מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.
יהא
(
X
,
τ
X
)
{\displaystyle (X,\tau _{X})}
∞
∉
X
{\displaystyle \infty \notin X}
Y
=
X
∪
{
∞
}
{\displaystyle Y=X\cup \left\{\infty \right\}}
τ
Y
{\displaystyle \tau _{Y}}
Y
{\displaystyle Y}
U
⊆
Y
{\displaystyle U\subseteq Y}
אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:
U
{\displaystyle U}
קבוצה פתוחה ב-
X
{\displaystyle X}
U
∈
τ
X
{\displaystyle U\in \tau _{X}}
∞
∈
U
{\displaystyle \infty \in U}
Y
∖
U
{\displaystyle Y\setminus U}
נראה ש-
Y
{\displaystyle Y}
U
{\displaystyle {\mathcal {U}}}
Y
{\displaystyle Y}
V
0
∈
U
{\displaystyle V_{0}\in {\mathcal {U}}}
∞
∈
V
0
{\displaystyle \infty \in V_{0}}
V
0
∈
τ
Y
{\displaystyle V_{0}\in \tau _{Y}}
Y
∖
V
0
{\displaystyle Y\setminus V_{0}}
Y
∖
V
0
{\displaystyle Y\setminus V_{0}}
{
V
1
,
.
.
.
,
V
n
}
{\displaystyle \left\{V_{1},...,V_{n}\right\}}
{
V
0
,
V
1
,
.
.
.
,
V
n
}
{\displaystyle \left\{V_{0},V_{1},...,V_{n}\right\}}
Y
{\displaystyle Y}
Y
{\displaystyle Y}
מרחב קומפקטי מקומית , מרחב האוסדורף אם נניח ש-
X
{\displaystyle X}
מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף , אזי גם
Y
{\displaystyle Y}
x
,
y
∈
Y
{\displaystyle x,y\in Y}
x
,
y
∈
X
{\displaystyle x,y\in X}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
U
{\displaystyle U}
V
{\displaystyle V}
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
y
∈
V
{\displaystyle y\in V}
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
y
=
∞
{\displaystyle y=\infty }
בלי הגבלת הכלליות כי
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
X
{\displaystyle X}
V
∈
τ
X
{\displaystyle V\in \tau _{X}}
V
∈
τ
Y
{\displaystyle V\in \tau _{Y}}
y
∈
V
{\displaystyle y\in V}
V
¯
{\displaystyle {\overline {V}}}
U
:=
Y
∖
{
V
¯
}
{\displaystyle U:=Y\setminus \left\{{\overline {V}}\right\}}
Y
{\displaystyle Y}
x
=
∞
∈
U
{\displaystyle x=\infty \in U}
Y
{\displaystyle Y}
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
y
∈
V
{\displaystyle y\in V}
Y
{\displaystyle Y}
ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף
