עקרונות מתמטיים של פילוסופיית הטבע

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-edit-clear.svg ערך זה זקוק לעריכה: הסיבה לכך היא: הערך לא נותן תמונה ברורה של הספר.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.
עמוד ראשי

העקרונות המתמטיים של פילוסופיית הטבעלטינית: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica - פילוסופיֶה נטוראליס פרינקיפיה מתמטיקה), או לעתים קרובות "פרינקיפיה", הוא ספר בעל שלושה כרכים שנכתב על ידי אייזק ניוטון ויצא לאור ב-5 ביולי 1687. הוא מכיל את ניסוח חוקי התנועה של ניוטון אשר יצקו את הצורה היסודית של המכניקה הקלאסית, וכמו כן את חוק הכבידה האוניברסלי שהגה ואת גזירת חוקי קפלר על תנועת כוכבי לכת (שנתגלו לראשונה בצורה אמפירית). "פרינקיפיה" נחשב לאחת היצירות המדעיות הגדולות בכל הזמנים.

בה בעת שניסח את התאוריות הפיזיקליות שלו, ניוטון פיתח תחום במתמטיקה הנקרא קלקולוס (חשבון אינפיניטסימלי), המהווה את הבסיס המתמטי לתאוריות שלו. אף על פי כך, שפת הקלקולוס נשמטה כליל מן המשפטים וההוכחות שב"פרינקיפיה". במקום זאת, ניוטון "תרגם" את שפת הקלקולוס לטיעונים גאומטריים, מתוך יחס של יראת כבוד כלפי יוון הקלאסית והגאומטריה האוקלידית.

בנספח שניוטון הוסיף ל"פרינקיפיה", שכותרתו General Scholium, ניוטון ביטא את מה שנודע כאמרתו המפורסמת "אינני בודה השערות".

הקשר היסטורי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תחילתה של המהפכה המדעית[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניקולאס קופרניקוס קבע באופן נחרץ כי הארץ כלל וכלל איננה מרכז היקום בעזרת המודל ההליוצנטרי שהציג בספרו על תנועתם של גרמי השמיים שפורסם ב-1543. התאוריה ההליוצנטרית הושלמה כאשר יוהנס קפלר כתב את הספר אסטרונומיה חדשה, ובו העיד על תגליתו שכוכבי הלכת נעים במסלולים אליפטיים כאשר השמש באחד המוקדים ושכוכבי הלכת אינם נעים במהירות קבועה במסלוליהם. לא די בכך, מהירותם משתנה כך שהקו המחבר את מרכזי השמש וכוכב הלכת מכסה שטחים שווים בזמנים שווים. לחוקים אלו הוא הוסיף חוק שלישי כעשור מאוחר יותר, בספרו האחר ההרמוניות של העולם. חוק זה מציב את הפרופורציה בין החזקה השלישית של המרחק הממוצע של הכוכב מהשמש וריבוע זמן ההקפה שלו.

יסודות הדינמיקה המודרנית הונחו בידי גלילאו גליליי בספרו הדיאלוג, ובו המושג של אינרציה - התמדה היה הכרחי ושימושי. בנוסף, ניסוייו של גלילאו במישורים משופעים הניבו יחסים מתמטיים מדויקים בין זמן מחזור ותאוצה, מהירות או מרחק בעבור תנועת האצה אחידה או לא אחידה.

ספרו של רנה דקארט משנת 1644, עקרונות הפילוסופיה טען שגופים יכולים לפעול אחד על השני רק דרך מגע: עקרון שהביא אנשים , וביניהם הוא עצמו, להעלות היפותזה לפיה קיים מדיום או תווך אוניברסלי הנושא אינטראקציות כגון אור או כבידה - האתר. טעות אחרת הייתה טיפולו בתנועה מעגלית , אבל למרות זאת טעות זאת הניבה תוצאות מאוחר יותר בכך שהיא הביאה אנשים לזהות את התנועה המעגלית כבעיה הקשורה באופן הדוק לעקרון ההתמדה. כריסטיאן הויגנס פתר את הבעיה הזו בערך בשנות ה- 1650s ופרסם את פתרונו זמן רב מאוחר יותר.

תפקידו של ניוטון[עריכת קוד מקור | עריכה]

במהלך חייו כסטודנט, ניוטון עיין בקפידה בחיבורים הללו, או במקרים מסוימים, במקורות המבוססים עליהם, והחל לכתוב יומן שכותרתו "שאלות על פילוסופיה". בתקופה זו (1664-1666), הוא החל לנסח את הבסיס לקלקולוס, ולהעלות את ניסוייו הראשונים באופטיקה של הצבעים. בנוסף הוא התקדם שני צעדים מכריעים בדינמיקה: ראשית, בנושא האינטראקציה בין שני גופים, הוא הסיק נכונה שמרכז המסה של המערכת נשאר בתנועה אחידה, ושנית, הוא ביצע את ניתוחו הראשוני, והמוטעה, של תנועה מעגלית בהניחו שחייב לפעול כוח צנטריפוגלי החוצה. הוכחתו שהאור הלבן הוא תערובת של צבעי הקשת והתאוריה שנוסחה בעקבותיה החליפה את התאוריה השלטת בנוגע לצבעים וקיבלה יחס מועדף בידי מרבית המדענים, אך גרמה למחלוקת מרירה בינו לבין רוברט הוק ואחרים, אשר אילץ אותו לפתח את רעיונותיו עד כדי שהשלים חיבור חלקים מספרו אופטיקה כבר בשנות ה-70. הוא חיבר ופרסם חלקים מן הקלקולוס שפיתח במספר עבודות ומכתבים, וביניהם שנים ללייבניץ. הוא נעשה לחבר בחברה המלכותית והוענקה לו הקתדרה למתמטיקה ע"ש לוקאס באוניברסיטת טריניטי שבקיימברידג'.

בשנת המגפה ב-1665, ניוטון כבר הבין כי עוצמת הכבידה יורדת ביחס הפוך לריבוע המרחק, באמצעות המרת החוק השלישי של קפלר לביטוי שגזר עבור הכוח הצנטריפוגלי (הוא ערבב תחילה בין המושגים בגלל הבנתו השגויה את התנועה המעגלית). תאוריה שאותה אהב לספר ניוטון לפיה הוא הגיע למסקנותיו אלו כאשר צפה בתפוח הנושר מעץ במהלך שהותו בוולסתורפ נפוצה מאוד בקרב הציבור הרחב, אולם היסטוריונים רבים מפקפקים בנכונותה.

הרהורים על מה שניתן להסיק באמצעות השכל הישר לגבי היבטים שונים של התנועה המעגלית, הובילו אותו לקונספט "המרחב המוחלט". ב"פרינקיפיה" מציג ניוטון את הדוגמה של דלי מים מסתובב כדי להראות שבחיי היום יום ניתן להבחין כי בתנועת סיבוב מעורב גורם נוסף פרט לתנועה היחסית של גופים.

ניוטון עדיין לא השלים את בניית ה"פרינקיפיה" בשנת 1681, כאשר כוכב שביט נצפה משנה את כיוון תנועתו מסביב לשמש. האסטרונום המלכותי, ג'ון פלמסטיד, זיהה את שינוי מגמת תנועת השביט, בניגוד לרוב המדענים שהאמינו שהיו שני שביטים, אחד שנעלם מאחורי השמש, ואחר שהופיע מאוחר יותר מאזור היעלמותו של הקודם. המחלוקת שהתעוררה בין ניוטון ופלמסטיד מראה שפלמסטיד לא הבין והכיר באוניברסליות של חוק הכבידה.

תוכן הספר[עריכת קוד מקור | עריכה]

העותק האישי של אייזק ניוטון

בהקדמה ל"פרינקיפיה", ניוטון כתב:

Cquote2.svg

... מכניקה רציונלית תהיה מדע התנועה הנגרמת מכוחות מכל סוג שהוא, ועל הכוחות הנדרשים כדי להפיק תנועה כלשהי... ולכן אני מציע עבודה זו כעקרונות המתמטיים של הפילוסופיה, אשר כל תכולת הפילוסופיה נראית כמתקיימת בהם - מן התופעה של התנועה לחקור את הכוחות של הטבע, ואז מן הכוחות לקבוע את התופעות האחרות...

Cquote3.svg

ייתכן שהייתה זו אולי העוצמה של ה"פרינקיפיה", אשר הסבירה כל כך הרבה דברים שונים על טבע העולם בכזאת מופתיות, שלמות והרמוניה, שגרמה לשיטה המדעית הזאת להיות מזוהה עם מדע הפיזיקה, מאות שנים אחר ראשיתה. ה"פרינקיפיה" נחשבה בתקופתה ליצירה המהווה תפארת של המחשבה, והיא נחשבת, גם לאחר כמה מאות, לאנדרטה ליכולת ההבנה הכבירה של האדם.

ה"פרינקיפיה" מכילה שלושה ספרים:

1. על התנועה של גופים היא תיאור מתמטי מפורט של החשבון האינפיניטסימלי (בלועזית: קלקולוס), הבא בעקביות יחד עם הגדרות בדינמיקה בסיסית וההיסקים הראשוניים המבוססים עליהם. הוא גם מכיל טענות והוכחות שאין להם דווקא קשר ישיר לדינמיקה אבל מהווים דוגמה לסוג הבעיות שניתנות לפתרון באמצעות הכלים של החשבון האינפיניטסימלי. ספר זה דן במשיכה שמפעילים גופים כדוריים, ובו ניוטון מוכיח את משפט המפתח כי גופים כדוריים מושלמים מפעילים משיכה כאילו כל המסה שלהם נמצאת במרכזם. בספר זה ניוטון גם לקח את הצעדים הראשונים בהגדרת ומחקר הבעיה של תנועת שלוש גופים מסיביים הנתונים להשפעת כוחות המשיכה ההדדיים שלהם, בעיה שזכתה לתהילה כבעיית שלושת הגופים.

2. הספר הראשון היה מחולק לשני כרכים בגלל אורכו. הוא כולל יישומים אחדים כגון תנועה דרך תווך בעל התנגדות, גזירה של הצורה בעלת ההתנגדות המינימלית (צורת הקליע האופטימלית), גזירה של מהירות הקול, ודיווח על מבחנים ניסויים של התוצאה.

3. על מערכת העולם הוא חיבור על כבידה אוניברסלית שמתבסס על הטענות של הספרים הקודמים ומיישם אותם לתנועות הנצפות במערכת השמש - הרגולציות והאי-רגולציות של מסלול הירח, התאוריה הראשונה של "נקיפת שוויון היום והלילה", גזירת חוקי קפלר, יישומים לתנועתם של ירחי צדק, לשביטים ותופעת הגאות והשפל (חלק ניכר מן המידע הושג בעזרת ג'ון פלמסטיד). הכרך מביא בחשבון גם אוסצילטור הרמוני בשלושה ממדים, ותנועה תחת חוקי כוח שרירותיים (בספר זה ניוטון הוכיח משפטים על כוח היפוך שיורד לפי החזקה השלישית של המרחק).

סדרת ההגדרות ששימשו להנחת יסודות הדינמיקה ב"פרינקיפיה" זהה לאלו שניתנות בטקסטים מדעיים בימינו. ניוטון פתח בהגדרת המושג היסודי מסה:

כמות החומר שבגוף נובעת באופן טבעי מצפיפותו וגודלו. גוף בעל צפיפות כפולה התופס נפח כפול מזה של גוף אחר הוא בעל מסה גדולה פי 4. כמות זו אני מייצג באמצעות שם הגוף או המסה

בהגדרה זו נעזר ניוטון לאחר מכן כדי להגדיר את "כמות התנועה" (במונחים של ימינו: תנע), ואת עקרון ההתמדה שבו מסה תופסת את מקומו של המושג הקרטזיאני הקודם של "כוח עצמותי". הגדרות אלו היוו את התשתית להגדרת מושג יסודי נוסף בתורה הניוטונית והוא מושג הכוח. ניוטון הציג את מושג הכוח כשיעור השינוי בכמות התנועה של הגוף, או בתנע שלו. מסקרן הדבר, שעבור קוראי ימינו, תיאור המושג כוח נקרא לא נכון מבחינת ממדיו (יחידותיו), ובצדק, שכן ניוטון אינו מציב את המושג של זמן בהגדרותיו, שכן כוח שווה לקצב שינוי התנע.

הוא מגדיר מרחב וזמן "לא כפי שהם ידועים היטב לכל". במקום, הוא מגדיר זמן "אמיתי" ומרחב כ-"מוחלט" ומסביר:

Cquote2.svg

האדם הפשוט מהרהר בטיבם של המושגים הללו תחת אף מושג אחר אלא תחת היחס שהם חבים לעצמים מוחשיים. ויהיה זה נוח לחלק אותם למוחלטים ויחסיים, אמיתיים וגלויים, מתמטיים ומסוימים, ... במקום מקומות ותנועות מוחלטות אנו מסתייעים ביחסיים, וזאת אפילו מבלי להרגיש אי נוחות בהבנתנו הרעועה את הדבר אשר נוגע לכל . אבל בדיונים פילוסופיים, אנו חייבים לפסוע צעד אחד קדימה מן החושים שלנו, ולהחשיב דברים כשהם לעצמם, מנותקים וחופשיים ממה שהנו רק אמות מידה מוחשיות שלהם.

Cquote3.svg

בספרו מתאר ניוטון את היקום כאינסופי ונצחי, אשר קיומו ומהותו שקולים לשתי התכונות שתוארו בציטוט: אבסולוטיות המרחב, ונצחיות הזמן. ואכן, בספרו ניוטון מתאר את היקום כמין שעון ענקי שכל חלקיו פועלים יחד בדיוק מושלם ובחפיפה אחד לשני כשיוצר השעון - אלוהים; מכוון את מחוגיו בכל רגע. בעיני רוחו של ניוטון עמד דגם היקום הנצחי כהתגלותה של האלוהות בטבע, כאשר המרחב והזמן הם אופני התגלותו של האל.

מעניין שלמספר גדלים בדינמיקה שנעשה בהם שימוש בספר (כגון תנע זוויתי), לא ניתנו שמות. מדע הדינמיקה כפי שהוצג בשני הספרים הראשונים היה כה מבוסס ועקבי שהוא התקבל מיד בקרב קהילת המדענים באירופה: לדוגמה ג'ון לוק שאל את כריסטיאן הויגנס אם הוא נותן אמון בהוכחות המתמטיות, והויגנס השיב כי הוא סמוך ובטוח בנכונותם של ההוכחות.

אף על פי כך, הקונספט של כוח משיכה הפועל ממרחק זכה ליחס קר יותר. בכתביו, ניוטון כתב כי חוק הריבוע-ההפוך נובע באופן טבעי ממבנה החומר. למרות זאת, הוא לא הוסיף משפט זה בגרסה שפרסם, בה הוא טען במקום שתנועת הכוכבים היא עקבית עם חוק הריבוע-ההפוך, אבל סירב לציין מה מקור החוק הזה. הויגנס ולייבניץ שמו לב שחוק זה אינו מתיישב עם קיומו של האתר. מנקודת מבט קרטזיאנית, איפוא, היה פגם בתאוריה. להגנתו של ניוטון נחלצו מאז פיזיקאים מפורסמים רבים - וזאת מכיוון שהוא הצביע על כך שהצורה המתמטית של התאוריה חייבת להיות נכונה ומכיוון שהסבירה את המידע האסטרונומי, אך סירב לשער השערות הלאה לגבי הטבע הבסיסי של הכבידה. הכמות העצומה של תופעות שהובאו לארגון וסדר באמצעות התאוריה הייתה כה מרשימה שה"פילוסופים" הצעירים יותר אימצו תוך זמן קצר את השיטות ואת שפת ה"פרינקיפיה".

כללי החשיבה בפילוסופיה[עריכת קוד מקור | עריכה]

כדי למנוע את האפשרות שהציבור הרחב יפרש את "פרינקיפיה" כקריאת תיגר על מקומו של האל בעולם, ניוטון הוסיף ליצירתו חלק העוסק בכללי החשיבה בפילוסופיה. ארבעת הכללים שהוא ניסח היוו גם דרך להצעת הסברים לתופעות מסתוריות בטבע. כל כלל שהוצע בידי ניוטון משרת עבורו תפקיד מסוים בשיכוך הרוחות הסוערות של הפילוסופים באמצעות הצגת התופעות בטבע כחסרות מענה באופן כללי. ב"פרינקיפיה", הוא מסביר כל כלל בצורה מפושטת יותר או נותן דוגמה כדי להמחיש מה כוונתו של כל כלל.

הכלל הראשון קובע במילים אחרות כי בטבע לעולם לא מתרחש משהו ללא סיבה מכוונת וישירה בגלל שתכנונו האינטליגנטי של האל הוא האופטימלי ביותר האפשרי. הכלל השני קובע כי אם גורם אחד מיועד לתופעה מסוימת, אזי אותו גורם במדויק מיועד לכל תופעה מדעית דומה (אור השמש הלוהטת או של המדורה). בקצרה, כאשר הוא מדגים את שני הכללים האחרונים, הוא נעזר בהם כדי להסביר את הכבידה ואת המרחב. בתקופתו, שני הנושאים הללו היו מסתוריים מאוד וניוטון נעזר בכלליו כדי לנמק כל הבט של תופעות אלו. בסוף, ניוטון מסיים את הבהרתם של החוקים באמצעות שילובו של האל בכל תהליך או ישות בעולם הזה. ניוטון קובע כי כל דבר מתוכנן ומותווה בצורה מושלמת בידי האל. ניוטון נכנס לפרטים בתיאורו כיצד תכנונו האינטליגנטי של האל פועל לבדו ללא עזרתו או נוכחותו המורגשת של האל. הכבוד שניוטון רכש בספרו וההערכה האולטימטיבית שנתן לאל, שוככו את כל האנשים שעשויים היו לדחות את עבודתו הבלתי ניתנת להכחשה.

יצירתם של ארבעת החוקים בידי ניוטון חוללה מהפכה באופן החקירה של כל תופעה שהיא. עם יצירת החוקים, ניוטון היה מסוגל להתחיל לספק הסברים לכל התעלומות הגדולות של העולם המדעי דאז. ניוטון הפעיל את כוחם של החוקים הללו לא רק כדי להרחיק לכת במתן מענה לשאלות מדעיות יותר מכל מדען אחר בזמנו, אלא גם כדי לשחזר צעדים מדעיים ולזהות יצירות ופריצות דרך מדעיות גדולות של העבר. בעזרת המתודה המדעית החדשה שלו הוא החליף את זו של אריסטו והיה מסוגל לשכלל את השיטה הניסויית של גלילאו. הבריאה מחדש של שיטת גלילאו הייתה כה משוכללת שהיא מעולם לא השתנתה מאז ומדענים עדיין משתמשים בה כיום.

תוכן הספר[עריכת קוד מקור | עריכה]

עמוד מתוך הספר.

במהלך ניסוח התאוריות הפיזיקליות שלו, ניוטון פיתח תחום חדש של מתמטיקה שנקרא חשבון אינפיניטסימלי. ככל הנראה, שפת החשבון האינפיניטיסמלי כלל לא הוכנסה לתוך "פרינקיפיה". במקום זאת, ניוטון מציג בספרו את רוב ההוכחות שלו כטיעונים גאומטריים.

ב"פרינקיפיה", ניוטון ביטא לראשונה את אמרתו I feign no hypotheses - אינני בודה השערות.

ברטרנד ראסל קרא לספרו החשוב "פרינציפיה מתמטיקה - Principia Mathematica" בעקבות ספרו של ניוטון.

הספר מתאר את תפיסתו של ניוטון באשר לתיאור המתמטי של הטבע - תפיסה הקובעת כי ניתן לתאר את ההתנהגות של מערכות פיזיקליות בעזרת משוואות דיפרנציאליות (למרות שהן לא מופיעות בספר) ותנאי התחלה.

הספר מתאר את שלושת חוקי המכניקה שהגה וכן את חוק המשיכה האוניברסלי.

כמו כן, הספר מתאר את יסודות האופטיקה הגאומטרית, כפי שטבע אותה ניוטון, ומספר תאוריות של הידרודינמיקה.

למרות שניוטון פיתח את היסודות של החשבון האינפינטסימלי לפני כתיבת הספר, הם אינם מופיעים בו וזאת עקב הרצון של ניוטון להראות לעמיתיו (שרובם היו שמרנים והתנגדו לרעיון החדשני) את נכונות התאוריה.

לספר שלושה כרכים:

  • על תנועה של גופים
  • עוד על תנועה של גופים
  • המערכת של העולם

בספרו, ניוטון מתאר את היקום כמין שעון ענקי שכל חלקיו פועלים יחד בדיוק מושלם ובחפיפה אחד לשני כשיוצר השעון - אלוהים; מכוון את מחוגיו בכל רגע.

מהות חוקי התנועה בניסוחם הראשוני[עריכת קוד מקור | עריכה]

החוקים מופיעים בעמודים הראשונים של הספר "פרינקיפיה מתמטיקה". אך תחילה מגדיר ניוטון את המושגים הפיזיקליים הנדרשים: כמות החומר, כמות התנועה, הכוח המולד הסביל של החומר, כוח מופעל, כוח צנטריפטלי, הכמות האבסולוטית, הכמות המואצת, הכמות התנועתית של הכוח הצנטריפוגלי ושני מושגים נוספים מרכזיים בשיטתו: המרחב והזמן המוחלטים, שבלעדיהם אין כל משמעות להגדרות הנ"ל.

שלושת החוקים מגדירים את ההתנהגות הפיזיקלית-מתמטית של המאסה החומרית תחת אילוצים ותנאים שונים.

  1. חוק I: כל גוף יתמיד במצבו כל עוד שקול הכוחות עליו הוא אפס.
  2. חוק II: שינוי התנועה הוא פרופורציוני לכוח המניע המופעל; והוא בכיוון הקו הישר שבו פועל הכוח הזה.
  3. חוק III: לכל פעולה יש תמיד פעולה מנוגדת השווה לה; או, הפעולות הדדיות, ששני גופים פועלים זה על זה, הן תמיד שוות זו לזו ומכוונות לעברים מנוגדים.

המסה אינה מוגדרת אצל ניוטון כמאפיין עצמי של גוף, כמו: צורה, גודל או משקל. ההגדרה מבטאה את החוקיות של הפעולות והתגובות להן היא כפופה, כאשר פועל עליה כוח חיצוני רגעי השואף לשנות את המצב האינרטי, בין אם הוא מנוחה או תנועה קצובה.

דהיינו, אנו למדים על מהותה של המסה מתוך פעולות הגוף ותגובותיו לסביבה ולא מתוך תכונותיו העצמיות[1]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Sir Isaac Newton, The chronology of Ancient Kindoms Amended London, 1728 - printed by Histories and Misteries of Man LTD, 1988, U.S.A

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ראו: עיבל לשם רמתי, עמוד 42