טופולוגיה מושרית

בטופולוגיה, טופולוגיה מושרית (נקראת גם הטפולוגיה היחסית, או טופולוגיית התת-מרחב) היא טופולוגיה על תת-קבוצה של מרחב טופולוגי המתקבלת מהטופולוגיה של מרחב האם. הטופולוגיה המושרית היא הטופולוגיה החלשה ביותר האפשרית כך שהעתקת ההכלה היא רציפה.

יהי X מרחב טופולוגי עם טופולוגיה (אוסף קבוצות פתוחות) O. יהי $\ Y \subset X$ תת-קבוצה של X. נסמן את הטופולוגיה של Y ב- $\ O_Y$ (זהו אוסף כל הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה המושרית).

$\ O_Y = \left\{ V\cap Y | \ V \in O \right\}$

או בניסוח מילולי:

• קבוצה $\ W \subset Y$ היא קבוצה פתוחה ב- Y אם קיימת קבוצה V פתוחה ב- X כך ש $\ W = Y \cap V$.
• קבוצה $\ M \subset Y$ היא קבוצה סגורה ב- Y אם קיימת קבוצה F סגורה ב- X כך ש $\ M = Y \cap F$.

אפשר לראות שזוהי באמת טופולוגיה על הקבוצה Y, שהתכונות שלה מושרות מהטופולוגיה על X.

מראש, Y יכולה להיות כל תת-קבוצה של X, ולא צריכה להיות דווקא קבוצה פתוחה או סגורה. יתר על כן, קיים אוסף רחב של תכונות של מרחבים טופולוגיים שהם תורשתיים כלומר המרחב X מוריש אותם לכל תת-מרחב שלו. מצד שני, קיימות תכונות רבות שהן לא תורשתיות ותכונות אחרות שהן חצי-תורשתיות (כלומר עוברות רק לתתי מרחב פתוחים או סגורים).

דוגמאות

הטופולוגיה הרגילה על שדה המספרים הרציונליים היא הטופולוגיה המושרית עליהם מהישר הממשי. מהסיבה הזו שדה המספרים הרציונליים "יורש" את המטריקה של הישר הממשי והופכים למרחב מטרי. מצד שני למרות שהישר הממשי הוא קשיר, מרחב הרציונליים אינו קשיר- כיוון שמתקיים: $\mathbb{Q} = \left( \ ( - \infty , \pi)\cap \mathbb{Q} \right) \cup \left( (\pi , \infty)\cap \mathbb{Q} \right)$.

קל לראות שבאופן כללי מטריזביליות היא תכונה תורשתית, בעוד שקשירות היא לא תורשתית, ואפילו לא חצי תורשתיות. כך גם תכונת האוסדורף, ורגולריות הן תכונות תורשתיות, בעוד שנורמליות היא לא תורשתית. קומפקטיות היא חצי תורשתית, במרחב האוסדורף, כי היא עוברת בירושה לכל תת-מרחב סגור. לעומת זאת היא לא תורשתית לחלוטין: לדוגמה $\ (0,1) \subset [0,1]$ והקטע הסגור הוא קומפקטי, אך הקטע הפתוח לא קומפקטי.