 (IST)

ניסיתי לשנות שוב את סדר הסכימה תוך מתן דגש כבר בהקדמה לכך שכל ההוכחות (פרט לאחרונה) הן "על תנאי". אני עדיין סבור שדרך ההצגה העדיפה היא מהקל אל הכבד - את שתי ההוכחות הראשונות יכול לקבל גם מי שאינו מבין מאומה בטורים, ומשתמש: גדי ו. אמר שההוכחה השלישית שכנעה אותו עוד בבית הספר היסודי. אני מקווה שהמצב החדש מקובל על דעת הכל (או שניתן לשפרו מבלי לשנות שוב את סדר הסכימה) גדי אלכסנדרוביץ' 00:07, 5 בפברואר 2007 (IST)

0.000...1

מה קורה עם המספר הזה?--82.81.14.220 21:39, 5 בפברואר 2007 (IST)

כפי שנכתב בערך, זה לא באמת מספר, כי זה אינו פיתוח עשרוני חוקי: בפיתוח עשרוני, כל ספרה צריכה להיות במרחק סופי מהנקודה העשרונית. גדי אלכסנדרוביץ' 21:44, 5 בפברואר 2007 (IST)

הסימן "1" ב-

0.000...1

מציין כי הפיתוח העשרוני של טור הנדסי אינסופי הינו חסר תמידית את הערך, המשלים את הפיתוח העשרוני (לדוגמא) של [בסיס 10] ...0.999 למספר 1 .

פער תמידי זה הוא בדיוק התכונה של פיתוח עשרוני של טור גיאומטרי אינסופי (טור שהאיבר הסופי שלו לא קיים).

לביטול הסימן "1" בפיתוח עשרוני אינסופי יש, במקרה הנדון, משמעות אחת בלבד והיא, שאנו עוסקים בפיתוח עשרוני המבוסס על טור גיאומטרי סופי, כאשר הפיתוח הסופי שלו הינו למעשה דילוג למספר המוגדר כגבול הטור (ובמקרה הפרטי של [בסיס 10] ...0.999, הגבול הוא 1) המונע את קיומו של פיתוח עשרוני המבוסס על טור גיאומטרי אינסופי. דורון שדמי 00:42, 6 בפברואר 2007 (IST)

באותה מידה ניתן לומר שהסימן "1" ב-1...0.000 מסמל את השפעת קרני הגאמה על צפורני החתול. גדי אלכסנדרוביץ' 07:16, 6 בפברואר 2007 (IST)

אשמח אם תגיב בנושא בדף השיחה שלי (אחרי שתעיין ברצינות בתוכן העוסק בערך 999....) תודה דורון שדמי 23:27, 7 בפברואר 2007 (IST),

"דחיקת השגיאה לאינסוף"

לדעתי השינוי מפספס את הפואנטה (למרות שבוצע על ידי מי שהוסיף את הפסקה המקורית): הרי כל ההוכחה היא בכך שההפרש אינו יכול להיות מוצג בתור סדרה אינסופית של 0 שמסתיימת ב-1. כלומר, זו הסיבה שבגללה ההוכחה (שאינה פורמלית, כמובן) כן עובדת, לא הסיבה שבגללה היא אינה עובדת. גדי אלכסנדרוביץ' 12:43, 20 בפברואר 2007 (IST)

זאת לא הוכחה, זה רק הסבר שממחיש שזה צריך לעבוד. השימוש במינוחים של ביקורת מעיד על זה שניתן לראות בטיעון הזה הוכחה מתמטית, וזה לחלוטין לא נכון. גדי ו. (שיחה) 14:10, 20 בפברואר 2007 (IST)

זה לא משנה את מה שאני מתריע עליו - הפכת את הסיבה שבגללה ההסבר משכנע, לסיבה שבגללה הוא אינו משכנע. נראה לי שכדאי לבצע לסעיף כולו שכתוב יסודי. גדי אלכסנדרוביץ' 14:15, 20 בפברואר 2007 (IST)

הייתי מתחיל במחיקת השורה הכוללת את הסימן $\ \infty -1$. כבר עדיף לטעון ש- 0.999...=1 בגלל שכך ציווה שד המספרים את נביאו מתושעאל. עוזי ו. 17:43, 20 בפברואר 2007 (IST)

מה הבעיה? זה סימון, כמו שאמרת, שבא להעיד על אינטואיציה מסויימת. מכיוון שהאינטואיציה הזו מתגלה כשגויה (כפי שאמור להיות מוסבר בהמשך), מתחזקת האמונה בכך שההפרש חייב להיות אפס ולא מספר כלשהו. גדי אלכסנדרוביץ' 18:11, 20 בפברואר 2007 (IST)

ערכתי את הפסקה הבעייתית, אני מקווה שלשביעות רצון כולם. גדי אלכסנדרוביץ' 19:19, 21 בפברואר 2007 (IST)

כעת מופיע שם סימון שפירושו המוצהר הוא רצף אינסופי של אפסים שבסופו מופיע 1. מה זה בכלל אומר? עוזי ו. 20:22, 21 בפברואר 2007 (IST)

זה אומר "רצף אינסופי של אפסים שבסופו מופיע 1". מפתיע עד כמה רבים האנשים (מבין אלו שיצא לי לדבר איתם בנושא) שלא מבינים את הבעיה העקרונית שבהגדרה הזו (שאני מקווה שמוסברת בערך - ואם לא, אפשר לשפר) והאינטואיציה שלהם היא שה"מספר" הזה הוא תוצאת החיסור. אגב, עד כמה שאני זוכר, אין בעיה עקרונית בהוספת איבר נוסף ל"סוף" קבוצת המספרים הטבעיים, כך שהרעיון של "משהו שמגיע אחרי אינסוף איברים" הוא לא מופרך לגמרי, הוא פשוט חסר משמעות כאשר דנים בהצגה עשרונית של מספרים. גדי אלכסנדרוביץ' 20:28, 21 בפברואר 2007 (IST)

כל הפסקה הזו באה להמחיש. זו לא הוכחה, ואין בה שום כשל. אין להמחשה זו מאמינים ומתנגדים. ההסבר שאחרי ההמחשה מציג את ההמחשה כהוכחה כושלת.
ניתן לדעתי להחליף את הפסקה ההיא ב:

דרך נוספת להשתכנע בכך ש-...0.999=1 היא על ידי בחינת ההפרש ...1-0.999.

>${\begin{matrix}x_{1}&=&0.9&\Rightarrow &1-x_{1}&=&0.1\\x_{2}&=&0.\underbrace {99} _{2}&\Rightarrow &1-x_{2}&=&0.\underbrace {0} _{1}1\\x_{3}&=&0.\underbrace {999} _{3}&\Rightarrow &1-x_{3}&=&0.\underbrace {00} _{2}1\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{matrix}}$

אינטואיטיבית אנו רואים שחיסור ...0.999 מ-1 נותן אינסוף אפסים לאחר הנקודה העשרונית ובסופם 1.
כיוון שסופו של אינסוף אינו בנמצא את ה-1 שבסוף אי אפשר לצרף למספר וההפרש בין 1 ל-...0.999 הוא בדיוק 0.
המחשה זו מדגימה גם את מושג האינפיניטסימל.

בלי לציין כשלים (זו לא הוכחה) ובלי להביא התנגדויות (זו לא הוכחה, מה יש להתנגד?). גדי ו. (שיחה) 15:32, 25 בפברואר 2007 (IST)

אתה הכותב המקורי של הפסקה, אני מן הסתם לא אסרב לניסוח שלך, ומקווה שגם על עוזי הוא מקובל. גדי אלכסנדרוביץ' 17:00, 25 בפברואר 2007 (IST)

רק שיפור ניסוח: "כיוון שלא קיים סוף לאינסוף, לא ניתן לצרף למספר את ה-1, ומכאן שההפרש ....". לטעמי זה פותר את הבעיה שעליה הצביע עוזי. בברכה, ירון • שיחה 17:04, 25 בפברואר 2007 (IST)

קטונתי מלדעתי איזה משני הניסוחים עדיף (דווקא הראשון נשמע לי טוב יותר, אבל זה רק אני) אז לא אבצע שינויי ניסוח בעצמי, אבל אחרים מוזמנים. גדי אלכסנדרוביץ' 17:08, 25 בפברואר 2007 (IST)

התייחסות לאינטרנט בפסקה השלישית

במקום אחר נאמר "ההתייחסות לאינטרנט ולדיונים בה בפסקה השלישית נראית לי לא במקום. להגלות לסוף הערך". אנסה להסביר מדוע לדעתי זה כן מתאים שם:

1. ראשית, חשוב לזכור שמבחינה מתמטית, השוויון ...0.999=1 הוא טריוויאלי לחלוטין (אמנם הוא אינו אינטואיטיבי, אך כך גם דברים רבים אחרים במתמטיקה). איש לא היה טורח להקדיש לו מחשבה נוספת אלמלא היו מתעוררות מהומות רבות כל כך סביבו. לטעמי כדאי לציין כבר בהתחלה גם את המימד הזה של הערך.
2. שנית, הגליה לסוף הערך פירושה שאנשים יצטרכו לצלוח או לדלג מעל החלק המתמטי הקשה של הערך - זה שעוסק בבנייה הפורמלית של הממשיים ואיני סבור שרוב הקוראים ירצו להתמודד איתו. אני לא אוהב "להחביא" טקסט קריא אחרי חלקים של טקסט לא קריא, אף שכמובן בתיאוריה כל אחד יכול "להגיע" אליהם.
3. שלישית, גם לטעמי עדיף להקדיש לנושא סעיף בפני עצמו, עם כותרת והכל. לעת עתה לא עלה בידי לאסוף מספיק חומר כדי לכתוב כזה סעיף (ואיני מרוצה במיוחד ממה שקורה בויקיפדיה האנגלית) ולכן העדפתי לצרף את הפסקה הקיימת למקום שבו לדעתי היא הכי מתאימה. מכיוון שרוב הערך עוסק בהיבטים המתמטיים של הנושא, המקום שנראה לי מתאים ביותר הוא הפתיחה. גדי אלכסנדרוביץ' 14:51, 24 בפברואר 2007 (IST)

דיון שהחל בהצבעת ההמלצה

• נגד. פרט למבוא ולפרק הראשון, שמסבירים היטב במה מדובר, שאר הערך טעון שכתוב יסודי. פרק ה"הוכחות לנכונות השוויון" (איך אפשר להוכיח הגדרה) אינו מביא אף הוכחה כזו, אלא שלושה פעלולי קוסמות והוכחה (נכונה) למשהו אחר. יודגש שאני קורא לתכסיסים האלה כך, לא משום שהם אינם עומדים בסטנדרטים מחמירים כלשהם של הוכחה, אלא משום שהם מניחים מראש את המבוקש, תוך הסחת דעתו של הקורא. במקום אחד מופיע הביטוי המסתורי $0.\underbrace {0\cdots 0} _{\infty -1}1$, שפירושו "המספר שבו מופיעים, אחרי הנקודה העשרונית, סדרה אינסופית של אפסים, שמיד בסופה מתנוססת הספרה 1". אם מישהו יודע היכן מסתיים האינסוף, אשמח לשמוע. הפרק האחרון ("שוויון הנובע מהבנייה הפורמלית של המספרים הממשיים") לחלוטין אינו רלוונטי - אבל אם זה כל-כך מסובך, זה מוכרח להיות נכון. עוזי ו. 23:01, 24 בפברואר 2007 (IST)

שיניתי את "הוכחות" ל"נימוקים". בקשר ל"מניחים מראש את המבוקש" - זה לא נכון, הם מניחים דברים פשוטים יותר. באשר ל"לא רלוונטי - אבל אם זה כל כך מסובך, זה מוכרח להיות נכון" - זוהי כמובן דעתך, אבל אני סבור ש-1) זה רלוונטי כי זה מציג הגדרה שונה - ולכן גם דרך שכנוע אחרת, שיכולה לפעול גם על מי שלא מקבל את מושג הסכום המתכנס, ו-2) זה ממש לא מסובך ואתה יודע זאת היטב - כל סטודנט למתמטיקה של שנה א' יכול להבין זאת. באשר למשמעות "הסימון המסתורי" - כבר עניתי לך בדף השיחה של הערך ולצערי לא השבת. איני יודע איפה מסתיים האינסוף, אבל כבר בסמסטר הראשון של התואר הראשון שלי למדתי שאין שום בעיה בקבוצה סדורה לינארית עם אינסוף איברים ואיבר אחרון - ואתה מוזמן לראות את הסימון המסתורי כייצוג של קבוצה שכזו. אני מציע שנחזיר את הדיון לדף השיחה של הערך אם לדעתך הוא לא מוצה. גדי אלכסנדרוביץ' 23:44, 24 בפברואר 2007 (IST)

עוד משהו קטן: "איך אפשר להוכיח הגדרה" לא רלוונטי. לא מוגדר ש-...0.999 הוא 1 (אחרת באמת לא היה על מה לדבר) אלא מוגדר (בגישה הראשונה) שהוא שווה לסכום של טור הנדסי מסויים. אותו הטור מתכנס ל-1, ולכן אין כאן בעיה מתמטית וההוכחה (שקיימת) היא טריוויאלית, אבל להגיד שזו ההגדרה זה פשוט לא נכון. גדי אלכסנדרוביץ' 23:49, 24 בפברואר 2007 (IST)

מי שאינו מקבל את השוויון $\ 0.999...=1$ יכול לעשות זאת מהרבה סיבות; למעט, אולי, הסיבה "זה לא נראה לי הגיוני", כולן חלות באותה עוצמה גם על השוויון $\ 0.333...=1/3$. מי אומר שהביטוי האינסופי הזה מייצג סכום? מי אומר שהסכום הזה הוא מספר רציונלי? מי אומר שהוא שווה דווקא ל- 1/3? על כל הבעיות האלה, נוספת הטענה שהכפלה של הספרות בביטוי מוקשה מסויים, במספר קבוע, שקולה להכפלת הערך של הביטוי באותו מספר. כדי להאמין ב-X, הקורא מתבקש להאמין גם ב-X (פחות מוכר) וגם ב-Y.

בוא ננסה לפענח את הנימוק שמסתתר באותה קבוצה אינסופית עם איבר אחרון: כדי להסביר לקורא (או הטרחן המזדמן) מה המשמעות של שברים עשרוניים אינסופיים (מושג מוכר לכל, שיש עליו הסכמה רחבה), אנחנו מציגים בפניו "שברים" מסוג חדש, שהם פונקציה מסודר חדש ומפתיע ($\ \omega +1$) אל מרחב הספרות - ביטויים שבאופן כללי איש לא טרח להגדיר, והמשמעות האינטואיטיבית שלהם אינה ברורה. בנוסף לזה, כדי להסביר את שלוש הנקודות שממשיכות את השבר 0.999 (ואשר המשמעות שלהן ברורה לכל קורא, לרבות הטרחנים), מחליפים אותן בשלוש נקודות אחרות, המייצגות תהליך גבולי מורכב; תהליך דמוי אינדוקציה (אבל כזה שאיננו נובע מאקסיומת האינדוקציה!), שבו מסיימים סדרה אינסופית של טענות על שברים סופיים, בזינוק מחשבתי לשוויון בין ביטויים שלא הוגדרו.

באשר לפיתוח של המספרים הממשיים - כאן מסתתרת שיטה אחרת לגמרי. השוויון המדובר מקובל על בוגרי שנה א' למתמטיקה, ולכן (לכאורה) הדרך הטובה ביותר לגרום לקורא להסכים לו, היא ללמד אותו מה שתלמידי שנה א' יודעים; למרות שמדובר ברעיונות הרבה יותר מורכבים מן השוויון שלנו. הרי הטענה היא שהמספר $\ 0.999...$ מייצג את המספר 1 - שהוא מספר רציונלי למהדרין. מה שצריך כדי לקבל שוויון כזה אינו ההגדרה של המספרים הממשיים, אלא ראיית הרציונליים כמרחב מטרי (האם זה מצריך, בגוף הערך, מבוא לטופולוגיה מטרית?) עוזי ו. 11:12, 25 בפברואר 2007 (IST)

שבירה

אני אנסה להסביר מדוע נראה לי שיש טעם בהצגת ה"הוכחות" כמו שהן כרגע:

"הוכחה", עד כמה שאני מבין אותה, היא סדרה של טענות, כאשר הטענות שמהן מתחילים הן אקסיומות, והדרך שבה גוזרים טענה מהקודמות לה היא שימוש בכללי היסק. ה"הוכחות" של ה-3/3 ושל ה-10x=9+x הן מבחינה זו הוכחות לכל דבר ועניין. הן לוקחות מספר הנחות יסוד (למשל, ש-1/3=...0.333, שכפל פיתוחים עשרוניים אינסופי זהה לכפל פיתוחים עשרוניים סופיים, וכדומה) וגוזרות מהן את הטענה. הנחות היסוד הללו אינן מוכחות; הדרך להוכיח אותן היא לפנות להגדרה הבסיסית - טור אינסופי.

אז בשביל מה הן טובות ולמה הן צריכות לעמוד בפני עצמן? מכיוון שההגדרת הטור אינה מה שעומד ללא-מתמטיקאים מול העיניים בשעה שהם מנסים להבין את השוויון. יתר על כן, הם אינם מסוגלים להבין עד הסוף את הוכחת הטור מבלי שילמדו חשבון אינפיניטסימלי - אומרים להם ש"הטור מתכנס" אבל לא אומרים מה זה אומר בכלל. מראים להם נוסחה של סכום הטור אבל לא מסבירים איך הגיעו אליה. בקיצור - משאירים אותם באוויר. זה טוב למי שמוכן לקבל את האקסיומות הללו, וזה מצויין עבור מתמטיקאים שמבינים את הנושא, אבל איני בטוח שזה טוב לכל הקוראים - והמטרה כאן היא להגיע לכמה שיותר קוראים.

עכשיו נשאלת השאלה האם האקסיומות של ה"הוכחות" הפשוטות יותר כן יהיו מקובלות על הקוראים שלא מסתדרים עם הטור. לדעתי התשובה היא כן, פשוט מכיוון שהאקסיומות הללו אינטואיטיביות יותר. השוויון 1/3=...0.333 הוא טבעי יותר להבנה מכיוון שלא חבויה בו הבעיה שמאפיינת את ...0.999=1 - אין כאן שני ייצוגים שונים לאותו המספר. גם האפשרות לבצע כפל מספר בפיתוח האינסופי היא אינטואיטיבית - מדובר בהכללה מתקבלת על הדעת של מה שכולם עושים בבית הספר עם פיתוחים סופיים. כמובן שיש להוכיח שכל הדברים הללו נכונים, אבל זה דבר שחשוב למתמטיקאי; למי שאינו מתמטיקאי ומקבל את התכונות הללו כאקסיומה אין את הצורך הזה.

נעבור לדבר השני, הביטוי המסתורי 1...0.000. בכל הדיון שלי איתך ניסיתי להסביר שוב ושוב שאין צורך לייחס משמעות מתמטית לסימון הזה - ולמעשה, אמרתי (גם בגוף הערך) שאין לו משמעות. הסיבה לכך שהוא מופיע היא שהאינטואיציה של חלק מאלו שמתמודדים עם הבעיה "ממציאה" את המספר הזה - ואת זה ראיתי הן כשקראתי דיונים ב-sci.math והן כשניהלתי דיונים פרטיים עם אנשים על השוויון. אותם אנשים לא מוטרדים ממה שמטריד אותך, כמתמטיקאי - איך "אוכלים" דבר כזה. האינטואיציה שלהם לא מצביעה להם על כל בעיה איתו. לכן חובה עלינו להציג אותו (לא להציג אותו פירושו להתעלם מכך שזה מספר שמופיע בדיונים על השוויון) ולהסביר מדוע הוא אינו חוקי בהקשר של הדיון. לצערי גררת את הדיון בינינו על הברנש הזה לסרקזם חסר טעם ("אם מישהו יודע היכן מסתיים האינסוף, אשמח לשמוע"), והכנסתי את הסודרים לעניין רק כדי לענות על השאלה המגוחכת הזו.

באשר לפיתוח של המספרים הממשיים - אני חושש שאיני מבין מה אתה מנסה להגיד. אנסה להסביר שוב למה לדעתי הסעיף הזה חשוב: הסעיף קודם קם ונופל על הגדרת ...0.999 כטור אינסופי. מי שיש לו בעיות עם סכומים אינסופיים (ויש כאלו - נתתי קישור בגוף הערך לספר "מכובד" שתוקף בין היתר את הדבר הזה בדיוק) לא יקבל את הגישה הזו, וחסל. מבחינתו, על פי ההגדרה הזו ...0.999 מייצג "תהליך" שלא יסתיים לעולם ותו לא, ובפרט אינו יכול להיות שווה ל-1.

לעומת זאת, הגדרות המספרים הממשיים, אף שהן עצמן מערבות מושגים אינסופיים, אינן לוקות בכשל דומה. המושג "סכום אינסופי" כלל לא מוזכר בהן, ול"שוויון" יש משמעות שונה לחלוטין - לא שוויון בין שני מספרים, אלא שוויון בין מחלקות שקילות או בין חתכים. לשוויון כזה יכול להסכים גם מי שמתנגד לכל תורת הטורים.

לסיום, אני מקבל את התחושה שאתה כופה ריגורוזיות-יתר על הערך. אם אנחנו בוחרים להתעלם מהאינטואיציה שיש לקוראים ומהויכוחים הרבים שהיו על השוויון הזה, אז ברור שאפשר לצמצם את כל החלק השני של הערך לכדי משפט אחד: "...0.999 מוגדר כסכום הטור ההנדסי שהאיבר הראשון בו הוא 0.9 ומנתו 0.1, ולכן לפי הנוסחה לסכום הנדסי אינסופי סכומו שווה 1". אבל אז נהפוך את הערך לחסר תועלת לחלוטין עבור מי שמנהל או קורא דיונים על הנושא במקומות אחרים ברשת ורוצה לראות מה יש לויקיפדיה לומר על הטענות השונות לגבי ההוכחה, ואיך זה מסתדר עם האינטואיציה שלו. גדי אלכסנדרוביץ' 15:33, 25 בפברואר 2007 (IST)

כתבתי שיחה:0.999.../הצעה, שאני מציע לאמץ במקום הערך הנוכחי. חלק מן הדברים שהפריעו לי מצאו את תיקונם על-ידי שינוי ההקשר, חלק הרחבתי, וחלק צמצמתי. אני מקווה שהערך לא יעלה רעיונות במוחם של טרחנים אפשריים, רק משום שכתוב בו שאפשר לחיות עם האלטרנטיבה לשוויון (במחיר הארכימדיות של הממשיים, ואיתה כל האנליזה המתמטית). עוזי ו. 03:17, 28 בפברואר 2007 (IST)

אין לי מושג מי אמור להכריע בין הגרסאות, ואין לי עוד כוח לדוש בעניין. גדי אלכסנדרוביץ' 08:13, 28 בפברואר 2007 (IST)

אני חושב שהערך החדש עדיף בהרבה. בגרסאות המתוקנות של הערך הקודם הגבלת את עצמך לשימוש בלבנים שכבר היו מונחות על שולחן העבודה (ובכולן), וזה ניכר בתוצאה. אני יכול להחליף את הערך בגרסה שלי, ואז תוכל לשחזר, ואני אוכל לשחזר בחזרה ולהכנס למלחמת עריכה שתזמן לכאן בורר; או שנדלג על השלבים המקדימים. אני מסכים מראש לכל בורר שתציע. עוזי ו. 14:32, 28 בפברואר 2007 (IST)

מן הסתם אתה חושב שהערך שאתה כתבת עדיף בהרבה. כדי לחסוך לעצמנו ולבורר את כאב הראש העברתי לגרסה שלך. נקווה שהקוראים יבינו. גדי אלכסנדרוביץ' 14:35, 28 בפברואר 2007 (IST)

סתם שאלת בור

האם זה נכון ש-$\ 0.333...=0.333...4$? אבל אז מה מפריע לעשות אינדוקציה ולגלות שבעצם כל המספרים שווים אחד לשני? הלל • שיחה • תיבת נאצות 09:18, 26 בפברואר 2007 (IST)

כל מה שאתה עושה אי שם אחרי האינסוף בעצם חסר משמעות (אתה יכול לשים שם שלושה קרנפים אם בא לך). לכן ברגע שהוספת 3 נקודות אין משמעות להמשך, ואפילו כלי חזק כמו אינדוקציה לא יכול להוציא מזה מסקנות נוספות. גדי ו. (שיחה) 09:43, 26 בפברואר 2007 (IST)

בגוף הערך היה כתוב קודם שאין משמעות לביטוי 4...0.333 אם חושבים עליו כפיתוח עשרוני, כי בכל פיתוח עשרוני, המרחק של כל ספרה מהנקודה העשרונית צריך להיות סופי. אולי כדאי להחזיר את האמירה הזו בוריאציה כלשהי. גדי אלכסנדרוביץ' 09:55, 26 בפברואר 2007 (IST)

תודה לכם. אכן חשבתי כך. אמנם צריך עיון לפי זה, מהי המשמעות של אינסוף ספרות ה-9 במספר דידן. הלל • שיחה • תיבת נאצות 11:09, 26 בפברואר 2007 (IST)

לכך מיועד כל החלק של "מבוא - פיתוח עשרוני". האם לדעתך הוא לא מצליח להסביר זאת? גדי אלכסנדרוביץ' 11:41, 26 בפברואר 2007 (IST)

קראתי שוב (היחס לאינסוף מתמצה במשפט וחצי מהפסקה), ועדיין המשחקים באינסוף אינם נהירים די הצורך. לא ברור איזה אינסוף הוא "כשר" ואיזה לא. האם אפשר להתייחס לכך ולנמק? הלל • שיחה • תיבת נאצות 11:51, 26 בפברואר 2007 (IST)

מופע של אינסוף ספרות שמרחק כל אחת מהן מהנקודה העשרונית הוא סופי הוא כשר; ספרה שמופיעה במרחק אינסופי מהנקודה העשרונית אינה כשרה. זאת מכיוון שכל ספרה בפיתוח העשרוני מייצגת את המקדם של אחת מהחזקות של 10 (בין אם חזקה חיובית ובין אם חזקה שלילית) ולא ייתכן שתהיה בפיתוח חזקה "אינסופית" של 10. האם זה מבהיר את העניין? אם כן, אנסה להרחיב קצת בגוף הערך. ―Gadial (שיחה | תרומות | מונה) לא חתם ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

אוי ואבוי. איך תיתכנה אינסוף ספרות שמרחק כל אחת מהן מהנקודה העשרונית הוא סופי?? הלל • שיחה • תיבת נאצות 12:37, 26 בפברואר 2007 (IST)

בקלות רבה, ואיני מבין מה הבעיה בכלל. יש אינסוף מספרים טבעיים, אך גודלו של כל אחד מהם (או אם תרצה, "מרחקו מאפס") הוא סופי. גדי אלכסנדרוביץ' 13:00, 26 בפברואר 2007 (IST)

זה כבר עושה לי כאב ראש (אסור היה לתת למתמטיקאים לטפל באינסוף, ברוך הוא!). רגע. הרי כל אחד מהמספרים הטבעיים שאצביע עליו, סוכם סדרה סופית. אין בעיה לומר שיש אינסוף כאלה, שכן אין זה חלק מן הסדרה; באותה מידה אוכל לומר שיש "אינסוף מספרי 1", אם יש לזה מובן כלשהו. אבל כאן, הרי מדובר על סדרה. נגיד, ספרה מסוימת היא במרחק $\ n$ מהנקודה העשרונית. האם $\ n=\infty$ או לא? אם אין $\ n$ כזה, הרי שאין אינסוף ספרות אחרי הנקודה, לא? (ותודה על שיעורי המתמטיקה שאתה מספק לי חינם אין כסף, פלוס לימוד לאטך למתחילים :-)...) הלל • שיחה • תיבת נאצות 13:40, 26 בפברואר 2007 (IST)

עזוב את הסדרה והספרות, וחשוב במקום זה על הדוגמא של המספרים הטבעיים: אותם אפשר לסדר בקבוצה אינסופית: $\ \{0,1,2,3,4,5,\dots \}$. זו קבוצה אינסופית, שכל אחד מאיבריה הוא מספר סופי. איפה הבעיה? אגב, קיומה של הקבוצה האינסופית הזו אינו "מובן מאליו" - יש אקסיומה מיוחדת בתורת הקבוצות האקסיומטית שקובעת את קיומה (אז אולי זה בעצם כן מובן מאליו). עוזי ו. 13:51, 26 בפברואר 2007 (IST)

ההבדל הוא שקבוצה אינה סדרה - אין משמעות הכרחית לסדר המספרים, ועל כן אי אפשר לדבר על "מרחק" אינסופי כלשהו. אבל כאן אכן אנו נדרשים למרחק אינסופי. לכן איני עוזב את הסדרות. הלל • שיחה • תיבת נאצות 13:54, 26 בפברואר 2007 (IST)

אין הבדל מהבחינה הזו בין סדרה לבין ציר המספרים (איפה מחזיקים אותו, אם הוא אינסופי?). כל ספרה נמצאת במרחק סופי מהנקודה, אבל בכל מרחק סופי, יש ספרות רחוקות יותר. ככה זה. עוזי ו. 16:19, 26 בפברואר 2007 (IST)

אין $\ n$ כזה, אבל זה לא אומר שלא יכולות להיות אינסוף ספרות (אם אתה מקבל את זה שיש אינסוף טבעיים): יש את הספרה שהיא במרחק 1 מהנקודה, הספרה שהיא במרחק 2 מהנקודה, וכן הלאה וכן הלאה. אני מבין שקשה "לעכל" את זה, אז הנה שאלה מנחה: בוא נניח שיש רק מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה - מה המרחק של האחרונה מביניהן מהנקודה העשרונית? גדי אלכסנדרוביץ' 14:18, 26 בפברואר 2007 (IST)

הסבר של פיזיקאי

בהתייחסות לשאלתו של הלל אציג את נקודת המבט שלי:

1. מספר חוקי הוא כזה שניתן לתאר את דרך יצירתו בעזרת מדידת מרחקים עם סרגלים. למשל איך יוצרים את $\ 0.999...$? נניח שיש לך קו עם נקודת 0 ובעזרת סרגל אתה מסמן נקודה במרחק 9 ס"מ מהראשית (מנקודת האפס), ואז בעזרת סרגל מדויק יותר אתה מתקדם עוד 9 מ"מ באותו כיוון, ועם סרגל עוד יותר מדויק עוד 0.9 מ"מ וכך הלאה. ניתן להגדיר כאן אוסף הוראות מדויק (או במילים אחרות: להגדיר תכנית מחשב שיש בה שימוש בלולאה). לעומת זאת, לא ניתן להגדיר אוסף הוראות מדויק בשביל לצייר נקודה במיקום $\ 0.333...4$.
2. שתי נקודות ( מספרים) יהיו שוות אם לכל מרחק X (גדול מאפס אבל קטן כרצונך) שתגדיר אוכל למצוא מספר צעדים שבו ההפרש בין שני המספרים יהיה קטן מ-X. למשל אם תאמר 0.00001 אז אומר לך שאחרי שישה צעדים המרחק בין $\ 0.999...$ ל-$\ 1$ יהיה קטן מ-0.00001 . מלמד כץ 02:36, 2 במרץ 2007 (IST)

הוכחה

מדוע לא מופיעה בערך הוכחה לטענה כי $0.999...=1$ ? לדעתי ההוכחה הנ"ל (שנמצאת בערך באנגלית) מבהירה מאוד את העניינים ומסלקת הרבה ספקות לגבי הטענה:
x=0.999...

10x=9.999...

10x-x=9.999-0.999...=9

9x=9

x=1

תומר ט 18:49, 2 במרץ 2007 (IST)

בגרסה המקורית הערך הכיל את ה"הוכחה" הנ"ל (המילה "הוכחה" מעט בעייתית כאן כי ההמחשה הזו מתבססת על מספר טענות יותר בסיסיות שאינן מוכחות כחלק ממנה - למשל, שאפשר לכפול ב-10 ולקבל את הפיתוח ...9.999). לאחר העריכה של עוזי היא הוסרה, ונימוקיו עמו. האם לדעתך התייחסות להוכחה הזו בגוף הערך מסוגלת לסייע להבנתו/להבנה של אלו שכבר מכירים אותה? גדי אלכסנדרוביץ' 19:02, 2 במרץ 2007 (IST)

אני לא יודע אם היא תסייע להבנה של אלו שכבר מכירים אותה, אך היא הוכחה די פשוטה לכאלה שאינם מומחים במתימטיקה ולכאלו שאינם מכירים את הטענה. אני אישית, כשקראתי את הערך באנגלית, נתקלתי בהוכחה או "הוכחה" כפי שאתה גורס, והיא סייעה לי להבין את הטענה הרבה יותר טוב מאשר כל שאר המילים והדיבורים האחרים שהיו בערך. ככל הנראה היא לא תסייע להבנת הטענה לאלו שמכירים אותה, אך ההוכחה והערך אינם מיועדים ללמדם, למיטב ידיעתי, אלא פונים אל אלו שאינם מומחים בתחום ואינם מכירים אותה. תומר ט 22:47, 2 במרץ 2007 (IST)

דעתי כדעתך, ואני לא חושב שהערך במצבו הנוכחי מתאים לקהל היעד האמיתי שלו - אלו שאינם בקיאים בנושא וקרוב לודאי שנתקלו בו במהלך אחד מויכוחי הפורומים הרבים בעניין. גדי אלכסנדרוביץ' 10:18, 3 במרץ 2007 (IST)

בכל מקרה, מי שאינו בקי בנושא, יוכל להבין אותו בקצרה ע"י הוכחה זו ולכן אני חושב שהיא הכרחית. תומר 14:27, 7 במרץ 2007 (IST)

אני מציע שתפנה ישירות לכותב הערך אם זה חשוב לך. גדי אלכסנדרוביץ' 14:28, 7 במרץ 2007 (IST)

מיהו כותב הערך? תומר 19:53, 7 במרץ 2007 (IST)

משתמש:עוזי ו.. גדי אלכסנדרוביץ' 20:03, 7 במרץ 2007 (IST)

ההוכחה הזו מניחה את הטענה הבעייתית ביותר בכל הסיפור, דהיינו, ש- 0.999... הוא מספר (ולא סדרה, תהליך, ביטוי מקורב או איזו יצירה טרחנית אחרת). הוספתי אותה לערך, בעטיפה מתאימה. עוזי ו. 20:19, 11 במרץ 2007 (IST)

לדעתי זו ההנחה הכי לא בעייתית בכל הסיפור, עבור הלא-מתמטיקאים. הקושי העיקרי שהצלחתי לראות שקיים בדיונים על הסימון הזה הוא אי הנוחות של המאזין לקשר בין התפיסה האינטואיטיבית שלו אותו (בתור מספר) וההצגות הפורמליות הנוקשות יותר שלו (בתור טור, סדרה, חתך וכדומה). גדי אלכסנדרוביץ' 19:50, 12 במרץ 2007 (IST)

מה נהיה פה?

אני לא יודע לגבי אחרים, אבל לטעמי הערך הפך להרבה יותר מסובך. מנסיון לקרוא את הדיונים שהיו פה, לא הבנתי מדוע הוא הצריך שינוי (מילה יפה לסיבוך) כה מהותי. ירון • שיחה 19:42, 12 במרץ 2007 (IST)

אני לא חושב שמעניין לדון בעצם השינוי מן הגרסה הקודמת לגרסה הנוכחית - במקום זה, הסברתי כבר מדוע הגרסה הקודמת לא היתה טובה (היה שם עומס של נושאים לא רלוונטיים, וכרטיסי ה"דע מה שתשיב לטרחן" שהוצגו בו, חזרו על שגיאות נפוצות במקום לנתח אותן); ואני מוכן להסביר מדוע הגרסה הנוכחית טובה. אולי עכשיו הערך "מסובך" - אבל ממי שטוען שהוא "מסובך מדי" אני מצפה שיסביר מנין לו שהערך אינו "מסובך בדיוק במידה הנכונה". יתכן שיש כאן עודף פרטים על פיתוחים עשרוניים כלליים, אבל יהיה קשה לקצץ בהם בלי לפגוע בנושא עצמו: הסיבה היחידה להעניק לרצף 0.999... את הערך המספרי 1 (ולא שבע וחצי) היא שהוא שייך למערכת מסויימת, ומצפים ממנו להתנהג לפי הכללים שההשתייכות הזו מכתיבה. עוזי ו. 00:44, 14 במרץ 2007 (IST)

לדעתי יש אפילו מקום להרחיב על הבסיס המתמטי לשוויון הזה, או לחילופין לוותר כליל על הוכחה, כשם שבערך e=mc^2 נוותר על הצגת ההוכחה. יחסיות האמת 00:50, 14 במרץ 2007 (IST)

אני אנסה לקרוא את הערך ולהבין אותו לעומק, וכך אולי להסביר מה קשה להבנה בו. ירון • שיחה 00:51, 14 במרץ 2007 (IST)

אני אישית אהבתי את הערך מאוד (ואולי גם הבנתי חלק), אפילו שאני בור בתחום. דודס • שיחה 00:52, 14 במרץ 2007 (IST)

הערות (או יותר נכון - שאלות)

ובכן, קראתי את כל הערך בדקדוק, וניסיתי לעמוד על כל משפט ומשפט. חלקם הבנתי, וחלקם קצת פחות. אני קורא הדיוט, ולכן אנסה לתת לכם את נקודת מבטו של ההדיוט המתמטי (5 יח"ל לא כ"כ עזרו כאן):

1. פסקה שלישית - לדעתי ניתן להוריד את הסוגריים על ההערה בסוף הפסקה.

הורדתי. עוזי ו.

מבוא -

1. "דרוש מאמץ מנטלי לא מבוטל כדי להפריד ביניהם" - משפט לא ברור בכלל. רומז למשהו? איך ניתן להפריד ביניהם? (האם רלוונטי בכלל. אם כן, אפשר להסביר, ואם לא - ניתן להשמיט?)

ניסיתי לומר שאנחנו חושבים עשרונית. הקושי הוא בהבחנה בין המספר ארבע-עשרה, לרצף הספרות 14. כשמנתקים את הרצף מן ההקשר העשרוני (מה שדורש חזרה לגיל 4 או 6), הרצף הוא רצף, והמספר הוא מספר. ובכל זאת, מה התשובה (המספרית!) לשאלה "כמה זה 9+5?". עוזי ו.

1. "ויש צורך לסכם גם בחזקות". אות היחס נראית לי שגויה.
2. החזקות השליליות מופרדות מהחזקות האי-שליליות על-ידי הנקודה העשרונית, ולא כפי שנטען (פסקה שנייה)
3. לא מובן מהו "הפיתוח העשרוני של X". האם ניתן לתת דוגמה לכך? או לחילופין, אם הוא אכן אינו דרוש, אז רצוי לשקול הסרתו.

העברתי את מרבית הסעיף הזה להשיטה העשרונית. עוזי ו.

פיתוח עשרוני סופי-

1. בפסקה הראשונה- המספרים מוצגים כאשר אחרי הנקודה העשרונית הספרה הראשונה היא $\ a_{1}$, בעוד שבטור המתאים מוצג כאשר הוא מתחיל מ-$\ a_{0}$. מקווה שההערה ברורה. האם יש סיבה לכך? (הערה זו חלה הן על הסכום הסופי והן על הסכום האינסופי)

זו אכן טעות; תיקנתי (בהשיטה העשרונית). עוזי ו.

1. "קבוצה סתם" - אין ניסוח יותר טוב? נשמע לא-מקצועי משהו.

הכוונה היא לקבוצה שאינה מסודרת. תיקנתי בהתאם. עוזי ו.

1. עניין הסימון קצת תלוש מהקשרו - אולי רצוי להראות (אם הבנתי נכון בכלל) שאת השבר שליש אפשר לסמן בתור 0.33 כאשר מופיע קו עליון על אחד מה"שלוש"ים?

זה מופיע בהמשך. בשלב הזה, התפקיד היחיד של 1/3 הוא להראות שקיימים מספרים שאינם ניתנים לפיתוח סופי. עוזי ו.

סיכום של שברים עשרוניים-

1. "ולכן, אפשר לקבל כהגדרה"- אם זה תוצאה של משהו, כיצד הוא מהווה הגדרה. בכל מקרה, לאחר השקעת מחשבה רבה, הבנתי שבנוסחה המסובכת מופיע משהו עם הבינום של ניוטון (נכון?) ומשהו עם סכום סדרה הנדסת אינסופית מתכנסת, אך לא הצלחתי לשלב ביניהם עד כדי הבנה איך נסכם השבר המחזורי האינסופי לכדי הנוסחה הזו. ובכל מקרה2, נכונותה של נוסחה זו מעידה על....(השלם את החסר) - כלל לא מובן איפה נעשה השימוש בה.

לסכם טורים של מספרים, אנחנו יודעים; אבל זה לא מעניק משמעות אוטומטית לרצפים אינסופיים של ספרות - לשם כך דרושה הגדרה מכוונת. הסכום אינו נובע מהבינום של ניוטון אלא מהעובדה המוזכרת שם על $\ 1/(10^{m}-1)$; נראה לי שהוכחה מפורטת תעמיס ללא צורך. עוזי ו.

בנייה אלטרנטיבית של הממשיים-

1. "הפרשנות הזו מתקשה למצוא את ההתאמה המדוייקת בין מספר ממשי, לבין הסדרה המתקבלת מן הביטוי העשרוני שלו" - הא? ניתן לפשט משפט זה? כאילו - זה חצי ברור, אבל מתחמק קצת - יש דוגמה? מתי מתעורר הקושי הזה?

כתוב מיד אחר-כך: אנחנו נותרים ללא דרך להציג מספר ממשי. הרצף האינסופי הוא שמו של המספר, והמספר כשלעצמו הוא הסכום של הטור העשרוני שהרצף מתאר. עוזי ו.

1. "הסדרה נושאת יותר אינפורמציה" - אפשר להסביר? איזו אינפורמציה? כל הסדרות האלו קצת לא בהירות - למשל - איך הסדרה 0.9, 0.99, 0.999 ... (ראו מימין לשמאל) מייצגת את נשוא הערך? אולי כאשר זה יובהר, שאלתי זו (2) תהא לא רלוונטית.

הרי זו בדיוק השאלה שהערך עוסק בה. הגישה הטרחנית הקלאסית (ראה כתביו של דורון שדמי בעניין זה) רואה במספר (דווקא) יצור עתיר מבנה, שיש חשיבות לכל פרט בתיאור שלו. מבחינתו, 14 לפי בסיס 8 ו- 12 לפי בסיס 10 אינם אותו מספר, ורצפים אינסופיים של ספרות שווים בדיוק לזה, לרצפים האינסופיים. לא יכול להיות להם "ערך" שהוא מספר חסכוני יותר. הגישה המתמטית הפוכה: לשמות אין שום חשיבות. עוזי ו.

1. לא הבנתי מדוע לא מתקיים אי השוויון המוזכר (ובפרט מדוע רק עבור X חיובי (זה סותר כל הגיון מתמטי בסיסי שיש לי)) - למה הוא נכון? (ההמשך דווקא ברור)

זה ידרוש ערך נפרד על [[החוג-למחצה של הפיתוחים העשרוניים המתקבל מההנחה ש- $\ 0.999...<1$]]. אם מתעקשים על אי-השוויון ומנסים להגדיר את הפעולות בכח, מתקבלת מערכת מתמטית "נכה", שבה $\ 0.999...<1$, למרות ש- $\ 0.999...+x=1+x$ לכל x חיובי. משונה, אבל ככה זה. עוזי ו.

1. תחילה לא הבנתי מהי תכונת ארכימדס, ועד שהבנתיה, לא הבנתי כיצד היא סותרת את המשפט שהוזכר לפני (לגבי 10 בחזקת מינוס n).

מתכונת ארכימדס, הקובעת שכל מספר ממשי קטן מאיזשהו מספר טבעי, נובע גם שכל מספר ממשי חיובי, גדול מאיזשהו 1-חלקי-n כאשר n טבעי. עוזי ו.

סה"כ, הערך די ברור, למרות כל ההערות שציינתי. שלא ישתמע לשתי פנים - הערך מעולה, אני רק רוצה שיהיה נהיר יותר גם לקורא ההדיוט, כמוני. בתודה, ירון • שיחה 01:33, 14 במרץ 2007 (IST)

תודה רבה על ההערות. אתה מוזמן לנסות לשפץ את הערך עצמו - אולי יהיה קל יותר לקרוא אותו כך. עוזי ו. 15:57, 16 במרץ 2007 (IST)

משפט לא ברור

"אף על פי שהשוויון מקובל ללא עוררין על הקהילה המדעית, הגדרת הפיתוח העשרוני מסתמכת על מושג הטור המתכנס מן האנליזה המתמטית, ובמידת מה גם על הפיתוח המסודר של שדה המספרים הממשיים. ".

מה הקשר לפיתוח של שדה הממשיים? מדובר על טור של מספרים רציונלים שמתכנס למספר רציונלי. למה צריך פה מספרים ממשיים? הרי אין כל בעיה להגדיר התכנסות של טור של רציונלים למספר רציונלי תוך שימוש במספרים רציונלים בלבד. לירן (שיחה,תרומות) 15:18, 14 בספטמבר 2007 (IDT)

שתי שאלות

1. למה זה שהנושא לא מוזכר בספר כלשהו, אפילו כזה שהיית יכול לצפות שיזכיר אותו, רלוונטי?
2. ההוכחה שנתן מיסטר מגיסטר מעניינת. גם מקריאת דף השיחה לא הבנתי למה היא הוסרה (הבנתי רק שהייתה לה התנגדות). נוי - שיחה 11:16, 22 ביולי 2008 (IDT)

שים לב שכרגע יש את ההוכחה הזו (מוצפנת היטב) בתוך הערך. באשר לשאלה השנייה - מן הסתם זה כדי לרמוז שהנושא לא באמת מעסיק טרחנים ושכותב הערך המקורי סתם מקשקש. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 14:41, 22 ביולי 2008 (IDT)

גדי, בתגובותיך האחרונות שזורה מחרוזת מרשימה של דוגמאות להתנהגות פאסיב-אגרסיבית. אולי די? אם משהו מציק לך, אתה יכול לומר זאת במפורש. עוזי ו. - שיחה 18:22, 22 ביולי 2008 (IDT)

נראה לי שכבר אמרתי במפורש (אפילו כאן) את מה שהציק לי, לא? כרגע אני מעדיף לא לגרור את הדור החדש לויכוחים האישיים של הדור הישן. אם לא נעים לך, בעסה. אחרת, באמת שאין צורך לפנות אלי אישית. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 18:36, 22 ביולי 2008 (IDT)

1. זה בדיוק העניין: העובדה שהנושא הזה אינו מוזכר בעמוד 16 של השטן במוסקבה אינה רלוונטית; העובדה שנושא טרחני כל-כך בולט אינה מוזכרת בקובץ המודפס הגדול והמוכר ביותר של דוגמאות טרחניות - כן רלוונטית.
2. זו לא הוכחה לכלום. היא אומרת בעצם כך: נניח ש- 0.999... הוא מספר רציונלי; אז הוא שווה ל-1. כל המורכבות של הנושא נדחקת מתחת לשטיח. עוזי ו. - שיחה 18:22, 22 ביולי 2008 (IDT)

בנוגע לספר של דדלי - אני לא בטוח שאני מבין איך הפכת את הנושא ל"כל-כך בולט" לדברייך; עד כמה שאני רואה, הפופולריות שלו צמחה רק בעידן האינטרנט, בזכות קבוצות דיון כמו sci.math או קבוצת הדיון של בליזארד (שמשום מה האזכור שלה הועף מהערך) - כלומר, אחרי שהספר של דדלי כבר נכתב. זה גורם ל"לעומת זאת" שבתוך הערך להיראות מוזר ולא במקום - האם הטענה שאין את הנושא אצל דדלי אומרת משהו על הפופולריות שלו ב-sci.math? גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 10:20, 23 ביולי 2008 (IDT)

ב-2 שלך אתה מפספס את העובדה שעבור רוב האנשים הבעיה האינטואיטיבית נעוצה בשלב הרבה יותר נמוך מאשר בחלק ה"מורכב", לכן ההוכחות הללו (שהן הוכחות של ממש - מסקנות שנובעות מהנחות) הרבה יותר ברורות להם; אחרי שמציגים אותם, אפשר וראוי להציג את התיאוריה העמוקה יותר שמאחוריהן, שבעצם עוסקת בשאלה "למה ההנחות נכונות" ו"מה הסימון הזה באמת אומר". גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 18:36, 22 ביולי 2008 (IDT)

אהה! נראה לי שפתרתי תעלומה שהציקה לי- זה מה שגרם לך לצאת בהכרזות בסגנון "אני לא אוטוריטה בתחומי מתמטיקה" בקצב מסחרי? אם כן, חבל לקחת דבר כזה ללב. עוזי, אתה ויקיפד נפלא ואדם חביב ביותר, אבל נראה לי שביחסך לערכים המתמטיים אתה מפספס את הקוראים במרחק של כמה פונקציות. אפשר לפרט גם על הבעייתיות שבהוכחה, אם כי אני לא מבין אותה. אני מתכוון בקרוב לגשת לקריאת שתי הגרסאות ולראות איזו מהן טובה יותר בעיני. נוי - שיחה 20:40, 22 ביולי 2008 (IDT)

אף פעם לא הייתי אוטוריטה בתחומי המתמטיקה (או בכל תחום אחר), פשוט פעם נהניתי מהשתתפות בכתיבתם. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 21:01, 22 ביולי 2008 (IDT)

ומה קרה? נעלבת? נוי - שיחה 21:43, 22 ביולי 2008 (IDT)

חסינות להעלבות פיתחתי כבר בימי במה חדשה והאייל הקורא; אבל כשאתה כותב ערך ואז משנים אותו והנסיון לקיים דיון על השינוי עולה בתוהו, זה כבר לא כיף. בכלל, פעם חשבתי שהנקודה החזקה ביותר של ויקיפדיה היא היכולת לדון על ערכים "מאחורי הקלעים" ולהגיע להסכמה על תוכנם, אבל הדיונים שהשתתפתי בהם בשנים האחרונות (ולא רק עם עוזי) לא גרמו לי להרגיש שיש כאן עבודה משותפת אלא מלחמה. כשהמלחמה היא על פוליטיקה, אני יכול להבין, אבל כאן המלחמה היא על מתמטיקה והמטרה של כל הכותבים (או לפחות, כך אני חושב) היא לוודא שהקוראים (כמה שיותר, יותר טוב) מבינים את הערך ואפילו מתעניינים בו. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 21:57, 22 ביולי 2008 (IDT)

אני מוכן בשמחה לשתף פעולה בהנגשת ערכים למאותגרי מתמטיקה, אבל זה דורש עבודה דרך דף השיחה, ונכונות ללמוד את הנושא לעומק. עוזי ו. - שיחה 21:54, 22 ביולי 2008 (IDT)

איכשהו, זה לא מה שקרה בפעם שעברה. אם אתה רומז שאני לא מבין כלום בנושא הערך אתה מוזמן להפנות אותי לספרים. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 21:57, 22 ביולי 2008 (IDT)

ה"הוכחה" באמצעות כפל ב-10 נמצאת בערך, וההנחות הדרושות כדי להפוך אותה להוכחה של ממש מוצגות שם במפורש. אם ההוכחה הזו היתה נושא הערך, הייתי מוצא דרך להציג אותה מוקדם יותר. אבל יש גם גישות אחרות, ולא נכון לבנות את הערך המורכב הזה דווקא סביב המצאה אחת שאינה מועילה במיוחד. עוזי ו. - שיחה 21:54, 22 ביולי 2008 (IDT)

כפי שכבר אמרתי, ההוכחה אמנם נמצאת בערך אבל מוחבאת היטב, ואני לא בטוח שכאשר מגיעים אליה כבר יש בה טעם. הצגת ההוכחות ה"פשוטות" בהתחלה לא הופכת את הערך לנבנה סביבן; הן ההקדמה, לא התוכן המרכזי. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 21:57, 22 ביולי 2008 (IDT)

אני לא מוצא אותה. נוי - שיחה 22:38, 22 ביולי 2008 (IDT)

חפש: "לחילופין, אפשר להוכיח". גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 22:45, 22 ביולי 2008 (IDT)

אפשר להציג את ה"הוכחה" הזו בתחילת הערך, בתנאי שמסבירים היטב מה היא מוכיחה. עוזי ו. - שיחה 23:47, 22 ביולי 2008 (IDT)

יש לפשט את ההסבר על ההוכחה הזאת. נוי - שיחה 11:07, 23 ביולי 2008 (IDT)

כפי שהיא מוצגת שם, מדובר ב"הוכחה" לכך שהערך הנכון של שבר עשרוני המסתיים בסדרת תשיעיות אינסופית הוא כמקובל (וממילא הערך שלנו שווה ל-1). אני מצטט את ההוכחה כאן, ומחכה לשמוע מה צריך פישוט. " לחילופין, אפשר להוכיח את נכונותה של נוסחה זו, אם מניחים שתי הנחות פשוטות: 1. הביטוי (המחזורי) $\ 0.a_{1}a_{2}\dots$ מייצג מספר בשדה כלשהו. 2. ביטויים מסוג זה מקיימים את החוק $\ 10\cdot 0.a_{1}a_{2}\dots =a_{1}+0.a_{2}a_{3}\dots$. משתי הנחות אלה נובע, למשל, ש- $\ 10\cdot 0.999...=9+0.999...$, ולכן $\textstyle \ 0.999...={\frac {9}{9}}=1$". עוזי ו. - שיחה 13:47, 23 ביולי 2008 (IDT)

מהכה את המומחה

וראו גם ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון98#...0.9999999999999999999999999999999999999. שנילי • שיחה 13:20, 19 במאי 2010 (IDT)

המתמטיקה מתיחסת ל0.99999 (אינסוף פעמים 9 אחרי הנקודה) כשווה ל- 1 קיימות הוכחות אלגבריות ואחרות לכך, אבל ... האם באמת המספרים שווים, או שאנחנו אומרים, או מציגים, שהם שווים לצורך המתמטיקה, על מנת שנוכל להתעסק איתם?? לדעתי, המספרים הם "כמעט אותו דבר" אבל לא ממש אותו דבר - 0.9999999 לעולם לא יהיה ממש 1 אלא כמעט 1 לדעתי, המתמטיקה הידוענ לנו כיום אינה יודעת לעסוק באינסוף ואינה מתאימה לאינסוף ולכן אנו נאלצים לקבוע ש- 0.99999999 = 1 כי אחרת לא נוכל לטפל במספרים כאלה זה נובע מקביעה אקסיומית שזה אותו דבר, מקביעה שלנו כי כדי לטפל באינסוף צריכים להציג אותו או להתיחס אליו כמספר סופי, בעוד האמת היא שזה לא ממש כך כלומר - לצורך שימשו במערכות המתמטיות הקיימות היום, אנחנו קובעים כי 0.99999999999 = 1 שהרי אם הם היו באמת אותו דבר, אז למה המספר 0.9999999999 הוא אינסופי ולא סופי? האם נכון שלמעשה כל הטיפול באינסוף (ובתאומו האפס) הוא טיפול מאלץ או מאולץ, על מנת שנוכל לטפל בהם בעוד הם בעצם לא ממש מתאימים למתמטיקה הרגילה? 89.138.5.251 13:06, 19 במאי 2010 (IDT)

כמו יהודי טוב, אענה לך על שאלה בשאלה, והשאלה שלי תספק לך תשובה - למה אתה מתכוון כשאתה כותב 0.9999.... ? אני אגיד לך למה אני מתכוון כשאני כותב זאת. אני מתכוון לסכום $\,9/10+9/100+9/1000+\dots$. אני לא מכיר שום מובן אחר לכך. והסכום הזה, שאפשר לסמן אותו כ 0.9999... - קל להוכיח שהוא שווה בדיוק ל1. לכן, כן, שני המספרים האלה שווים. המסקנה היא שלמספרים ממשיים אין בהכרח ייצוג עשרוני יחיד. יש מספרים ממשיים שיש להם ייצוג עשרוני יחיד (למשל 1.21212121212....) אך יש מספרים רבים שאין להם ייצוג יחיד. 85.64.171.226 13:11, 19 במאי 2010 (IDT)

שווה בדיוק ל 1,משתי סיבות עיקריות: א. אין שום מספר שאינו אפס, קרוב לאפס ככל שיהיה, שאפשר לדחוק בין השבר המחזורי האינסופי 0.9 ל 1. ב. אם אתה מקבל את הרעיון ששבר מחזורי אינסופי בכלל קיים, נובעות מזה כמה מסקנות חד משמעיות, בין השאר שאין הבדל בין X שווה ל Y ל X שואף ל Y. שים לב של עוד אתה חותך את השבר המחזורי הזה בפחות מאינסוף הוא קטן מאחד. המפגש והשוויון מתקיימים רק באינסוף אילן שמעוני - שיחה 17:07, 20 במאי 2010 (IDT)

לגבי השאלה שלך האם נכון שלמעשה כל הטיפול באינסוף (ובתאומו האפס) הוא טיפול מאלץ או מאולץ, על מנת שנוכל לטפל בהם בעוד הם בעצם לא ממש מתאימים למתמטיקה הרגילה? - רוב המתמטיקאים רואים בחשבון האינסופיים צעד טבעי ומתבקש. למעשה החלו להשתמש באינסוף לפחות אלפיים שנה לפני שהוא הוגדר מתמטית באופן מסודר. ישנו מיעוט קטן מאד בין המתמטיקאים שמתייחס לאינסוף כאל תוספת שגויה. הבעיה עם דחיית רעיון האינסוף הוא שיש מקרים רבים שזה "מתפוצץ לנו בפנים". למשל - מה האורך של אלכסון בריבוע? חשבון פשוט יעלה שארכו הוא שורש של שתיים. אבל את השורש של שתיים אי אפשר לכתוב בתור אף שבר סופי. יוצא שהבעיה הפשוטה הזו מאלצת אותנו להכיר באינסוף. אילן שמעוני - שיחה 21:34, 20 במאי 2010 (IDT)

ההמשך לא עוסק בנושא ולכן הועבר לויקיפדיה:הכה את המומחה#שורש 2. דניאל ב. 22:33, 23 במאי 2010 (IDT)

הסבירו לי שוב ויותר לאט: מדוע המספר הזה בקטגוריה של המספרים הטבעיים?

תודה. עִדּוֹ - שיחה 21:52, 14 ביולי 2011 (IDT)

כי 1 הוא מספר טבעי. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 22:40, 23 בינואר 2012 (IST)

הערה מוסתרת בערך

בערך מופיעה ההערה המוסתרת בספר Mathematical Cranks של Underwood Dudley (משנת 1992), הכולל עשרות דוגמאות לטרחנות מתמטית, הנושא אינו מוזכר כלל. לא ברור לי. אם יש בה צורך, למה היא מוסתרת ואינה גלויה לקורא. אם אין בה צורך, למה היא בכלל בערך. מספר בוטים עשויים להתקשות בטיפול באנומליה כזאת. בורה בורה - שיחה 12:16, 3 בנובמבר 2020 (IST)

ההערה נחוצה כי יש בה מידע שימושי לעורכים. אפשר שהיא תהיה בדף השיחה ולא בערך. עוזי ו. - שיחה 15:24, 3 בנובמבר 2020 (IST)

אז הנה היא בדף השיחה ואני מסיר מהערך. בורה בורה - שיחה 15:48, 3 בנובמבר 2020 (IST)

בכזה דף שיחה ארוך? איזה עורך יגיע אליה? נו, באמת. לירה - שיחה 22:03, 3 בנובמבר 2020 (IST)

אני מסכים עם בורה בורה ועם עוזי ו. שמקום ההערה הוא בדף השיחה. דוריאן • DGW – Talk‏ 22:35, 3 בנובמבר 2020 (IST)

@לירה: אז מארכבים את דף השיחה (מעל 100KB, כבר גדול מספיק, לא?) ושמים את ההערה בראש דף השיחה. ‏HiyoriX • שיחה • חציל-צילון • 22:38, 3 בנובמבר 2020 (IST)

נשבעת שהתחלתי לכתוב "תיכף גריי יבוא ויכתוב 'מסכים עם בורה בורה'" ואז מחקתי כי זה כבר לא מצחיק. תוציאו את הראש מהחול, מפעילים. לירה - שיחה 22:43, 3 בנובמבר 2020 (IST)

מי זה גריי? !Σiη Stαlεzε אילן שמעוני - שיחה 23:02, 3 בנובמבר 2020 (IST)

דוריאן "גריי" ווילד (Dorian Gray Wild) AKA דוריאן. ‏HiyoriX • שיחה • חציל-צילון • 23:04, 3 בנובמבר 2020 (IST)

החצי של בורה בורה שתומך בו בכל נושא וזוכה לתמיכתו בכל נושא. ככה כל אחד מהם שווה שני קולות ולמי אכפת מהדמוקרטיה? לא למפעילים. לירה - שיחה 23:11, 3 בנובמבר 2020 (IST)

שינויים דרסטיים

שרעטל — Aizenr עשה שינויים דרסטיים (עדיין "בעבודה");
האם ברור שהשינויים האלה סבירים?
אם כן, אכן ראוי להגיה...
—חיים ברמן - שיחה 00:27, 17 ביולי 2021 (IDT)

הפסקה "...0.999 בהגדרות שונות של שדה המספרים הממשיים" צריכה להשתלב בערך מספר ממשי. זה פשוט לא נושא הערך. בנוסף, מטבעו ערך זה חייב להיות נגיש מאוד. !Σiη Stαlεzε אילן שמעוני - שיחה 01:57, 17 ביולי 2021 (IDT)

אילן שמעוני — האם ברור שהשינויים של Aizenr סבירים?
כדאי לבדוק מה היה עד לאחרונה
—חיים ברמן - שיחה 05:09, 17 ביולי 2021 (IDT)

באיחור גיליתי ש Aizenr כבר פנה מראש ל עוזי ו.
—חיים ברמן - שיחה 08:01, 17 ביולי 2021 (IDT)

משוב מ-17 ביולי 2021

קשיים שמעלה הביטוי ...0.999 בהוראת המתמטיקה - במשפט הראשון של סעיף 1 - מניח שהתכוונו ל"לראיה" ולא ל"לרעיה". הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
2A00:A040:19B:30EC:880D:336E:9335:E8DB 10:51, 17 ביולי 2021 (IDT)

• תודה רבה! --שרעטל - שיחה 00:59, 18 ביולי 2021 (IDT)

בעיית הנגשה

התוספות האחרונות מפחיתות מנגישות הערך. במקרה של הערך הזה הנגישות היא לב העניין. כאמור בערך עצמו מבחינה מתמטית אין עניין מיוחד בשוויון ...0.999999 = 1. התוספות האחרונות מסובכות מדי עבור קהל היעד של הערך ועליהן להכלל כקישורים פנימיים בלבד. זו אינה פעם ראשונה שתוספות לערך זה למעשה גורעות ממנו. צר לי מאד על העבודה הרבה שהושקעה, אבל זה לא מתאים למטרת הערך. !Σiη Stαlεzε אילן שמעוני - שיחה 16:58, 18 ביולי 2021 (IDT)

שלום אילן, האם כוונתך לפסקאות 2 ו-4? היתר אני חושב שאמור ליהות נגיש למדי. אם 2 לא נגישה אפשר לשקול להחליף אותה במקומות עם 3. זה יהיה פחות טוב מבחנת הסדר ההגיוני אולי יותר מתאים לנגישות. אני לא חושב שיש בעיה שהיו בערך פסקאות קצת פחות נגישות, אם הם בשלבים יחסית מאוחרים, לאחר שעיקר ההסבר התבצעה באופן נגיש. אני חושב שלערך יש יותר ממטרה אחת:

1. להסביר את השיוון עצמו
2. להסביר על הקשיים שהוא מעלה
3. לדון בתופעת היצוג הכפול באופן כללי.

המטרה האחרונה די מענינת בפני עצמה, ומטבעה דורשת קצת יותר רקע (משהוא כמו שנה א'). לגבי שתי המטרות הראשונות, אני מסכים שצריך לנסות להנגיש לכל מי שסיים תיכון (לפחות למי שעשה בגרות 5 יחידות). בכל מקרה, אני אבקש מעוזי לעבור על כל מה שכתבתי, אז אני אבקש ממנו להתיחס גם לנקודה הזאת.רמי (Aizenr) - שיחה 21:25, 21 ביולי 2021 (IDT)

הבעייה היא בגישה שנבחרה עבור ההסברים על הקשיים והייצוג הכפול. אלו אינם נושאים ספציפיים ל 0.9999, ומקומם בערכים מספר רציונלי ומספר ממשי. לדעתי בערך זה כל שצריך להיות הוא "הפניה לפרק מורחב".

פסקת הקשיים בהוראה חשובה מאד ולמעשה יש להרחיבה לשיטות שונות להבהרת הסוגיה, כמו גם להסתייע בפרדוקס החץ של זנון (לא חובה, אבל ממש עזר לי מול תלמידים שהתקשו עם 0.999).

הערך הזה הוא חלק חשוב מהנגשת כל נושא המספרים הממשיים וטורים אינסופיים, למעשה הוא השלה הראשון בתהליך ההנגשה של שני אלה. זו לפחות דעתי.

!Σiη Stαlεzε אילן שמעוני - שיחה 22:34, 21 ביולי 2021 (IDT)