מכפלה מעורבת

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מכפלה מעורבת (או מכפלה משולשת) היא פעולה הפועלת על שלושה וקטורים מהמרחב האוקלידי $\ \mathbb{R}^3$ ומחזירה סקלר. המכפלה המעורבת מהווה דטרמיננטה למטריצה במרחב האוקלידי $\ \mathbb{R}^3$ . בערך זה נדון בעיקר במכפלה המעורבת במרחב האוקלידי $\ \mathbb{R}^3$ וביישומיה בגאומטריה באנליזה וקטורית ובאלגברה לינארית.

[עריכה] הגדרה

יהי $\vec{a}=\left[\begin{array}{c} x_{1}\\ y_{1}\\ z_{1} \end{array} \right],\ \vec{b}=\left[\begin{array}{c} x_{2}\\ y_{2}\\ z_{2} \end{array} \right],\ \vec{c}=\left[\begin{array}{c} x_{3}\\ y_{3}\\ z_{3} \end{array} \right]\in \mathbb{R}^3$

המכפלה המעורבת היא המכפלה $\vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)$
כלומר, מכפלה סקלרית של הוקטור $\vec{a}$ במכפלה הווקטורית של הוקטורים $\vec{b},\vec{c}$ .

[עריכה] משמעות

תוצאת המכפלה המעורבת היא מספר אשר משמעותו הוא נפח המקבילון הבנוי על וקטורים $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ . נפח כאן הוא במשמעות שונה מעט מהמשמעות המקובלת שלו, כיוון שהערך של המכפלה המעורבת יכול להיות שלילי, בעוד שנפח נתפס לרוב כגודל חיובי בלבד. טיעון מדויק יותר הוא שהגודל של המכפלה המעורבת שווה לנפח המקבילון הנוצר על ידי שלושת הווקטורים. סימן המכפלה (חיובי או שלילי) נקבע לפי סדר הווקטורים, כלומר, אם השלשה $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ היא שלשה ימנית או שלשה שמאלית.

ניתן גם להסתכל על המכפלה המעורבת (ב $\mathbb{R}^3$ ) בתור הדטרמיננטה של המטריצה המורכבת מהוקטורים $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ . לכן, מתכונות הדטרמיננטה ברור כי

$\vec{a} \cdot \left( \vec{b} \times \vec{c} \right)= \vec{c} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right)= \vec{b} \cdot \left( \vec{c} \times \vec{a} \right)$