תורת היחסות הפרטית

תורת היחסות הפרטית היא תאוריה מדעית פיזיקלית, מהפכנית בזמנה, שפותחה ופורסמה על ידי אלברט איינשטיין בשנת 1905 (שנת הפלאות). תורת היחסות באה לפתור את הסתירות שהתגלו בין המכניקה הקלאסית והתורה האלקטרומגנטית, והיא יוצאת מתוך שתי הנחות יסוד:

1. מהירות האור בוואקום היא קבועה בכל מערכת ייחוס.
2. חוקי הפיזיקה זהים בכל מערכות הייחוס.

אחת התוצאות המפתיעות הנובעות מהנחות אלו היא שאין זמן ומרחב מוחלטים – ככל שמערכת ייחוס נעה במהירות גבוהה יותר (עם מהירות האור כחסם עליון), ממד האורך של המערכת בכיוון התנועה מתכווץ ביחס לצופה נייח, והזמן המקומי שלה מתקדם לאט יותר מנקודת מבטו של אותו צופה. בשנת 1915 הרחיב אלברט איינשטיין את תורת היחסות על מנת להתמודד עם מושג התאוצה, ובכך יצר את תורת היחסות הכללית, אשר אחד ההישגים החשובים שלה הוא הסבר של כוח הכבידה מתוך התעקמות של המרחב-זמן. תורת היחסות הפרטית והכללית נענו בתגובות מעורבות של הקהילה המדעית לאחר פרסומם. בעוד מדענים חשובים כמו מקס פלאנק קיבלו את התורה בהתלהבות, רבים בקהילה הפיזיקלית שללו אותה מכול וכול. מסיבה זאת, כאשר הוחלט להעניק לאיינשטיין את פרס נובל לפיזיקה בשנת 1921, הפרס ניתן על ההסבר של האפקט הפוטואלקטרי ולא על תורת היחסות.

נקודת המפנה בקבלת תורת היחסות הייתה תצפית שנערכה בשנת 1919 על ידי משלחת שבראשה עמד ארתור אדינגטון שדיווחה שצפתה בהסטה במיקומם של כוכבים הנראית בזמן ליקוי חמה, שנובאה על ידי תורת היחסות הכללית. למעשה, תוצאות הניסוי לא היו חד משמעיות. פרסום הניסוי הפך את איינשטיין לדמות מוכרת ברחבי העולם. באופן דומה, הנוסחה E=mc², המבטאת את שקילות המסה והאנרגיה, שהיא אחת מהתגליות המפתיעות של תורת היחסות הפרטית, הפכה לסמל תרבות ומדע. כיום תורת היחסות מקובלת על הרוב המוחלט של הקהילה הפיזיקלית, מהווה אבן בסיס של הפיזיקה המודרנית, ותוצאותיה נבדקות בתחומים רבים.

הרקע לתורת היחסות

בסוף המאה ה-19 ניסח ג'יימס קלרק מקסוול את חוקי ההתפתחות של שדות חשמליים ומגנטיים, הקרויים היום על שמו. בין התוצאות החשובות של חוקים אלו היה גילוי קיומם של גלים אלקטרומגנטיים – גלים המבוססים על שדות חשמליים ומגנטיים המתנדנדים בזמן. בכך הצליח מקסוול לראשונה להסביר את האור, ואת מדע האופטיקה באמצעות חשמל ומגנטיות. חוקים אלו, שהתווספו על חוקי התנועה של ניוטון ועל חוקי התרמודינמיקה, הביאו מדענים רבים בסוף המאה ה-19 לחשוב שהפיזיקה מצאה את כל החוקים היסודיים של הטבע. ואולם מספר מדענים העירו שישנה בעיה בשילוב של חוקי מקסוול והמכניקה הניוטונית.

קרינה אלקטרומגנטית ומדידת מהירות האור

על פי המכניקה הקלאסית, כל גל מתקדם בתווך מסוים ומהירות ההתקדמות שלו (שנקבעת על פי משוואת הגלים) נמדדת ביחס לתווך. במאה ה-19 סברו שהאור נע בתווך שכונה "אתר", שהיה עשוי מחומר דק הממלא את כל היקום.

בשנת 1887 ביצעו הפיזיקאי אלברט אברהם מייקלסון ועמיתו אדוארד מורלי את הניסוי המפורסם – ניסוי מייקלסון-מורלי. מטרתם הייתה לבדוק את מהירות כדור הארץ באתר. מטרתם לא הייתה להוכיח או להפריך את קיום האתר, משום שקיומו נחשב במאה ה-19 לעובדה מדעית שמעטים פקפקו בה. כדי למדוד את מהירות כדור הארץ הם השתמשו בשיטה אופטית-התאבכותית הידועה בשם "אינטרפרומטריה". הרעיון מאחורי הניסוי היה לצרף שתי קרני אור, אשר אחת מהם נעה בכיוון התקדמות כדור הארץ, ואחת מהם נעה בניצב אליו. בהנחה שהאור מתקדם באתר ושכדור הארץ נע ביחס אליו, צריך להיות הבדל במהירות של אותן שתי קרניים, והאינטרפרומטר של מייקלסון מורלי היה רגיש מספיק בשביל למדוד הבדל זה. ממדידת ההבדל ניתן היה, לפי הנחתם, להסיק את מהירות כדור הארץ.

אולם, תוצאות הניסוי העלו שמהירות האור שנמדדה בשני הכיוונים הייתה זהה. תוצאה זו זכתה לפרשנויות שונות. מייקלסון ומורלי סברו שהמכשור לא היה רגיש דיו, וניסו לחזור על הניסוי בווריאציות שונות, ואילו הפיזיקאים הנדריק לורנץ וג'ורג' פיצג'רלד הציעו ב-1892 כי הגופים הנעים מתכווצים בכיוון התנועה באתר, השערה הדומה מאוד לעקרונות היחסות שיתגלו בהמשך. לאחר שאיינשטיין פרסם בשנת 1905 את תורת היחסות הפרטית, פורש ניסוי מייקלסון-מורלי בדיעבד כאישוש שלה וכהפרכת קיומו של האתר, על אף שבשעתו הוא לא נתפס כך כלל. אף על פי כן, היו שהמשיכו להתנגד לה, כמו הפיזיקאי האמריקאי דייטון מילר (1866–1941) שהמשיך לבצע שחזורים של ניסוי מייקלסון-מורלי באמצעים מדויקים יותר עד אמצע שנות השלושים, ואף פרסם ממצאים שמדדו, לטענתו, שינוי במהירות האור ביחס לאתר, ובכך הפריכו לכאורה את תורת היחסות. אולם בשלב זה תורת היחסות הייתה מקובלת היטב והקהילה המדעית איבדה ברובה עניין בניסוייו.

ייתכן כי איינשטיין התוודע לניסוי מייקלסון מורלי ולתוצאותיו מתוקף היותו סטודנט לתואר ראשון לפיזיקה. מיתוס היסטורי נפוץ מתייחס לכישלונם של מייקלסון ומורלי למדוד שינוי במהירות האור ביחס לתנועת כדור הארץ באתר כגורם העיקרי שהביא את איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הפרטית. אולם ככל הנראה הוא שגוי או לכל הפחות מוגזם. איינשטיין לא הזכיר את הניסוי במאמרו משנת 1905, שם פיתח את תורת היחסות הפרטית משיקולים תאורטיים טהורים. מידת השפעתו של ניסוי מייקלסון-מורלי על איינשטיין שנויה במחלוקת בקרב היסטוריונים של המדע, אף כי בכל מקרה מקובל לחשוב שהיא פחותה ממה שהנרטיב המקובל מניח.

א-סימטריה בתורת האלקטרומגנטיות

במאמר שפרסם על יחסות פרטית, שנקרא "על האלקטרודינמיקה של גופים נעים", כתב איינשטיין שהמניע אשר דחף אותו לפתח את התורה היה חוסר הסימטריה שביסודה של תופעה אלקטרומגנטית בסיסית. מדובר בתופעה שבה תנועה יחסית בין מוליך לשדה מגנטי יוצרת זרם חשמלי במוליך. לתופעה זו הציעה האלקטרומגנטיות הקלאסית שני הסברים שונים לחלוטין:

1. אם המוליך זז ביחס לשדה, הרי שהמטענים נעים במהירות כלשהי ולכן פועל עליהם כוח לורנץ הגורם להם לנוע בתוך המוליך ובכך יוצר זרם.
2. אם השדה המגנטי משתנה ביחס למוליך, אזי השטף המגנטי שדוגם המוליך משתנה, ולפי חוק פאראדיי נוצר כוח אלקטרו-מניע במוליך שגורם למטענים לנוע כזרם.

איינשטיין לא היה מוכן להשלים עם אי-הסימטריה לעיל אשר מספקת הסברים שונים לחלוטין לתופעה אחת.

ניסיונו למצוא הסבר אסתטי וסימטרי לתופעה היה אחד ממניעיו לפיתוח תורת היחסות. איינשטיין הבין ששורש הבעיה מצוי בכך שמושגים כמו מרחב וזמן לא הוגדרו היטב.

עקרונות תורת היחסות

בבסיס ההסבר שנתנה תורת היחסות הפרטית לתופעות שנידונו לעיל עומדים שני עקרונות יסוד:

1. עקרון היחסות:

   חוקי הפיזיקה אינם משתנים כאשר עוברים ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. כך לדוגמה, אדם הנמצא בקרון רכבת אטום לא יכול באמצעות שום ניסוי או מדידה פיזיקלית לקבוע האם הקרון נע במהירות קבועה או ניצב במנוחה.

2. אינווריאנטיות מהירות האור:

   מהירות האור (c) קבועה לכל צופה, בלא תלות במהירות היחסית שלו (v) ביחס לגוף שפלט את האור, או במהירות שלו ביחס לכל גוף אחר.

באמצעות דרישות אלה הסביר איינשטיין כיצד להגדיר את המרחב והזמן כך שבאמצעות סנכרון שעונים הגדיר מחדש את המושג של סימולטניות ("בו-זמניות"). מהניתוח שביצע איינשטיין עולה שהסימולטניות היא לא גודל שנשמר בין מערכות ייחוס אינרציאליות הנעות במהירויות שונות. כלומר: שני צופים הנמצאים בתנועה יחסית ביניהם, ומודדים את אותו צמד אירועים, עשויים שלא להסכים ביניהם בשאלה האם אירועים אלו התרחשו בו זמנית. מדרישות אלה ומעקרון הלוקליות גזר איינשטיין את טרנספורמציות לורנץ שהחליפו את טרנספורמציית גליליי ככלי מדויק לתרגם גדלים פיזיקליים במעבר בין מערכות ייחוס שונות. עם זאת, במהירויות נמוכות בהרבה ממהירות האור טרנספורמציית גליליי מנבאת תוצאות בדיוק טוב מאוד, כך שניתן להתייחס אל טרנספורמציית גלילי כקירוב של טרנספורמציית לורנץ בגבול מהירויות נמוכות $v\ll c$.

תורת היחסות הפרטית מטפלת רק במערכות ייחוס אינרציאליות, כלומר מערכות ייחוס הנעות זו ביחס לזו במהירות קבועה. על אף שאפשר לדבר בתורה על תאוצה כגודל קינמטי, הטרנספורמציות בין מערכות ייחוס נעשות רק בין שתי מערכות אינרציאליות זו לזו. שילוב מערכות ייחוס מואצות (כגון למשל מערכת ייחוס מסתובבת) איננו דבר פשוט ובעיה קשה זו מצאה פתרון שלם רק ב-1915 – כאשר איינשטיין ניסח את תורת היחסות הכללית, שמהווה הכללה לתורת היחסות הפרטית ומטפלת גם במערכות מואצות כאשר היא מזהה תאוצה עם שדה כבידה.

הזמן על פי תורת היחסות

מהו זמן ואיך מודדים אותו

בשלב הראשון, ניגש איינשטיין לטפל בזמן וניתח מה הוא בדיוק ה"זמן" שאנו מודדים. ראשית, איינשטיין פתר את המקרה הפשוט שבו מודד הזמן נמצא באותו מקום בו קרה האירוע.

"הרכבת הגיעה בשעה שבע" – כלומר, האירוע שבו הרכבת הגיעה לתחנה התרחש בו-זמנית במערכת הייחוס של התחנה יחד עם האירוע שבו השעון של המודד, הנמצא נייח בתחנה, הראה את השעה 7.

בשלב השני בחן איינשטיין את השאלה: "מה קורה אם האירועים אינם קורים באותו מקום?" במקרה זה, יש להכין את מערכת המדידה מראש.

נניח שבדוגמה שלנו, מודד הזמן נמצא מחוץ לתחנה וכן נניח שיש ברשותו אמצעי להעברת מידע במהירות האור בין התחנה אליו. כדי למדוד מתי הגיעה הרכבת עליו להכין שני שעונים (אחד בתחנה ואחד אצלו) וכן למדוד את המרחק בין התחנה אליו (נניח שמרחק זה הוא L). כעת, כאשר הרכבת מגיעה לתחנה, השעון שבתחנה שולח אות במהירות האור אל המודד. אם השעון בתחנה יראה 7 בעת הגעת הרכבת, השעון של המודד יראה $7^{\underline {00}}+{\frac {L}{c}}$ . כדי לדעת מתי הגיעה הרכבת עליו לקזז משעונו את הזמן שלקח למידע להגיע. כך פתר איינשטיין את בעיית הזמן גם עבור אירועים שאינם קורים באותו מקום.

מהניתוח לעיל, עולה שכדי לקבל מדידה אחידה עבור צופים במרחקים שונים, בכל מקום יש לסנכרן את השעונים כך שהמחוג יקזז את הזמן שלוקח למידע להגיע (בדוגמה שלנו: המודד צריך לכוון את השעון שלו ${\frac {L}{c}}$ זמן אחורה כדי שגם השעון שלו יראה שהרכבת הגיעה ב־7 לתחנה, כמו שהשעון בתחנה מראה). באופן תאורטי אידיאלי, בכל מקום במרחב יש שעון מסונכרן כזה.

אולם, מסתבר שבעיית סנכרון השעונים איננה פשוטה כל כך. בשביל לסנכרן שני שעונים יש לשלוח קרן אור משעון A לשעון B, לתת לקרן לחזור ולמדוד את משך הזמן שלקח לה לחזור, באופן מתמטי – אם קרן האור יצאה ב־$t_{a}$ וחזרה בזמן $t_{b}$ אזי $t_{b}-t_{a}={\frac {2L}{c}}$ .

כעת, זה מפתה לומר שהזמן שלוקח לאור לטייל מ־A ל־B הוא ${\frac {t_{b}-t_{a}}{2}}$ (מטעמי סימטריה) אבל אין שום ערובה ניסיונית לכך שזה אכן המצב. למעשה, נוכל לקבוע שבכיוון אחד לקח לאור להגיע רק ${\frac {t_{b}-t_{a}}{3}}$ זמן לעבור, ולא נוכל להפריך זאת בניסוי כי הזמן במקומות שונים מוגדר באמצעות הגודל שאותו אנו רוצים למדוד, ואי אפשר למדדו בלי הגדרה טובה של הזמן במקומות שונים. דבר זה קשה להבנה וקשור לתפיסה האקטואליסטית הקאנטיאנית שהיוותה השראה לאיינשטיין בעת ניסוח התאוריה. ברם, בגלל עקרון היחסות, בחר איינשטיין באפשרות הטבעית, $\Delta t={\frac {L}{c}}={\frac {t_{b}-t_{a}}{2}}$, אך במאמרו הדגיש שבחירה זו היא "בחירה שרירותית" ומהווה בעצם "עניין של הגדרה".

בתגובה לניתוח העמוק והמסובך לעיל העיר הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן בבדיחות ש"איינשטיין בעצם גילה שאת הזמן מודדים עם שעון".

לאחר הגדרת מושג הזמן בכל נקודה במרחב, כך שבכל מקום במרחב מונח שעון כשכל השעונים מסונכרנים, ניתן לבחון כיצד תלוי קצב תקתוקו של השעון במהירות התנועה של מערכת הייחוס שבה הוא נמצא.

שעון במערכת הנעה במהירות קבועה והתארכות הזמן

על פי תורת היחסות, זמן אינו גודל מוחלט, אלא תלוי במערכת ייחוס. כלומר, אצל צופה אחד הזמן יעבור במהירות שונה מהזמן אצל צופה שני, הנע ביחס לראשון. ככל שמתקרבים למהירות האור, היחס שואף לאינסוף, ועל כן, מנקודת המבט של הצופה, הזמן בגוף הנע ביחס אליו במהירות האור עומד מלכת.

נניח ש-$\Delta \tau$ (זמן עצמי) הוא פרק הזמן בין שני תקתוקי שעון במערכת שבה שני תקתוקי השעון קורים באותו מקום – "המערכת הנייחת" (מתוארת באיור הימני). נניח ש-$\Delta T_{r}$ הוא פרק הזמן העובר בין שני תקתוקים כאשר שני התקתוקים קרו במקומות שונים, עקב תנועת מערכת הייחוס במהירות קבועה $v$ ביחס למערכת הנייחת, בניצב לכיוון התקדמות האור (מתוארת באיור השמאלי).

איור הממחיש את התארכות הזמן. המערכת באיור הימני נקראת "המערכת הנייחת" ולזמן הנמדד בה קוראים "הזמן העצמי". המערכת באיור השמאלי נעה במהירות קבועה $v$ בניצב לכיוון התקדמות קרן האור.

לפי תורת היחסות, הקשר שיתקיים ביניהם הוא:

$\Delta T_{r}={\frac {\Delta \tau }{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

או

$\Delta T_{r}={\gamma }{\Delta \tau }\quad ,\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

כאשר $\tau$ הוא הזמן העצמי (הזמן במערכת ייחוס שבה שני האירועים מתרחשים באותו מקום, "המערכת הנייחת") ו־$T_{r}$ הוא הזמן במערכת ייחוס הנעה במהירות $v$ ביחס אליה. $c$ היא מהירות האור. הזמן העצמי הוא גודל אינווריאנטי בתורת היחסות. ניתן לראות כי כאשר $v\to c$, אזי $\Delta T_{r}$ שואף לאינסוף. תופעה זו ידועה בשם "התארכות הזמן" (Time dilation). כלומר, ככל שהצופה נע במהירות גבוהה יותר ביחס למערכת הייחוס, כך השעון שלו מתקתק לאט יותר. במהירויות השואפות למהירות האור, ייקח לשעונו של הצופה הנע זמן אינסופי להשלים תקתוק שני, ולכן ידמה לו כאילו הזמן עומד מלכת.

בשעון הכוונה היא לכל מערכת פיזיקלית המשתנה בזמן (אם המערכת היא בעלת התנהגות מחזורית היא יכולה לשמש כשעון לכל צורך מעשי). גם לב האדם, הפועם בקצב קבוע הוא סוג של שעון, ומאחר שגם פעילותו הגופנית והמנטלית של הצופה הנע ביחד עם המערכת מאטות ביחד עם השעון, הוא לא ירגיש בהאטת הזמן.

תוצאה מעניינת מהמסקנות לעיל היא פרדוקס התאומים, ניסוי מחשבתי שבו תאום אחד נשלח לחלל במהירות גבוהה מאוד וכאשר הוא חוזר לכדור הארץ הוא מגלה שאחיו הזדקן מאוד, בעוד שהוא נותר צעיר. הסיבה לאי-הסימטריה בין שני התאומים נעוצה בכך שאחד מהם שינה בפועל את מהירותו (כאשר הוא הסתובב לחזור בחזרה אל עבר כדור הארץ) ובכך ביצע "קפיצה" בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות שונות ביחס לתאום שבכדור הארץ.

פרדוקס מעניין אחר הוא פרדוקס הסולם והאסם שמראה סימטריה בין שתי מערכות ייחוס אינרציאליות והיחסיות של הסימולטניות.

תורת האינווריאנטים

בניגוד למה שניתן להבין משמה, תורת היחסות לא קובעת שהכל יחסי, אלא מנסה למצוא אינווריאנטים של הטבע, כלומר: גדלים שלא משתנים תחת מעבר בין מערכת ייחוס אינרציאלית אחת למערכת ייחוס אינרציאלית אחרת. איינשטיין יצא מהדרישה שחוקי הפיזיקה הם אינווריאנטים כאלה. גדלים פיזיקליים שנשמרים תחת מעבר זה נקראים גם "אינווריאנטים לורנץ" כי הם נשמרים תחת טרנספורמציות לורנץ. דוגמאות לאינווריאנטים הן:

1. מהירות האור – תימדד כ־$c$ בכל מערכת ייחוס.
2. האינטרוול (ריבוע הזמן העצמי) - $ds^{2}=c^{2}(d\tau )^{2}=c^{2}dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})=(c\ dt)^{2}-(d{\vec {r}}\cdot d{\vec {r}})$ ובפרט, גם הזמן העצמי הוא אינווראנטי לורנץ.
3. פאזת גל אלקטרומגנטי.
4. מסת מנוחה.

דיאגרמת זמן וקונוס האור

תיאור סכמטי של המרחב־זמן עבור ממד מרחבי אחד (ציר ה־x, כאן הוא אופקי) וממד הזמן (ציר ה־t, כאן הוא אנכי).

דיאגרמת זמן (נקראת גם "גרף t-x") הוא דרך פופולרית וטובה לתאר את המרחב-הזמן היחסותי. גרף זה מורכב מציר אופקי x המתאר את המרחב (הצמצום לממד מרחבי אחד נעשה מטעמי פשטות ונוחות השרטוט) ומציר אנכי t המתאר את הזמן.

להלן הסברים על הגרף ומשמעות רכיביו:

• הקווים המקווקווים הם היפרבולות האינטרוול. על כל היפרבולה שכזו, האינטרוול ds² הוא קבוע.
• הקווים האדומים ידועים בשם "קונוס האור" והם מייצגים גופים (B) שנעים במהירות האור.
• התחום שבתוך הקונוס מעל הראשית (קונוס העתיד) הוא התחום של כל המאורעות (A) שעליהם המאורע בראשית יכול להשפיע, התחום שבתוך הקונוס ומתחת לראשית (קונוס העבר) הוא תחום כל המאורעות שיכלו להשפיע (D) על המאורע בראשית O.
• כל התחום הלבן שמחוץ לקונוס האור מכיל מאורעות שלא יכולים להשפיע או להיות מושפעים מהמאורע בראשית (הם נקראים "מופרדים מרחבית"). הסיבה לכך היא שאם הם יכלו להיות מושפעים מהמאורע בראשית עקרון הסיבתיות היה מופר, שכן טרנספורמציית לורנץ – המזיזה נקודות לאורך היפרבולת האינטרוול שלהן – תוכל להעביר את המאורעות (למשל את C) למערכת ייחוס אחרת שבה C התרחש לפני O.
• הזמן $t_{p}$ מציין את הזמן העצמי לאורך היפרבולת האינטרוול.

מרחב מינקובסקי

בעזרתו של המתמטיקאי הרמן מינקובסקי ניסח איינשטיין את תורת היחסות באמצעות חשבון טנזורים במרחב היפרבולי של 4-וקטורים, הקרוי מרחב מינקובסקי. מרחב זה נקרא גם ה"מרחב-זמן" של מינקובסקי.

הגדרות קינמטיות יסודיות

במרחב זה, מאורע פיזיקלי מתואר כ־4-וקטור, המכונה "4-וקטור האירוע" או "4-וקטור המקום", המוגדר בנוסחה

$x^{\mu }=(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):=(ct,x,y,z)$

כלומר, יש בו רכיב זמן (האיבר הראשון) ורכיב מרחב (שלושת האיברים הבאים). זאת, כיוון שלצורך תיאור מאורע פיזיקלי יש לציין לגביו ארבעה פרטים: הזמן בו התרחש ושלוש קואורדינטות בלתי־תלויות של המקום בו התרחש.

המטריקה של מרחב מינקובסקי (המטריצה המגדירה את המכפלה הסקלרית במרחב) מוגדרת כמטריצה האלכסונית,

$\eta ={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

באמצעות הסכם הסכימה של איינשטיין, מקובל לסמן: : $a^{\mu }b_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}{a^{\mu }b_{\mu }}=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}=a^{0}b^{0}-\left(a^{1}b^{1}+a^{2}b^{2}+a^{3}b^{3}\right)$

לשורש המכפלה של וקטור בעצמו לפי המטריקה, קוראים ה"נורמה" של הווקטור (אף על פי ש"נורמה" זו עשויה להיות שלילית). מההגדרה לעיל, נובע כי ריבוע הנורמה של 4-וקטור המקום הוא

$x^{\mu }\eta _{\mu ,\nu }x^{\nu }=x^{\mu }x_{\mu }=(x^{0})^{2}-(x^{1})^{2}-(x^{2})^{2}-(x^{3})^{2}=c^{2}t^{2}-{\vec {r}}\cdot {\vec {r}}=(ct)^{2}-r^{2}$

זהו האינטרוול של הווקטור x, והוא אינווריאנטה בתורת היחסות.

בניסוח זה, ניתן לייצג את המעבר בין מערכות ייחוס אינרציאליות (על ידי סיבוב או boost) באמצעות טרנספורמציות לורנץ, שהן טרנספורמציות ליניאריות (מטריצות) השומרות על המטריקה (המוגדרת, כאמור, על ידי תבנית ריבועית) תחת דמיון מטריצות).

וקטור A מופרד זמנית מהראשית, וקטור B מופרד אורית ממנה, ווקטור C מופרד ממנה מרחבית

גם 4-וקטור ההפרש בין שני 4-וקטורי מאורע הוא 4-וקטור, ולעיתים קרובות הוא שימושי יותר מאשר 4-וקטור המאורע.

נהוג למיין 4-וקטורים לפי הסימן של האינטרוול (ראו איור):

• $A^{\mu }A_{\mu }>0$, ואומרים ש־A הוא דמוי־זמן (timelike). שני מאורעות שההפרש ביניהם דמוי־זמן נקראים מופרדים זמנית, ואז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו מקום, וקשר סיבתי אפשרי בין מאורעות כאלה.
• $B^{\mu }B_{\mu }=0$, ואומרים ש־B הוא דמוי־אור (lightlike או null). שני מאורעות שההפרש ביניהם דמוי־אור נקראים מופרדים אורית, וקשר סיבתי בין שני המאורעות אפשרי רק על ידי השפעות הנעות במהירות האור
• $C^{\mu }C_{\mu }<0$, ואומרים ש־C הוא דמוי־מרחב (spacelike). שני מאורעות שההפרש ביניהם דמוי־מרחב נקראים מופרדים מרחבית, ואז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו זמן, ואין קשר סיבתי בין מאורעות כאלה.

מהירות יחסותית ותאוצה

בעזרת הגדרת ה־4-וקטור של מקום וזמן, מוגדר גם 4-וקטור מהירות. מאחר שהזמן תלוי במערכת הייחוס, הגדרת המהירות על ידי גזירה לפי זמן לא תהיה עקבית ואחידה. הפתרון הוא לגזור לפי הזמן העצמי – שהוא אינווריאנטי לורנץ – ואז הגדרת ה־4-וקטור המהירות תהיה עקבית. לכן מגדירים:

$u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}=\gamma {\frac {dx^{\mu }}{dt}}=\left(\gamma c\,\ \gamma v_{x}\,\ \gamma v_{y}\,\ \gamma v_{z}\right)=\gamma \left(c\,\ {\vec {v}}\right)$

כאשר פקטור לורנץ, $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, נקבע כך שהנורמה של 4-וקטור המהירות שווה למהירות האור: $u^{\mu }u_{\mu }=\gamma ^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}$

לחלק המרחבי של 4-וקטור המהירות, ${\vec {u}}=\gamma {\vec {v}}$, נהוג לקרוא "מהירות יחסותית" (לעומת "המהירות הקלאסית", ${\vec {v}}$). חלק מהפיזיקאים משתמשים במוסכמה שבה המהירות אינה מוכפלת בפקטור לורנץ, אלא דווקא המסה. בהקשר זה, נהוג לקרוא לגודל $m=\gamma m_{0}$ "מסה יחסותית".

באותו אופן, אפשר גם לחשב תאוצה יחסותית:

$\alpha ^{\mu }={\frac {du^{\mu }}{d\tau }}$

ומהגדרה זו נובע כי המכפלה הסקלרית של התאוצה והמהירות מתאפסת תמיד, כי:

$\alpha ^{\mu }u_{\mu }={\frac {du^{\mu }}{d\tau }}u_{\mu }={\frac {1}{2}}{\frac {d(u^{\mu }u_{\mu })}{d\tau }}={\frac {1}{2}}{\frac {dc^{2}}{d\tau }}=0$

חיבור מהירויות

מהירויות מקבילות

מטרנספורמציות לורנץ נובע שכלל חיבור המהירויות המקבילות הקלאסי $v_{1+2}=v_{1}+v_{2}$, המתאר כיצד תנועתו של גוף נע נמדדת ביחס לשתי מערכות עם תנועה יחסית ביניהן, תקף רק כקירוב במהירויות נמוכות. כלל חיבור המהירויות המקבילות היחסותי הוא

$v_{1+2}={\frac {v_{1}+v_{2}}{1+{\frac {v_{1}v_{2}}{c^{2}}}}}$,

כלל שאותו אפשר לקבל דרך הסקת הקואורדינטות המרחב-זמניות של מאורעות המייצגים את הגעת הגוף הנע לנקודות שונות בקו תנועתו, כפי שהן נמדדות בשתי מערכות הייחוס הנידונות (שהאחת נעה ביחס לשנייה), תוך זיהוי המהירות היחסית המבוקשת כיחס $dx'/dt'$. מכאן אפשר לראות שגוף הנע במהירות קטנה ממהירות האור במערכת אינרציאלית כלשהי, ינוע במהירות קטנה ממהירות האור בכל מערכת אחרת; באופן דומה, גוף שינוע במהירות גדולה ממהירות האור במערכת כלשהי, ינוע במהירות גדולה ממהירות האור בכל מערכת אחרת.

מהירויות ניצבות

מאחר שהמרחב שאותו מודד צופה נע מתקצר רק בכיוון התנועה שלו ונשמר בכיוונים ניצבים לו (נתייחס לכיוונים הניצבים כאל $x$ ו-$y$), קואורדינטת ה-$y$ של הגוף הנע בציר זה מותמרת ללא שינוי למערכת הייחוס של הגוף הנע בציר $x$. אולם מנקודת מבטו של האחרון שעון מערכת המעבדה מתקתק לאט יותר בהשוואה לשעונו העצמי, כך שהגוף הראשון יגמע מרחקים זהים בכיוון $y$ בפרק זמן ארוך יותר במערכת העצמית של הגוף השני בהשוואה לפרק הזמן שנמדד במערכת המעבדה, ולכן הגוף הנע בציר $x$ ימדוד מהירות איטית יותר בציר $y$ של הגוף הראשון בהשוואה לזו שנמדדה במערכת המעבדה. כלומר, בתחשיב המהירויות קצב התנועה בציר $x$ יישאר ללא שינוי, בעוד שהמהירות בציר $y$ תתווסף עם מקדם קטן מ-1, ולכן כלל חיבור המהירויות היחסותי במקרה זה הוא:

${\vec {v_{1+2}}}={\vec {v_{1}}}+{\vec {v_{2}}}{\sqrt {1-(v_{1}/c)^{2}}}$

אנרגיה ותנע

כדי לדון בדינמיקה של גופים נעים מגדירים את 4-וקטור התנע-אנרגיה:

$p^{\mu }=m_{0}u^{\mu }=\left(\gamma m_{0}c,\gamma m_{0}{\vec {v}}\right)$

כאשר $m_{0}$ היא מסת המנוחה של הגוף. בהרבה ספרים נהוג להגדיר "מסה יחסותית" על ידי $m=\gamma m_{0}$ ובכך ל"בלוע" את פקטור לורנץ. המסה היחסותית איננה אינווריאנטית לורנץ, למעשה – ככל שגוף נע יותר מהר, כך המסה היחסותית שלו גדולה יותר. נביט באיבר הזמני של 4-וקטור התנע, לגודל $mc$ יש יחידות של אנרגיה חלקי מהירות ולכן מקובל לרשום אותו בצורה

$mc={\frac {mc^{2}}{c}}={\frac {\gamma m_{0}c^{2}}{c}}$

ואז

$p^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p_{rel}}}\right)=\left({\frac {mc^{2}}{c}},\ m{\vec {v}}\right)$

ומתקיים שמסת המנוחה היא אינווריאנטית לורנץ, שכן

$p^{\mu }p_{\mu }=(E/c)^{2}-p^{2}={m_{0}}^{2}c^{2}$

כעת נתרשם מדוע $E=mc^{2}=\gamma m_{0}c^{2}$. נפתח את האנרגיה כטור טיילור במהירות v ונקבל ש:

$E={\frac {m_{0}c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=m_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}+\cdots$

נשים לב ש $T={\frac {1}{2}}m_{0}v^{2}$ היא האינרגיה הקינטית הקלאסית של הגוף. לכן, זיהה איינשטיין את תכולת האנרגיה של הגוף עם המסה היחסותית שלו.

האנרגיה הקינטית היחסותית של הגוף היא $E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}\,\!$ ואילו סך האנרגיה הכללית נתון על ידי $E^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}\,\!$.

כוח ומשוואות התנועה

החוק השני של ניוטון אומר ש ${\frac {dp}{d\tau }}=f$ וזהו הבסיס למשוואות התנועה גם בתורת היחסות הפרטית. את משוואות התנועה היחסותיות אפשר למצוא באופן ריגורוזי יותר באמצעות שימוש בעקרון הפעולה המינימלית עבור פעולה יחסותית (שבה האינטגרנד הוא גודל אינווריאנטי).

באמצעות עקרון הפעולה אפשר לקבל שמשוואות התנועה הן

$m{\frac {d^{2}x^{\mu }}{d\tau ^{2}}}=f^{\mu }$

כאשר f הוא ה 4-כוח, אותו ניתן לחשב באופן הבא: במערכת המנוחה של החלקיק מגדירים ש $f^{\mu }=\left(0,{\vec {F}}\right)$ ואז מעבירים אותה למערכת הרצויה בטרנספורמציית לורנץ. באופן מפורש מקבלים שבמערכת כלשהי, בה החלקיק נע במהירות ${\vec {v}}$ ה 4-כוח הוא מהצורה

$f^{\mu }=\left(\gamma {\vec {v}}\cdot {\vec {F}}\,\ {\vec {F}}+{\vec {v}}(\gamma -1)({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})/v^{2}\right)$

לדוגמה, הכוח החשמלי הפועל על חלקיק בודד (כוח לורנץ) הוא

$f^{\mu }=F_{\nu }^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}$

כאשר כאן $F_{\nu }^{\mu }$ הוא טנזור השדה האלקטרומגנטי.

יישומים ומסקנות של תורת היחסות

תורת היחסות הפרטית הובילה לתחזיות השונות מאלה שחזתה המכניקה הניוטונית עבור תנועה הקרובה במהירותה למהירות האור:

• יחסיות הבו-זמניות: אם צופה א' רואה שני אירועים רחוקים זה מזה מתרחשים סימולטנית, אזי צופה ב' הנע ביחס לצופה א' יראה אותם מתרחשים בזמנים שונים.
• התארכות הזמן: אם מישהו נע יחסית אל הצופה במחצית מהירות האור אזי כאשר הצופה מסתכל על מחוגי השניות של אותו מישהו שנע לקראתו, הצופה יראה תזוזה של שנייה כל 1.15 שניות בשעון שלו. מי שנע לא חש בתופעה זו.
• התקצרות האורך: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור, אז כאשר הצופה מסתכל על אורכה הוא מתקצר ב־13% לעומת האורך במנוחה, אבל מי שבחללית לא יראה שום שוני.
• עליית המסה: אם חללית נעה ביחס אל הצופה במחצית מהירות האור המסה שלה תהיה ב־15% יותר גדולה מאשר המסה שלה במנוחה, אבל מי שבחללית לא ימדוד שום שינוי.

כל התופעות הבלתי צפויות הללו אושרו מאוחר יותר בניסויים. ברוב התופעות הללו אין אנו חוזים בחיי היום-יום כי השפעתן ניכרת רק לגבי גופים הנעים במהירויות גדולות (מהירויות של בערך חמישית ממהירות האור ומעלה). עבור מהירויות נמוכות, השפעת התופעות הללו זניחה ואי-אפשר למדדה ללא אמצעים מדויקים ביותר. חידוש נוסף הנובע מתורה זו הוא שקילות המסה והאנרגיה - לכל גוף יש אנרגיה אשר אינה קינטית או פוטנציאלית והיא יחסית למסה שלו, על-פי הנוסחה המפורסמת E=mc². מכאן, כל גוף יכול להיות מומר באנרגיה שוות ערך למסתו; הנחה זו מהווה את היסוד התאורטי לפיתוח פצצת אטום בפרט ולהפקת אנרגיה גרעינית בכלל. ניצול מלא של שקילות זו מתרחש כאשר חומר ואנטי-חומר מתנגשים, שאז הם מתאיינים – הופכים לאנרגיה ללא שארית ממהותם המקורית. לעובדה זו יש יישום חשוב מאוד בפיזיקה של חלקיקים אלמנטריים: האצת חלקיקי יסוד כמו פרוטון או אלקטרון למהירויות אדירות (של יותר מ־80% ממהירות האור) והטחתם בחלקיקים אחרים תביא, בשל עיקרון שקילות המסה והאנרגיה, ליצירת הרבה חלקיקים חדשים ולפיזורם בהתאם לחוק שימור התנע. כך, אפשר ליצור ולחקור חלקיקים אלמנטריים. זהו העיקרון שעומד מאחורי מאיץ חלקיקים.

יישום נוסף של התורה היא ניסוח חדש וקו-וריאנטי לאלקטרומגנטיות של מקסוול. במסגרת זו אוחדו השדה המגנטי והחשמלי לטנזור אנטי-סימטרי מדרגה 2 (כלומר: מעין מטריצה 4 על 4) $F^{\mu \nu }$ הנקרא טנזור השדה האלקטרומגנטי. באמצעות איחוד זה צמצם איינשטיין את משוואות מקסוול לשתי משוואות בלבד, אחת הומוגנית ששקולה למשוואות מקסוול ההומוגניות (אילוצים) ושנייה התלויה בהתפלגות הצפיפות והזרמים במרחב (ששקולה לחוק אמפר וחוק פאראדיי). הניסוח היחסותי לאלקטרומגנטיות נחשב לאלגנטי ביותר, אך במקרים רבים ממשיכים להשתמש בניסוח הקלאסי של מקסוול עם מרחב לחוד וזמן כפרמטר.

לתורת היחסות הפרטית לא היו הרבה יישומים מעשיים ישירים. הסיבה לכך היא שתורת היחסות הפרטית היא תאוריה לשם התאוריה, ולצורך כל יישום מעשי משתמשים בתורת היחסות הכללית, שכן את השפעת הגרביטציה אי-אפשר להזניח, ואילו יחסות פרטית מטפלת רק במערכות אינרציאליות ללא תאוצה.

ברם, לתורת היחסות הפרטית יש חשיבות תאורטית מהמעלה הראשונה וחייבים להתחשב בה כאשר רוצים לפתח תאוריה המתארת תופעות אלמנטריות הן בסקלה קוונטית והן בסקלה קוסמית.
כדי לקבל תיאור נכון של תופעות קוונטיות יש להשתמש במכניקת קוונטים הבנויה על יסוד היחסות הפרטית. מכניקה קוונטית יחסותית פותחה לראשונה על ידי הפיזיקאי פול דיראק, ולבסוף בתורת השדות הקוונטית, שהיא הבסיס למודל הסטנדרטי.

חשיבותה של תורת היחסות הפרטית היא בפתרון הסתירות של פיזיקת המאה ה־19 ובהיותה בסיס מחשבתי ופילוסופי ליחסות הכללית.

לקריאה נוספת

• פרופ' יורם קירש, מיכל בן-יעקב, ‏יסודות הפיזיקה ב (כרך 7), האוניברסיטה הפתוחה, 1998
• יהודה שדמי, תורת היחסות הפרטית, המכון לאמצעי הוראה, תש"ל

• אלברט איינשטיין, על תורת היחסות הפרטית והכללית, תרגום מגרמנית: יעקב גרינברג, הוצאת דביר, תרפ"ט 1928; יכין אונא, הוצאת מאגנס, 2015
• צבי מזא"ה, מבוא לתורת היחסות הפרטית.

• Albert Einstein, The Meaning of Relativity, Princton University Press, New Jersey, 1922

• Albert Einstein, Relativity - the Special and General Relativity, Crown, New York, 1961 (מהדורה להפצה בארצות הברית בלבד, תרגום מהמקור בגרמנית מ-1916)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תורת היחסות הפרטית בוויקישיתוף

• שלושת עקרונות היסוד של היחסות הפרטית, מתוך הבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית"
• יואב בן-דב, סרגלים ושעונים - תורת היחסות הפרטית - בספר מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים.
• רשימה קצרה של אתרים על יחסות פרטית (אורכב 18.04.2005 בארכיון Wayback Machine) (באנגלית)
• On the electrodynamics of moving bodies - תרגום מגרמנית לאנגלית של המאמר המפורסם של איינשטיין מ־1905, באתר "Fourmilab"
• רפי מור, להבין את תורת היחסות הפרטית
• מאמר מכתב-העת גליליאו
• קליפ אנימציה המדגים את השפעות תורת היחסות הפרטית על עצמים הנעים במהירות
• אבשלום אליצור, שיעור חי ביחסות
• The fundamentals of space-time – סרטוני הסבר על יסודות החלל זמן: חלק 1, חלק 2 וחלק 3
• תורת היחסות הפרטית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• יחסות פרטית (פיזיקה), דף שער בספרייה הלאומית