מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
שורה 28:
שורה 28:
----
----
[[קטגוריה: טופולוגיה]]
[[קטגוריה: טופולוגיה]]
{{נבדק}}
{{טופולוגיה}}
{{טופולוגיה}}
גרסה מ־07:31, 26 ביולי 2005
בטופולוגיה , הפְּנים של קבוצה הוא, אינטואיטיבית, אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה.
הגדרה פורמלית
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
תהא
A
{\displaystyle \!\,A}
קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה,
Int
(
A
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Int}}(A)}
, בתור קבוצת כל הנקודות
x
∈
A
{\displaystyle \!\,x\in A}
כך שקיימת קבוצה פתוחה
B
{\displaystyle \!\,B}
כך ש
x
∈
B
⊆
A
{\displaystyle \!\,x\in B\subseteq A}
- כלומר, הקבוצה
A
{\displaystyle \!\,A}
מכילה סביבה של
x
{\displaystyle \!\,x}
.
תהא
A
{\displaystyle \!\,A}
קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב
A
{\displaystyle \!\,A}
. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב
A
{\displaystyle \!\,A}
.
תהא
A
{\displaystyle \!\,A}
קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור :
Int
(
A
)
=
(
A
c
¯
)
c
{\displaystyle \ {\mbox{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c}}
דוגמה
נחשב את הפנים של הקטע הסגור [0,1] בישר הממשי.
[
0
,
1
]
c
=
(
∞
,
0
)
∪
(
1
,
∞
)
{\displaystyle \ [0,1]^{c}=(\infty ,0)\cup (1,\infty )}
[
0
,
1
]
c
¯
=
(
∞
,
0
]
∪
[
(
1
,
∞
)
{\displaystyle \ {\overline {[0,1]^{c}}}=(\infty ,0]\cup [(1,\infty )}
(
[
0
,
1
]
c
¯
)
c
=
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ ({\overline {[0,1]^{c}}})^{c}=(0,1)}
ולכן הפנים של [0,1] הוא הקטע הפתוח (0,1).
תכונות הפנים
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור .
כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה:
A
=
Int
(
A
)
{\displaystyle \!\,A={\mbox{Int}}(A)}
. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן
Int
(
A
)
=
Int
(
Int
(
A
)
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Int}}(A)={\mbox{Int}}\left({\mbox{Int}}(A)\right)}
.
A
⊆
B
⇒
Int
(
A
)
⊆
Int
(
B
)
{\displaystyle \!\,A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Int}}(A)\subseteq {\mbox{Int}}(B)}
.
Int
(
A
∪
B
)
⊆
Int
(
A
)
∪
Int
(
B
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Int}}\left(A\cup B\right)\subseteq {\mbox{Int}}(A)\cup {\mbox{Int}}(B)}
.
Int
(
A
∩
B
)
=
Int
(
A
)
∩
Int
(
B
)
{\displaystyle \!\,{\mbox{Int}}\left(A\cap B\right)={\mbox{Int}}(A)\cap {\mbox{Int}}(B)}
.
תבנית:נבדק