סדרת קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, סדרת קושי היא סדרה שאבריה הולכים ומצטופפים: לכל מרחק חיובי \varepsilon, יש מקום בסדרה שממנו והלאה המרחק בין כל שני אברים קטן מ-\varepsilon. סדרות אלה קרויות על שמו של המתמטיקאי הצרפתי אוגוסטין לואי קושי.

הגדרה פורמלית: יהי X מרחב מטרי (כלומר: קבוצה עם מטריקה d עליה), ותהי \ \{ a_n \}_{n=1}^{\infty} סדרה שאיבריה במרחב זה. אזי אם לכל \ \varepsilon > 0 קיים N כך שלכל \ n,m > N מתקיים \ d(a_n,a_m) < \varepsilon אזי הסדרה נקראת סדרת קושי.

אפשר לטפל בסדרות קושי של מספרים (רציונליים או ממשיים), ובאופן כללי יותר בסדרות של אברים בכל מרחב מטרי. כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. הכיוון ההפוך תלוי בתכונות של המרחב: מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא מרחב שלם. שדה המספרים הממשיים הוא השדה השלם המינימלי, ואכן, כל סדרת קושי של מספרים ממשיים - מתכנסת (זה נכון גם עבור סדרת קושי של מספרים מרוכבים, כלומר גם שדה המספרים המרוכבים הוא שלם).