משתמש:Avneref/פיזיקה/הרצאות פיינמן

הרצאות פיינמן

הרצאות פיינמן על פיזיקה, משורר של פיזיקה. עובד-משורר.

תורת האינוורינטיות הפרטית

חלק 1, הרצאה 15

בעקבות ה"כישלון" של ניסוי מייקלסון-מורלי (למעשה, הצלחה גדולה - להוכיח שאין אתר (פיזיקה)!), הנדריק לורנץ הציע: האורך L בכיוון תנועת הארץ מתקצר (במערכת שבה כדה"א נע - מערכת השמש, או "הנייחת") בגלל התנועה.

• סעיף 15-4: התמרת הזמן

בנוסף, גם הזמן שנמדד בשעון שנע עם כדה"א - ארוך יותר ביחס לזמן שנמדד במערכת ה"נייחת"; כלומר השעון ה"נייח" מתקתק יותר פעמים (> 1) בזמן שהשעון שעל כדה"א מתקתק פעם אחת, וזאת בגלל שקרן האור בשעון הנע (כפי שהיא נראית במערכת ה"נייחת") צריכה לנוע באלכסון, ולכן מרחק גדול יותר, באותה מהירות c; ובאותו זמן קרן האור בשעון ה"נייח" כבר משלימה תקתוק שלם לפני שהקרן בשעון הנע משלימה תקתוק אחד.

על פי האיור: המרחק האנכי במערכת הנייחת פרופורציוני ל-c, והמרחק האנכי במערכת הנייחת פרופורציוני ל-${\sqrt {c^{2}-u^{2}}}$; ושניהם שווים (הגובה שווה בשתי המערכות). גורמי הפרופורציה הם $\tau$ (הזמן שלוקח לקרן במערכת הנייחת), ו-$\tau '$ (הזמן שלוקח לקרן בשעון שבכדה"א, כפי שהיא נראית במערכת הנייחת), בהתאמה. מכאן: $c\tau ={\sqrt {c^{2}-u^{2}}}\cdot \tau '\Rightarrow \tau '=\tau \cdot {\frac {c}{\sqrt {c^{2}-u^{2}}}}=\tau \cdot {\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$, כלומר: הזמן שמודד השעון שבמערכת הנעה, $\tau '$, (= הזמן שאורך תקתוק אחד בשעון הנע, כפי שהוא נמדד בשעון ה"נייח"), ארוך יותר מהזמן שאורך תקתוק בשעון ה"נייח", $\tau$, פי $1 \over {\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$.

מכאן גם נובע, שהמושג "באותו זמן" (סימולטניות) הוא תלוי מערכת-ייחוס: שני מאורעות שקורים באותו זמן במערכת 'S ייראו בשני זמנים שונים במערכת S, בהפרש זמנים: $\Delta t=t_{2}-t_{1}={\frac {u(x_{1}'-x_{2}')/c^{2}}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$. אפשר להבין זאת ע"י ניסוי שבו Moe מסנכרן בין שני שעונים ב-'S ע"י 2 קרני אור שיוצאות מהאמצע, ומגיעות באותו זמן ב-'S, אבל ב-S נראה שהקרן שרודפת אחרי השעון שמתרחק ממנה מגיעה מאוחר יותר מאשר הקרן שנעה אל השעון המתקרב: שתיהן נעות ב-c בכל מערכת ובפרט ב-S, אבל ב-S המרחקים שהן עוברות לא שווים. (האם לורנץ ידע על ההנחה הזאת, ש-c שווה בכל המערכות? כי אם לא ידע, אז הצעתו שהמרחק מתכווץ - לא מסבירה את תוצאת מייקלסון-מורלי?)

אנרגיה ותנע יחסותיים

חלק 1, הרצאה 16

פיינמן: עקרון היחסות לא אומר (כדברי פילוסופים בשקל) ש"הכל יחסי, והכל תלוי בנקודת המבט". שהכל נראה שונה בעיני מתבוננים שונים - כבר היה ידוע אלפי שנים; שתנועה היא יחסית - כבר נאמר ע"י גלילאו גליליי (דיאלוג על שתי מערכות העולם המרכזיות: ) ואייזק ניוטון (שנולד ב-1642, שבה גלילאו מת) הוסיף את חוקי התנועה, הכבידה והמושג זמן מוחלט. העיקרון קובע, שחוקי הפיזיקה תקפים באותה מידה בכל מערכת ייחוס, וכל ניסוי יפיק אותן תוצאות, ולכן במערכת שנמצאת בתנועה קצובה ביחס למערכת אחרת - לא ניתן לדעת מי בתנועה; וזאת בניגוד לתפיסה שלפני ניסוי מייקלסון-מורלי, שתנועה היא מוחלטת ביחס לאתר (פיזיקה). למשל: כדור הארץ סובב סביב צירו ביחס לכל הגלקסיות, וזאת ניתן להבחין בניסוי, למשל ע"י מטוטלת פוקו, שמתנדנדת במישור קבוע ביחס ליקום כולו; לטענה שזה קורה רק כתוצאה מנוכחות הגלקסיות - לא ניתן לדעת אם היא נכונה, אלא בניסוי שבו יסולקו על הגלקסיות. (ניסוי דומה: מים בדלי שמסתובב סביב צירו) בנוסף, אלברט איינשטיין גם הניח שמהירות האור זהה בכל המערכות, ומכאן נובעות התוצאות של היחסות הפרטית: התקצרות אורכים (הנדריק לורנץ?), התארכות הזמן; אבל לא ניתן להסיק זאת א-פריורי, אלא רק לאשש זאת בניסוי (מייקלסון-מורלי, אם כי האישוש ניתן רק 18 שנה אחריו, כשאיינשטיין סיפק הסבר ע"י היחסות הפרטית).

מרחב-זמן

חלק 1, הרצאה 17

אלקטרומגנטיות

חלק 2, הרצאה 1

משתמש:Avneref/מדע/המשוואות הגדולות#משוואות מקסוול משתמש:Avneref/מדע/פיזיקה/מודרנית#משוואות מקסוול

• סעיף 1-1: אנרגיה גרעינית: למעשה - אנרגיה שנובעת מכוח לורנץ, שמשתחררת לאחר שאטום (למשל אורניום) מבוקע, והתוצרים נדחים בכוח (חשמלי!) אדיר, בגלל הדומיננטיות (על פני הכוח החזק) במרחק הגדול-יחסית שנוצר בין התוצרים.
  • אנרגיה חשמלית בחוטים, סרטון באתר יוטיוב, מאת Derek Muller, Veritasium
  • שדה חשמלי לא משפיע על המגנטי, ולא להיפך, סרטון באתר יוטיוב, מאת Atoms & Sporks
• סעיף 3-3, משוואה 3.29: מה הקשר בין נגזרת שניה (לפלסיאן) לבין משוואת החום? - עוצמת שטף החום שווה ל"נגזרת השניה" לפי המרחב.
• ס. 43-1; מש. (43.8): בגז אידיאלי במצב שיווי משקל, הסיכוי של מולקולה להתנגש אחרי זמן t:

$P(t)=e^{-{\frac {t}{\tau }}}$; שיעור המולקולות שמתנגשות עד זמן τ (שהוא ממוצע הזמן בין התנגשויות) הוא: $N(t=\tau )=N_{0}\cdot e^{-1}$; לכן הסיכוי של מולקולה להתנגש לפני הזמן τ הוא פחות מחצי ($e^{-1}=0.368$); בממוצע, מחצית מהמולקולות תתנגשנה אחרי:

$e^{-{\frac {t}{\tau }}}=1/2\Rightarrow t=-{\frac {1}{ln(1/2)}}\tau =1.44\tau$

כלומר, הרוב מתנגשות אחרי יותר מזמן τ.

• ס. 43-2, מש. (43.12): כדי שתקרה התנגשות, צריך שהמולקולה 1 שבתנועה (שרדיוסה r1) תיגע בהיקפה או בפנימיותה במולקולה 2, שכביכול "במנוחה" (שרדיוסה r2); כדי שזה יקרה, צריך שמרכזה של 1 יהיה בתחום עיגול שרדיוסו: r1 ועוד הרדיוס של זאת שנעה, r2. הסיכוי לכך הוא סך כל השטחים של העיגולים ברדיוס r1+r2 יחסית לכל שטח החזית; בתיבה (או כל נפח אחר, למשל גליל) ששטח החזית שלה הוא יחידה (למשל, 1 מ"ר), ועומקה הוא $l$, הסיכוי הוא החלק של סך השטחים מתוך 1 מ"ר, כלומר: סך השטחים במ"ר. סך זה הוא: $\sigma _{c}n_{0}l$. מכייון ש-$l$ הוא המרחק הממוצע בין התנגשויות, הרי שביטוי זה שווה ל-1, כלומר בממוצע תתרחש התנגשות אחת בכל תיבה שעומקה $l$.

לדעתי, הניתוח לא מביא בחשבון שתהיה בממוצע התנגשות אחת גם כאשר שטחי העיגולים לא יכסו לגמרי את כל שטח החזית, כלומר גם אם בין העיגולים יהיו פערים - שגודלם קטן מגודלה של מולקולה 1; כלומר מספיק ש-1 תתקדם מרחק שקטן מ-$l$, קטן בשיעור של היחס בין שטחי כל העיגולים ללא הפערים, לבין סך השטח.

• ס. 43-5, מש. (43.37): ההסתברות להימצאות חלקיק בהעתק x יורדת כמו: $e^{-{\frac {U}{kT}}}$, ו-U אנרגיה פוטנציאלית, כי ?
  • ס. 40-2, מש. (40.2)[1]: (חוק בולצמן?) [2]
  • צריך להראות מש. (43.41): ${\frac {1}{A}}{\frac {dQ}{dt}}=-\kappa {\frac {dT}{dz}}$ [3]

(למרות ש-חוק פוריה, משוואת החום: ${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u$? ריבוע - כי Q הוא אנרגיה תרמית, ואילו u הוא טמפרטורה מרחבית?)

• לשדה וקטורי שהוא גרדיאנט של שדה סקלארי - יש תמיד רוטור (curl) אפס: $\operatorname {curl} (\nabla \varphi )=\nabla \times (\nabla \varphi )=0$. המשמעות: במקרה כזה, האינטגרל הקווי של הגדיאנט סביב כל מסלול סגור הוא 0 (משפט סטוקס); כלומר האינטגרל הקווי של הגרדיאנט, על מסלול שבין שתי נקודות לא תלוי בצורת המסלול - וזה מאפשר להגדיר שדה פוטנציאל, כי הערך של האינטגרל הקווי של הגרדיאנט שווה להפרש בין ערכי השדה הסקלארי בין שתי הנקודות, ולכן להגדרת השדה כשדה פוטנציאל - יש משמעות.
• חשבון וקטורים. בדיקה שהרוטור של השדה האלקטרוסטטי הוא 0 בכל מקום:

השדה החשמלי בנקודה (המיוצגת במערכת צירים קרטזית) ${\vec {r}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\hat {r}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\cdot {\frac {x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

הוא:

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Q}{|{\vec {r}}|^{2}}}\cdot {\hat {r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Q}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}(x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} )$

$E_{x}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\cdot {\frac {Q}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}}\cdot x$

${\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-{\frac {5}{2}}}\cdot 2y\cdot x\right]$

ובאותו אופן:

${\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}\left[-{\frac {3}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-{\frac {5}{2}}}\cdot 2x\cdot y\right]$

ולכן:

${\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}=0$

(כל זה נובע מכך שביחס ל-z קבוע, המטריצה (x,y)Ex היא הטרנספוז של Ey(x,y); ולכן יש סימטריה בין x לבין y).

בעצם, לכל שדה סטטי רדיאלי, הרוטור שווה 0 - כי כל "קווי השדה" מכוונים יש החוצה, ולא מסתובבים; ובשקילות לכך: בכל מישור של שני ממדים, כשהשלישי מוחזק קבוע - רכיבי השדה תמיד סימטריים.

אלקטרוסטטיקה

Volume 2, Chapter 5: Application of Gauss’ Law

• דוגמה: שדה חשמלי של תיל מוליך אינסופי.

1. ע"י אינטגרל:

${\vec {dE}}=k\cdot {\frac {dq}{r^{2}}}\cdot {\frac {\vec {r}}{r}},\ \ \ k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}},\ {\hat {r}}={\frac {\vec {r}}{r}}$

$r^{2}=l^{2}+R^{2}\implies dE_{y}=k\cdot {\frac {\lambda dl}{r^{2}}}\cdot {\frac {R}{r}}=k\cdot {\frac {\lambda dl}{(l^{2}+R^{2})^{3/2}}}$

$E_{y}=k\lambda R\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dl}{(l^{2}+R^{2})^{3/2}}}$

מ-[4]:

$E_{y}=k\lambda R{\frac {l}{R^{2}r}}=k{\frac {\lambda l}{R{\sqrt {l^{2}+R^{2}}}}}|_{-\infty }^{\infty }=k{\frac {\lambda }{R}}[1-(-1)]={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\lambda \cdot 2}{R}}={\frac {\lambda }{2\pi \epsilon _{0}R}}$

(בקיצור)

2. ע"י משטח גאוס, גליל שמקיף תיל באורך $l$:

$\int _{cylinder}\mathbf {E} \cdot \mathbf {a} =E\cdot 2\pi Rl={\frac {\lambda l}{\epsilon _{0}}}\Rightarrow E={\frac {\lambda }{2\pi R\epsilon _{0}}}$

Vol. 2, Ch. 6: The Electric Field in Various Circumstances

• ס. 6-8, מש. (6.29):

המטען dQ בטבעת ברדיוס ρ וברוחב dρ הוא: $dQ=\sigma (\rho )d\rho \cdot 2\pi \rho$;

המטען בכל המישור האינסופי:

$Q=\int dQ=\int _{0}^{\infty }\sigma (\rho )2\pi \rho d\rho =-{\frac {2aq}{4\pi }}2\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\rho }{(a^{2}+\rho ^{2})^{3/2}}}d\rho =-{\frac {4aq\pi }{4\pi }}\cdot -{\frac {1}{(a^{2}+\rho ^{2})^{1/2}}}|_{0}^{\infty }=aq\left(0-{\frac {1}{a}}\right)=-q$

(List of integrals of rational functions)

• ס. 6-9:

שתי נקודות על ציר x ששיעוריהן c, -c; וקבוע a, קובעים מעגל שרדיוסו a, ושיחס המרחקים מכל נקודה על המעגל לשתי הנקודות - קבוע.

במקרה של ס. 6-9, מרכזו של המעגל הזה ב-$\left(-{\frac {b}{2}},0\right)$, ושתי הנקודות הן:

$\left({\frac {2a^{2}-b^{2}}{2b}},0\right),\left({\frac {b}{2}},0\right)$ (כי: $-{\frac {b}{2}}+{\frac {a^{2}}{b}}={\frac {2a^{2}-b^{2}}{2b}}$).

למציאת היחס הקבוע:

משוואת המעגל: $\left(x--{\frac {b}{2}}\right)^{2}+y^{2}=a^{2}$, ומכאן: $y^{2}=a^{2}-\left(x+b/2\right)^{2}$

אורך בריבוע של r₁: $r_{1}^{2}=\left(x-{\frac {b}{2}}\right)^{2}+[y-0]^{2}=x^{2}-xb+b^{2}/4+[a^{2}-(x^{2}+xb+b^{2}/4)]=a^{2}-2xb$

ושל $r_{2}$: $r_{2}^{2}=\left(x-{\frac {2a^{2}-b^{2}}{2b}}\right)^{2}+[y^{2}]=x^{2}-{\frac {x}{b}}(2a^{2}-b^{2})+{\frac {(2a^{2}-b^{2})^{2}}{4b^{2}}}+[a^{2}-(x^{2}+xb+b^{2}/4)]$

$r_{2}^{2}={\frac {4a^{2}(a^{2}-2xb)}{4b^{2}}}$

והיחס קבוע: ${\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {b}{a}}$, בהתאם למש. (6.31).

• ס. 6-10, מש. 6.33:

על מטען q פועל כוח qE; על מטען יחידה פועל כוח 1E; לאורך d, העבודה היא Ed=V. על מטען q העבודה היא qV, וזו תוספת האנרגיה לקבל שיש בו כבר מתח V=Q/C. האנרגיה בקבל מתקבלת מאינטגרציה על dq שמעבירים מלוח אחד לשני: $E_{c}=\int dW=\int _{0}^{Q}V(q)dq=\int _{0}^{Q}{\frac {q}{C}}dq={\frac {Q^{2}}{2C}}={\frac {1}{2}}CV^{2}$.

• ס. 7-2:

אם בוחרים פונקציה מרוכבת $F(z)=z^{2}$, היא מגדירה פונקציה ממשית (אחת מתוך 2): $U(x,y)=x^{2}-y^{2}$, וזו יכולה לשמש כפונקצית פוטנציאל במישור (כי מקיימת את משוואת לפלס). כל הנקודות x,y שבשבילן U מקבלת ערך קבוע A נמצאות על היפרבולה (מלבנית?), לכל A היפרבולה שונה. פונקצית פוטנציאל U כזאת יוצרת שדה חשמלי דו-ממדי שזהה לשדה שנוצר ע"י 2 מוליכים עם פינה ב-90 מעלות, טעונים, כמו בציורים 7-2, 7-3. ההיפרבולות שוות-הפוטנציאל הן הקוים השלמים, השדה הוא הגרדיאנט, לאורך הקוים המרוסקים.

$\phi =x^{2}-y^{2};E_{x}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=-2x$, כלומר בכל נקודה, רכיב x של השדה פרופורציוני ל-x.

ראה: C:\a\ideas\SCIENSE\Physics\Programs\2d_potential.m

• ס. 7-3:

פיתוח של $f(x)=(1+\epsilon )^{-1}=(1+x)^{-1}$ (כש-x קטן) לטור טיילור סביב $x_{0}=0$:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(x_{0}){\frac {(x-x_{0})^{n}}{n!}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}...$

שני איברים ראשונים: $1-x=1-{\frac {\Delta s}{\Delta x}}$

האלקטרונים בפלזמה נעים כמתנד הרמוני: ${\ddot {s}}+\omega ^{2}s=0$,

או (החוק השני של ניוטון): $m{\ddot {s}}=-m\omega ^{2}s=-ks$, שבו ריבוע התדירות: $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}={\frac {n_{0}q_{e}^{2}}{\epsilon _{0}m_{e}}}$.

מהתדירות הטבעית של הפלזמה מתקבל, שגלי רדיו בתדירות נמוכה מהטבעית - לא חודרים את שכבת היונוספירה (פלזמה של אויר באטמוספירה), אלא מוחזרים ממנה ומהקרקע לסירוגין, וכך בגלים ארוכים אפשר לשדר ברדיו למרחק גדול (מעבר לאופק); וכדי לשדר לחלל, מעבר ליונוספירה, יש צורך בגלים קצרים מאשר התדירות הטבעית.

הרצאות אליצור

אבשלום אליצור

לחזות בתפארת

• עמ' 169: קרן אור הולכת הלוך וחזור בתוך קרון נע, 'S: יוצאת ב-t1'=0 מ-x1=x1'=0, פוגעת בקיר ב-'t2' x2, חוזרת ב-'t3' x3; הזמן במערכת הקרון נע לאט יותר: בקרון נמדד הפרש

$t_{3}'=[u(0-x_{2})/c^{2})+u(x_{2}-x_{3})/c^{2})]{\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$ (= השעון ה"נייח" תיקתק פי ${\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$ פעמים מאשר השעון בקרון).

ועדיין מהלך הקרן לא מסביר את פיגור השעון, יש להוסיף את התקצרות אורך הקרון (ביחס למה?) - כיצד?

• עמ' (שנחאי): הסיני מכה בגונג ברגע t1, שבו במערכת שלו (S) אות הרדיו מגיע לשני הנוסעים, ולכן הפרש הזמנים אצלו 0; הנוסע מזרחה (מערכת 'S) מודד הפרש $\Delta t'=t_{2}'-t_{1}'={\frac {u(x_{1}-x_{2})/c^{2}}{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}>0$, כי בשבילו u>0; הנוסע מערבה ("S) ימדוד הפרש שלילי, כי בשבילו u<0, ולכן ייראה לו שהגונג התרחש אחרי שהרדיו הגיע.