קרן גאוסיאנית

באופטיקה, קרן גאוסיאנית היא קרן של קרינה אלקטרומגנטית בה משרעת (אמפליטודה) השדה החשמלי ועוצמתו (ערך מוחלט של המשרעת בריבוע) מתפרשים על המרחב לפי התפלגות גאוס.

פרופיל של קרן גאוסיאנית: למעלה - מבט מכיוון התקדמות הקרן, למטה - מבט על פרופיל הקרן

תמונה של קרן לייזר בהספק של 5 mw בשדה רחוק. ניתן לראות בה את המוד השולט TEM00 שמתואר על ידי קרן גאוסיאנית.

מכשירי לייזר רבים פולטים קרניים גאוסיאניות, ובמקרה זה אומרים שהלייזר במוד הרוחבי הבסיסי "TEM₀₀ mode" של המהוד האופטי. כאשר קרן גאוסיאנית נשברת בעדשה, הקרן הגאוסיאנית נשברת לקרן גאוסיאנית אחרת (השונה בערכי הפרמטרים המאפיינים אותה מהקרן הנכנסת). תכונה זו הופכת את הקרן הגאוסיאנית לשימושית במיוחד, הן בניסויים והן בפיתוח מודלים תאורטיים עבור אופטיקה של לייזרים.

הפונקציה המתמטית שמתארת קרן גאוסיאנית היא פתרון לקירוב הפרקסיאלי (קירוב זוויות קטנות, בו בדרך כלל $\theta \approx \sin \theta \approx \tan \theta$) של משוואת הלמהולץ. הפתרון הוא גאוסיאן (הפונקציה המתארת את התפלגות גאוס), המייצג את המשרעת המרוכבת של השדה החשמלי, שמתקדם ביחד עם השדה המגנטי המתאים, כגל אלקטרומגנטי בקרן. כמו באופטיקה גאומטרית, גם קרן גאוסיאנית מתקדמת בקו ישר, אך בניגוד לגל מישורי לקרן גאוסיאנית יש רוחב סופי, שגדל ככל שהקרן מתקדמת ‏‏. קרן גאוסיאנית מהווה את הקרן הממוקדת ביותר שאפשר להפיק תאורטית, אך גם בה רוחב הקרן סופי - כלומר: יש גבול לכמה ניתן למקד קרן אופטית.

תיאור מתמטי

המשוואה

קרן גאוסיאנית היא הפתרון הבסיסי של משוואת הלמהולץ תחת הקירוב הפרקסיאלי.

משוואת הלמהולץ, הנובעת ממשוואת הגלים, היא

$\ \nabla^2 E(x,y,z) - n^2 \frac{\omega^2}{c^2} E(x,y,z) = 0$

(כאשר n הוא מקדם השבירה האופטי). מנחשים פתרון מהצורה

$\ E(x,y,z) = A(x,y,z) \exp{(-ikz)}$

(כאשר exp היא פונקציית האקספוננט) עם הקירוב הפרקסיאלי (קירוב זוויות קטנות) והקירוב של מעטפת משתנה לאט (כלומר: $\ \left| \frac{\partial^2 A}{\partial z^2} \right| << k \left| \frac{\partial A}{\partial z} \right|$) בסך הכל מקבלים שהמשוואה המקורבת היא

$\ \nabla_\perp^2 A - 2ik \frac{\partial A}{\partial z} = 0$

כאשר $\nabla_\perp^2$ הוא לפלסיאן בכיוון הניצב לכיוון התקדמות הקרן ו-i הוא מספר היחידה הדמיוני (i²=-1).

הפתרון

עבור קרן גאוסיאנית המתקדמת בכיוון ציר z, המשרעת המרוכבת של השדה החשמלי נתונה על ידי

$E(r,z) = E_0 \frac{w_0}{w(z)} \exp \left( \frac{-r^2}{w^2(z)}\right) \exp \left( -ikz -ik \frac{r^2}{2R(z)} +i \zeta(z) \right)\$

כאן

• $r=\sqrt{x^2 + y^2}$ הוא המרחק הרדיאלי ממרכז הקרן,
• $z$ הוא המרחק מהנקודה הצרה ביותר של הקרן (ה"מותניים" "waist"),
• $i$ הוא היחידה המדומה המקיים $i^2 = -1$,
• $k = { 2 \pi \over \lambda }$ הוא מספר הגל (ביחידות רדיאנים למטר),
• $\ E_0 = |E(0,0)|$,
• $\ w(z)$ הוא הרדיוס בו המשרעת והעוצמה יורדות ל-$\ 1/e$ ו-$\ 1/e^2$ בהתאמה, מהערך במרכז הקרן,
• $\ w_0 = w(0)$ הוא רדיוס ה"מותניים" (האזור הצר ביותר בקרן, ראו הרחבה בהמשך).

הפונקציות $\ w(z)$ (רוחב הקרן), $\ R(z)$ (רדיוס העקמומיות של הקרן) ו-$\ \zeta(z)$ (מופע/פאזה) הם פרמטרים שמאפיינים את הקרן הגאוסיאנית ויוגדרו בהמשך.

עוצמת הקרן , ממוצעת על פני הזמן, היא

$I(r,z) = { |E(r,z)|^2 \over 2 \eta } = I_0 \left( \frac{w_0}{w(z)} \right)^2 \exp \left( \frac{-2r^2}{w^2(z)} \right)\ ,$

כאשר $\ I_0 = I(0,0)$ היא עוצמת הקרן במרכז בגובה ה"מותניים" (z=0). הקבוע $\eta \,$ הוא העכבה האופיינית של התווך בו נמצאת הקרן. עבור ריק $\eta = \eta_0 \approx 377 \ \mathrm{\Omega}$.

פרמטרים של קרן גאוסיאנית

קרן גאוסיאנית עם רוחב $\ w(z)$ כפונקציה של המרחק z בציר ההתקדמות, $w_0$ עובי הקרן ב"מותניה", b עומק המוקד, $z_R$ טווח ריילי, $\Theta$ התבדרות זוויתית.

הגאומטריה וההתנהגות של קרן גאוסיאנית נשלטת על ידי קבוצה של פרמטרים, הנקראים beam parameters. פרמטרים אלה מתוארים להלן.

רוחב הקרן

עבור קרן גאוסיאנית המתקדמת בריק, גודל הנקודה שיוצרת הקרן, שנקרא גם "רוחב הקרן", $\ w(z)$ יקבל ערך מינימלי $\ w_0 = w(0)$ בנקודה כלשהי לאורך ציר הקרן. נקודה זו, בה רוחב הקרן מזערי נקרא ה"מותניים" של הקרן (באנגלית: beam waist). עבור קרן גאוסיאנית עם אורך גל $\lambda$ במרחק z מהמותניים, השינוי ברוחב הקרן נתון על ידי

$w(z) = w_0 \, \sqrt{ 1+ {\left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right)}^2 }$

כאשר ראשית הצירים מוגדרת להיות במרכז הקרן במותניה, ו-z נמדד ממותני הקרן. כמו כן,

$z_\mathrm{R} = \frac{\pi w_0^2}{\lambda}$

נקרא טווח ריילי.

טווח ריילי והפרמטר הקונפוקלי

במרחק z ממותני הקרן השווה לטווח ריילי $z_R$, רוחב הקרן הוא

$w(\pm z_\mathrm{R}) = w_0 \sqrt{2} \,$

המרחק בין שתי הנקודות הללו נקרא "הפרמטר הקונפוקלי (confocal parameter) או "עומק המוקד" (depth of focus) של הקרן:

$\ b = 2 z_\mathrm{R} = \frac{2 \pi w_0^2}{\lambda}$

רדיוס עקמומיות

$\ R(z)$ הוא רדיוס העקמומיות של חזיתות הגל המרכיבות את הקרן. ערך הרדיוס זה תלוי במידת ההתקדמות של הקרן לאורך ציר z ונתון על ידי

$\ R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_\mathrm{R}}{z} \right)}^2 } \right]$

התבדרות הקרן

הפרמטר $\ w(z)$ שואף לקו ישר עבור $z \gg z_\mathrm{R}$. הזווית בין קו ישר זה לציר הקרן (ציר z) נקרא "התבדרות" (divergence) הקרן. הוא נתון על ידי

$\theta \simeq \frac{\lambda}{\pi w_0} \qquad (\theta \mathrm{\ in\ radians})$

ההתבדרות הזוויתית הכוללת של הקרן נתונה על ידי

$\Theta = 2 \theta\$

כלומר, פעמיים זווית הסטייה מהציר.

בגלל תכונה זו, קרן גאוסיאנית הממוקדת לנקודה קטנה מתבדרת ומתפשטת במהירות כשהיא מתקדמת הרחק ממותניה. כדי לשמור קרן לייזר מאוד ממוקדת, היא חייבת להיות בעלת קוטר גדול. היחס בין רוחב הקרן להתבדרותה נגרם עקב עקיפה (diffraction). גם קרניים לא-גאוסיאניות מציגות אפקט דומה, אך קרן גאוסיאנית עם מקרה פרטי ומיוחד בו מכפלת הרוחב וההתבדרות היא הקטנה ביותר שאפשר.

מאחר שהמודל של קרן גאוסיאנית משתמש בקירוב הפרקסיאלי, הוא נופל ונכשל כאשר חזיתות הגל מוטות ביותר מכ-30 מעלות מכיוון התקדמות הקרן. מהביטוי לעיל עבור התבדרות הקרן נובע שהמודל המתמטי עבור קרן גאוסיאנית תקף רק כאשר מותני הקרן גדולים מ-$2 \lambda / \pi$.

האיכות של קרן לייזר נמדדת באופן כמותי באמצעות מכפלת פרמטר הקרן (beam parameter product, בקיצור BPP). עבור קרן גאוסיאנית, ה-BPP היא מכפלת התבדרות הקרן ברוחב מותניה $w_0$. ערך ה-BPP של קרן אמיתית נמצא על ידי מדידת הקוטר המינימלי של הקרן והתבדרותה בשדה הרחוק, ואז ביצוע מכפלת שני המספרים. היחס בין ה-BPP של הקרן האמיתית לבין BPP של קרן גאוסיאנית באותו אורך גל מסומן כ-M² (מבוטא "M squared"). הערך של M² עבור קרן גאוסיאנית הוא 1. לכל שאר קרני הלייזר המופקות בפועל מלייזר, הגודל M² גדול מ-1, אך עבור קרניים איכותיות קרוב מאוד ל-1.

מופע גוי

"פיגור המופע הרוחבי" (longitudinal phase delay), או "מופע גוי" (Gouy phase') הוא

$\zeta(z) = \arctan \left( \frac{z}{z_\mathrm{R}} \right) \ .$

זהו המופע (פאזה) של הקרן הגאוסיאנית.

פרמטר הקרן המרוכב

פרמטר הקרן המרוכב מוגדר על ידי

$\ q(z) = z + q_0 = z + iz_\mathrm{R}$

והוא מספר מרוכב המשמש לתיאור קומפקטי של קרן גאוסיאנית.

יותר נוח בדרך כלל לעבוד עם ההפכי שלו

${ 1 \over q(z) } = { 1 \over z + iz_\mathrm{R} } = { z \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } - i { z_\mathrm{R} \over z^2 + z_\mathrm{R}^2 } = {1 \over R(z) } - i { \lambda \over \pi w^2(z) }$

כאשר $\ w(z)$ הוא רוחב הקרן ו-$\ R(z)$ הוא רדיוס העקמומיות שלה, כפי שהוגדרו לעיל.

פרמטר הקרן המרוכב ממלא תפקיד מרכזי בניתוח התקדמותה של קרן גאוסיאנית, בייחוד בניתוח של חלל מהוד אופטי באמצעות חשבון מטריצות ABCD.

במונחי פרמטר הקרן המרוכב q, השדה הגאוסיאני בממד אחד הניצב לציר z מתכונתי ל-

${u}(x,z) = \frac{1}{\sqrt{{q}_x(z)}} \exp\left(-i k \frac{x^2}{2 {q}_x(z)}\right)$.

ב-2 ממדים ניתן לכתוב קרן בעלת חתך אליפטי כמכפלה

${u}(x,y,z) = {u}(x,z)\, {u}(y,z)$,

שעבור המקרה הנפוץ של סימטריה מעגלית, בה ${q}_x = {q}_y = {q}$ and $x^2 + y^2 = r^2$ נותן

${u}(r,z) = \frac{1}{{q}(z)}\exp\left( -i k\frac{r^2}{2 {q}(z)}\right)$.

זהו תיאור קומפקטי של קרן גאוסיאנית.

הספק ועוצמה

הספק דרך צמצם

ההספק P שעובר דרך צמצם או מפתח עגול ברדיוס דרך מישור הניצב לכיוון התקדמות הקרן הגאוסיאנית, כתלות במיקום הצמצם z ביחס ל"מותני" הקרן, הוא

$P(r,z) = P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]\ ,$

כאשר

$P_0 = { 1 \over 2 } \pi I_0 w_0^2$

הוא ההספק הכולל של הקרן.

עבור מפתח בעל רדיוס $r = w(z) \,$, החלק היחסי של ההספק שמועבר הוא

${ P(z) \over P_0 } = 1 - e^{-2} \approx 0.865\$

כדי ש-95% מההספק יעברו דרך המפתח, על רדיוסו להיות באורך $r = 1.224\cdot w(z) \,$.

עוצמה

את עוצמת השיא של קרן גאוסיאנית במרחק z מה"מותניים" ניתן לחשב באמצעות כלל לופיטל כגבול של ההספק הכלוא בתוך עיגול ברדיוס r חלקי שטח העיגול (שהוא $\pi r^2$):

$I(0,z) =\lim_{r\to 0} \frac {P_0 \left[ 1 - e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {\pi r^2} = \frac{P_0}{\pi} \lim_{r\to 0} \frac { \left[ -(-2)(2r) e^{-2r^2 / w^2(z)} \right]} {w^2(z)(2r)} = {2P_0 \over \pi w^2(z)}.$

אנו רואים, אם כן, שעוצמת השיא פעמיים העוצמה הממוצעת (אותה מחשבים על ידי סך ההספק חלקי השטח הכלוא בעיגול ברדיוס $\ w(z)$.

התקדמות במרחב במערכת אופטית

התקדמות של קרן גאוסיאנית במרחב, בתווך אופטי או דרך אלמנט אופטי ניתן לתאר על ידי השינוי בפרמטר הקרן המרוכב q, או ליתר דיוק בהפכי שלו, כאשר הוא מחושב לפי חשבון מטריצות ABCD (נקראות גם "Ray transfer matrix analysis"). בשיטה זו, הפרמטר 'q אחרי האלמנט האופטי מתואר על ידי

$\ q' = \frac{Aq + B}{Cq+D}$

כאשר A,B,C,D הם פרמטרים התלויים במערכת האופטית ו-q הוא פרמטר הקרן המרוכב לפני האלמנט האופטי.

מרחב חופשי

עבור מרחב חופשי ההתקדמות של קרן מ-$z_1$ ל-$z_2$ מתוארת על ידי

$\ q' = q + (z_2 - z_1)$

ולכן $A=1, \ B = z_2 - z_1, \ C = 0, \ D =1$.

עדשה

עבור התקדמות דרך עדשה ניתן לחשב את התקדמות הקרן הגאוסיאנית לפי תכונות התנהגותה אחרי העדשה והעובדה שעדשה הופכת קרן גאוסיאנית לקרן גאוסיאנית אחרת. בפרט, רוחבי הקרניים על העדשה (אך משני צידיה) שווים

$\ z_R^\prime \left( 1 + (z'/z_R^\prime)^2 \right) = z_R \left( 1 + (z/z_R)^2 \right)$

ורדיוס העקמומיות שלה מקיים

$\ \frac{1}{R(z)} - \frac{1}{f} = \frac{1}{R'(z')}$

פתרון שתי המשוואות נותן

$\frac{1}{z + \frac{z_R^2}{z-f}} + \frac{1}{z'} = \frac{1}{f}$

מאחר ש- $\ Re(1/q) = 1/R(z)$ ניתן להראות שהשתנות הפרמטר המרוכב דרך עדשה נתונה על ידי

$\ \frac{1}{q'} = \frac{1}{q} - \frac{1}{f}$

או

$\ q' = \frac{fq}{f-q} = \frac{q}{-\frac{q}{f} +1}$

כלומר: $A=1, \ B = 0, \ C = \frac{-1}{f}, \ D = 1$.

מיקום הדמות בעדשה של קרן גאוסיאנית עם "מותניים" ב-$\ z_o$ נמצא ב-:

$\ z_i = \left( \frac{1}{f} - \frac{1}{z_o + \frac{z_R^2}{z_0-f}} \right)^{-1}$

ניתן לראות שעבור קרן ש"מותניה" נמצאים במוקד העדשה, "מותני" קרן הדמות יתקבלו במוקד מצידה השני של ההעדשה.

בנוסף, ההגדלה של קרן גאוסיאנית דרך עדשה היא

$\ M = \frac{w_0^\prime}{w_0} = \frac{1}{\sqrt{\left( 1 - \frac{z}{f} \right)^2 + \left( \frac{z_R}{f} \right)^2 }}$

מודים מסדר גבוה יותר

קרניים גאוסיאניות הן רק פתרון אחד אפשרי למשוואת הגלים הפרקסיאלית. ישנן מספר קבוצות של פתרונות אורתוגונליים (זה לזה) המשמשים לתאר קרני לייזר. במקרה הכללי, אם בסיס שלם של פתרונות נבחר, ניתן לתאר כל קרן לייזר כצירוף לינארי של פתרונות מבסיס. תכנון הלייזר קובע איזה בסיס של פתרונות הוא השימושי ביותר. במקרים מסוימים, ניתן לתאר את קרן הלייזר כמוד אחד יחיד מסדר-גבוה. אופני (אופן=מוד) הרמיט-גאוס הם הנפוצים ביותר, שכן מערכות לייזר רבות הן בעלות סימטריית שיקוף קרטזית במישור הניצב לגיוון התקדמות הקרן.

אופני הרמיט-גאוס

אופני הרמיט-גאוס הם תיאור נוח של קרן לייזר היוצאת מלייזר בו החלל הוא לא בעל סימטריה מעגלית, אלא יש הבחנה בין הכיוון האופקי לכיוון האנכי. במונחי פרמטר הקרן המרוכב q, התפלגות העוצמה במישור x-z פרופורציונלי ל-

${u}_n(x,z) = \left(\frac{2}{\pi}\right)^{1/4} \left(\frac{1}{2^n n! w_0}\right)^{1/2} \left( \frac{{q}_0}{{q}(z)}\right)^{1/2} \left[\frac{{q}_0}{{q}_0^\ast} \frac{{q}^\ast(z)}{{q}(z)}\right]^{(2n+1)/4} H_n\left(\frac{\sqrt{2}x}{w(z)}\right) \exp\left[-i \frac{k x^2}{2 {q}(z)}\right]$

כאשר $H_n(x)$ הוא פולינום הרמיט מסדר n (בצורת הפיזיקאים, כלומר: $H_1(x)=2x\,$), והכוכבית מסמלת צמוד מרוכב. עבור n=0 מקבלים התפלגות גאוסיאנית הניצבת לכיוון התקדמות הקרן.

עבור מערכת קרטזית דו-ממדית, ניתן לבנות פונקציה $\ {u}_{m,n}(x,y,z)=u_m(x,z) u_n(y,z)$ מהפתרונות לעיל. זה אפשרי מכיוון שניתן לפתור את משוואת הלמהולץ הפרקסיאלית באמצעות הפרדת משתנים. coordinates.

אופני הרמיט-גאוס מסומנית $\ \textrm{TEM}_{m,n}$ כאשר m ו-n הם סדרי הפולינומים (של הרמיט) בכיווני x ו-y בהתאמה. כמקרה פרטי, קרן גאוסיאנית היא המוד $\ \textrm{TEM}_{0,0}$

אופני לאגר-גאוס

אם מתארים את קרן הלייזר בקואורדינטות גליליות, אפשר לתאר את המודים מסדרים גבוהים על ידי פולינומי לאגר במקום על פולינומי הרמיט. אופני לאגר-הרמיט מתוארים על ידי המשוואה הבאה:

${u}(r,\theta,z)=\sqrt{\frac{2 p!}{\pi(m+p)!}} \frac{\exp\left(i (2 p + m + 1)(\psi(z) - \psi_0)\right)}{w(z)} \times \left(\frac{\sqrt{2}r}{w(z)}\right)^m L_p^m\left(\frac{2 r^2}{w(z)^2}\right) \exp\left[ -i k \frac{r^2}{2{q}(z)}+i m \theta\right],$

כאשר $L_p^m(r)$ הם פולינומי לאגר המוכללים עם אינדקס רדיאלי $p\ge 0$ ואינדקס אזימוטלי $m$.

אופני אינס-גאוס

בקואורדינטות אליפטיות ניתן לתאר את המודים מסדרים גבוהים באמצעות פולינומי אינס. אופני אינס-גאוס האי-זוגיים והזוגיים נתונים על ידי

$u\left( \varepsilon ,\eta ,z\right) = \frac{w_{0}}{w\left( z\right) }\mathrm{C}_{p}^{m}\left( i\xi ,\varepsilon \right) \mathrm{C} _{p}^{m}\left( \eta ,\varepsilon \right) \exp \left[ -ik\frac{r^{2}}{ 2q\left( z\right) }-\left( p+1\right) \psi _{GS}\left( z\right) \right] ,$

כאשר $\xi$ היא הקואורדינטה האליפטית הרדיאלית ו-$\eta$ היא הקואורדינטה האליפטית הזוויתית, והן מוגדרות מתמטית על ידי

$x = \sqrt{\varepsilon /2}w\left( z\right) \cosh \xi \cos \eta ,$

$y = \sqrt{\varepsilon /2}w\left( z\right) \sinh \xi \sin \eta ,$

${C}_{p}^{m}\left( \eta ,\varepsilon \right)$ הם פולינומי אינס הזוגיים מסדר p ומעלה m ואילו $\varepsilon$ הוא פרמטר האקסצנטריות של האליפסה. כמו כן $\psi _{GS}\left( z\right) =\arctan \left( z/z_\mathrm{R}\right)$ הוא מופע גוי.

אופני הרמיט-גאוס ואופני לאגר-גאוס הם מקרה פרטי של אופני אינס-גאוס עבור אקצנטריות ששווה לאינסוף ואפס בהתאמה.

אופני גאוס היפרגאומטריים

ישנה מחלקה נוספת של אופנים (מודים) פרקסיאליים בקואורדינטות קוטביות בהן המשרעת המרוכבת פרופורציונלית לפונקציה היפרגאומטרית. אופנים אלה הם בעלי פרופיל מופיע סינגולרי והם פונקציות עצמיות של התנע הזוויתי המסילתי של הפוטון. העוצמה של פרופיל הקרן מאופיין על ידי טבעת בוהקת אחת עם סינגולריות במרכזה, בה המשרעת מתאפסת. התפלגות הפרופיל מתוארת על ידי

$u_{pm}(\rho,\theta;\zeta)= \sqrt{\frac{2^{p+|m|+1}}{\pi\Gamma(p+|m|+1)}} \frac{\Gamma(1+|m|+\frac{p}{2})}{\Gamma(|m|+1)} \,\,i^{|m|+1}\zeta^{\frac{p}{2}}(\zeta+i)^{-(1+|m|+\frac{p}{2})}\rho^{|m|}e^{-\frac{i\rho^2}{(\zeta+i)}}e^{im\phi}{}_{1}F_{1}\left(-\frac{p}{2}, |m|+1;\frac{r^2}{\zeta(\zeta+i)}\right),$

כאשר m הוא מספר שלם, $p\ge-|m|$ הוא מספר ממשי, $\ \Gamma(x)$ היא פונקציית גאמה ו $\ {}_{1}F_{1}(a,b;x)$ היא הפונקציה ההיפרגאומטרית המתלכדת.

מספר תת-משפחות של אופני גאוס ההיפרגאומטריים (HyGG) ניתן לרשום כפונקציות בסל מותאמות (modified), כאקספוננטים מותאמים של מודים גאוסיאניים וכן פולינומי לאגר המותאמים. ברם, משפחת HyGG הם יותר משלמים (כלומר: ישנה יתירות של מודים ולא צריך את כל המשפחה כדי לפרוש את כל המרחב) ולא אורתוגונליים. למרות הפרופיל המסובך שלהם, למודי HyGG יש פרופיל די פשוט במישור הצמצם/מפתח,

$u(\rho,\phi,0) \propto \rho^{p+|m|}e^{-\rho^2+im\phi}$

וזה מסביר מדוע גל הבא מהולוגרמת קילשון (pitch-fork) הוא תת-משפחה של אופני HyGG. הפרופיל של מוד HyGG כאשר הקרן מתקדמת לאורך $\zeta$ הוא בעל שינויים משמעותיים ולא יציב מתחת לטווח ריילי.

לקריאה נוספת

• Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl (1991). Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.

• Mandel, Leonard and Wolf, Emil (1995). Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.

• Siegman, Anthony E. (1986). Lasers. University Science Books. ISBN 0-935702-11-3.  Chapter 16.

• Yariv, Amnon (1989). Quantum Electronics, 3rd, Wiley. ISBN 0-471-60997-8. 

קישורים חיצוניים

• F. Pampaloni and J. Enderlein (2004). "Gaussian, Hermite-Gaussian, and Laguerre-Gaussian beams: A primer". ArXiv:physics/0410021. 

• Miguel A. Bandres and Julio C. Gutierrez-Vega (2004). "Ince Gaussian beams". Opt. Lett. 29: 144–146. OSA. doi:10.1364/OL.29.000144. 

• E. Karimi, G. Zito, B. Piccirillo, L. Marrucci, and E. Santamato (2007). "Hypergeometric-Gaussian beams". Opt. Lett. 32: 3053–3055. OSA. doi:10.1364/OL.32.003053. 

• Gaussian Beam Propagation, Melles-Griot
• Gaussian Beam Optics Tutorial, Newport