שדה המספרים הממשיים

שדה המספרים הממשיים (או: השדה הממשי) הוא שדה שאיבריו הם המספרים הממשיים, עם פעולות החיבור והכפל הרגילות. את השדה נהוג לסמן באות $\mathbb {R}$.

נהוג לזהות את שדה המספרים הממשיים עם הישר החד-ממדי האינסופי הרציף, לכן השדה נקרא פעמים רבות "הישר הממשי", בייחוד כאשר רוצים לדבר על תכונות יותר "טופולוגיות" או "גאומטריות" שלו.

תכונות

השדה הממשי הוא שדה סדור. ככזה, הוא שדה סדור שלם: לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל יש חסם עליון (תכונה זו מכונה לעיתים "אקסיומת החסם העליון"); שדה המספרים הממשיים הוא השדה הסדור היחיד המקיים את אקסיומת החסם העליון. מאקסיומת החסם העליון נובע שהשדה הוא מרחב מטרי שלם ביחס למטריקה המוגדרת על ידי הערך המוחלט, וגם שהוא ארכימדי, תכונה המייחדת אותו בין כל השדות הסדורים השלמים.

עוצמת קבוצת המספרים הממשיים מכונה עוצמת הרצף, ונהוג לסמנה בסימונים $|\mathbb {R} |$, $\aleph$, ${\mathfrak {c}}$ או $\beth _{1}$. גאורג קנטור הוכיח באמצעות שיטת האלכסון של קנטור כי עוצמת הרצף גדולה מעוצמת קבוצת המספרים הטבעיים.

למעשה, היא שווה לעוצמת קבוצת החזקה של המספרים הטבעיים - $2^{\aleph _{0}}=\beth _{1}$.

הוכחה

נגדיר את הפונקציה $f:(0,1)\to {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ כך: המספר הממשי $x$ ייוצג בכתיב בינארי $0.x_{0}x_{1}x_{2}...$, ונקבל $f(x)=f(0.x_{0}x_{1}x_{2}...):=\{n:x_{n}=1\}$. זו פונקציה חד חד ערכית ועל, לכן $|(0,1)|=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} |=2^{\aleph _{0}}$. מכיוון ש$|\mathbb {R} |=|(0,1)|$, נקבל $\beth _{1}=|\mathbb {R} |=2^{\aleph _{0}}$

היסטוריה ובנייה

מבחינה היסטורית, השדה הממשי הופיע אחרי שהתברר שהמספרים הרציונליים אינם מספיקים לצרכים גאומטריים, למשל בגלל שאורך האלכסון של ריבוע שאורך צלעו יחידה אחת אינו מספר רציונלי (ראה פיתגוראים). עד סוף המאה ה-19 חשבו על המספרים הממשיים כאורכים של קטעים על ישר אינסופי (כלומר, הבינו את המספרים האלה כעומדים בהתאמה חד-חד ערכית עם הנקודות על הישר), ותפיסה זו עמדה ביסוד התיאור האלגברי של הגאומטריה, באמצעות קואורדינטות קרטזיות (על ידי דקארט). זו גם הסיבה מדוע לעיתים קרובות שדה זה נקרא בשם הישר הממשי.

יש כאן בעיה עקרונית: מצד אחד מנסים להיפטר ממספר גדול של אקסיומות גאומטריות בעזרת ביסוס אלגברי, ומצד שני, האובייקט האלגברי היסודי (השדה הממשי) מוגדר באמצעים גאומטריים. לבעיה זו נמצא פתרון משביע רצון, כאשר ב-1872 פרסם גאורג קנטור מאמר שבו הגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים; הגדרתו (השקולה) של ריכרד דדקינד את המספרים הממשיים באמצעות חתכי דדקינד פורסמה מעט מאוחר יותר באותה שנה.

אפשר להגדיר את השדה הממשי באופן אקסיומטי, כשדה הסדור השלם המינימלי, או כשדה הסדור השלם הארכימדי היחידי.

בנייה באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים

כאמור, ניתן להגדיר את המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי של מספרים רציונליים. לסדרת קושי יש משמעות רק במסגרת של מרחב מטרי, ובבנייה זו נשתמש במספרים הרציונליים, $\mathbb {Q}$, ובמטריקה $d(x,y)=|x-y|$ (כאשר הקווים האנכיים מציינים ערך מוחלט).

תהי $R$ קבוצת כל סדרות קושי ב-$\mathbb {Q}$, כלומר קבוצת כל הסדרות של מספרים רציונליים $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך שלכל $\varepsilon >0$ (רציונלי) קיים $N$ טבעי כך שלכל זוג טבעיים $m,n>N$ מתקיים $|x_{m}-x_{n}|<\varepsilon$.

נאמר ששתי סדרות שכאלו שקולות אם ורק אם ההפרש ביניהן שואף לאפס, כלומר הסדרות $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ ו-$\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ שקולות אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ (רציונלי) קיים $N$ טבעי כך שלכל $n>N$ טבעי מתקיים $|x_{n}-y_{n}|<\varepsilon$.
נראה כי הגדרה זו אכן מגדירה יחס שקילות:

• רפלקסיביות: לכל סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, לכל $\varepsilon >0$ ולכל $n$, מתקיים $|x_{n}-x_{n}|=0<\varepsilon$.
• סימטריות: $|x_{n}-y_{n}|=|y_{n}-x_{n}|$ ולכן אם האחד קטן מ-$\varepsilon$ גם השני גדול ממנו.
• טרנזיטיביות: יהי $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, ו- $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. יהי $\varepsilon >0$ קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$: $|x_{n}-y_{n}|=|x_{n}-y_{n}+y_{n}-z_{n}|\leq |x_{n}-y_{n}|+|y_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$ (על פי אי-שוויון המשולש), לכן $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

קבוצת המנה (אוסף כל מחלקות השקילות) של יחס שקילות זה תסומן $\mathbb {R}$ - זהו שדה המספרים הממשיים.

את המספרים הרציונליים נזהה בממשיים על ידי מחלקות השקילות המתאימות, עבור רציונלי $q$ מחלקת השקילות המתאימה היא מחלקת השקילות של הסדרה הקבועה $\{q\}_{n=1}^{\infty }$.

את פעולות החיבור והכפל נגדיר איבר איבר, באופן הבא:
$[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
$[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]:=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
נראה כי ההגדרות לא תלויות בבחירת הנציגים: יהו $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. יש להוכיח כי $\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}+w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, ו- $\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\cdot w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

• חיבור: יהי $\varepsilon >0$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$:

$|x_{n}+y_{n}-z_{n}-w_{n}|\leq |x_{n}-z_{n}|+|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

• כפל: כל סדרת קושי היא חסומה, לכן יהי $A$ המקסימום בין החסמים של $\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, כלומר לכל $n$ מתקיים $|y_{n}|<A$ וכן $|z_{n}|<A$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$:

$|x_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|=|x_{n}y_{n}-z_{n}y_{n}+z_{n}y_{n}-z_{n}w_{n}|\leq |y_{n}||x_{n}-z_{n}|+|z_{n}||y_{n}-w_{n}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon$

נראה כי תחת הפעולות הנ"ל, הקבוצה $\mathbb {R}$ היא שדה:

• סגירות:

• חיבור: יהי $\varepsilon >0$. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N_{1}$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$, ולכל $n_{1},n_{2}>N_{2}$ מתקיים $|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n_{1},n_{2}>N$: $|(x_{n_{1}}+y_{n_{1}})-(x_{n_{2}}+y_{n_{2}})|\leq |x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|+|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$
• כפל: יהי $\varepsilon >0$. נשתמש שוב בכך שכל סדרת קושי היא חסומה ונסמן ב$A$ את המקסימום מבין החסמים של הסדרות. קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N_{1}$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$ ולכל $n_{1},n_{2}>N_{2}$ מתקיים $|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{2A}}$. נסמן $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n_{1},n_{2}>N$: $|x_{n_{1}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{2}}|=|x_{n_{1}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{1}}+x_{n_{2}}y_{n_{1}}-x_{n_{2}}y_{n_{2}}|\leq |y_{n_{1}}||x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|+|x_{n_{2}}||y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}+A\cdot {\frac {\varepsilon }{2A}}=\varepsilon$.

• אסוציאטיביות:

• חיבור: ${\begin{aligned}&[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+(y_{n}+z_{n})\}_{n=1}^{\infty }]=[\{(x_{n}+y_{n})+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\\&=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=([\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }])+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\end{aligned}}$
• כפל: ${\begin{aligned}&[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot ([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\cdot z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot (y_{n}\cdot z_{n})\}_{n=1}^{\infty }]=[\{(x_{n}\cdot y_{n})\cdot z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\\&=([\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }])\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\end{aligned}}$

• קומוטטיביות:

• חיבור: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}+x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• כפל: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$

• איבר האפס: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+0=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}+0\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• איבר היחידה: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot 1=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\cdot 1\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$
• איבר נגדי: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}-x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{0\}_{n=1}^{\infty }]=0$
• איבר הופכי: נראה קודם כל כי אם ב$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ יש אינסוף אפסים, אז היא שקולה לאיבר האפס: מכיוון שיש אינסוף אפסים, אז לכל $N$ קיים $n>N$ כך ש$x_{n}=0$. יהי $\varepsilon >0$. קיים $N$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<\varepsilon$. יהי $n_{0}>N$ כך ש-$x_{n_{0}}=0$. לכל $n>N$ מתקיים $|x_{n}-0|=|x_{n}-x_{n_{0}}|<\varepsilon$, לכן $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim 0$. כלומר יש להוכיח את קיום האיבר ההופכי רק עבור סדרות שאין בהם אינסוף אפסים. מכיוון שאין אינסוף אפסים, אז יהי $N$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $x_{n}\not =0$. נסמן ב$\{x_{n}'\}_{n=1}^{\infty }$ את הסדרה המוגדרת על פי $x'_{n}={\begin{cases}x_{n}&&n>N\\1&&n\leq N\end{cases}}$. ברור ש-$\{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, וכן שכל איברי הסדרה $\{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ שונים מאפס, לכן יש להם הופכי במסגרת שדה המספרים הרציונליים. נקבל: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot \left[\left\{{\frac {1}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=[\{x'_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot \left[\left\{{\frac {1}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=\left[\left\{x'_{n}\cdot {\frac {1}{x'_{n}}}\right\}_{n=1}^{\infty }\right]=[\{1\}_{n=1}^{\infty }]=1$.
• דיסטריבוטיביות: ${\begin{aligned}[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot ([\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }])&=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\cdot [\{y_{n}+z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}(y_{n}+z_{n})\}_{n=1}^{\infty }]=[\{x_{n}y_{n}+x_{n}z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\\&=[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\end{aligned}}$

בנוסף, את הסדר על סדרות קושי ב-$\mathbb {Q}$ נגדיר כך: $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$ אם ורק אם קיים r>0 וקיים $N$ טבעי כך שלכל $n>N$ טבעי מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$.

נראה כי ההגדרה לא תלויה בנציגים:

נניח ש$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{z_{n}\}_{n=1}^{\infty },\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }\sim \{w_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ וכן שקיימים $r>0(r\in \mathbb {Q} ),N\in \mathbb {N}$ כך שלכל $n>N$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$. במקרה זה קיימים $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $|x_{n}-z_{n}|<{\frac {r}{2}}$ (או בנוסח אחר: $x_{n}-{\frac {r}{2}}<z_{n}<x_{n}+{\frac {r}{2}}$), ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $|y_{n}-w_{n}|<{\frac {r}{4}}$ (או בנוסח אחר: $w_{n}-{\frac {r}{4}}<y_{n}<w_{n}+{\frac {r}{4}}$). נבחר $N'=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N'$: $z_{n}<x_{n}+{\frac {r}{2}}<y_{n}-r+{\frac {r}{2}}=y_{n}-{\frac {r}{2}}<w_{n}-{\frac {r}{2}}+{\frac {r}{4}}=w_{n}-{\frac {r}{4}}$.

נראה כי זהו אכן יחס סדר חזק:

• אנטי-רפלקסיביות: לכל $r>0$ ולכל $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, מתקיים $x_{n}-r<x_{n}$ ולכן לא מתקיים $x_{n}<x_{n}-r$, כלומר $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.
• טרנזיטיביות: יהו $r_{1},r_{2}>0$, וכן $N_{1},N_{2}$ כך שלכל $n>N_{1}$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r_{1}$, ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $y_{n}<z_{n}-r_{2}$. אז נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\},r=r_{1}+r_{2}$ ונקבל לכל $n>N$: $x_{n}<y_{n}-r_{1}<z_{n}-r_{1}-r_{2}=z_{n}-(r_{1}+r_{2})=z_{n}-r$.
• השוואה: נניח שמתקיים $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\land [\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\not <[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$. אז לכל $r>0$ ולכל $N$, קיים $n>N$ כך ש-$x_{n}\geq y_{n}-r$ וכן $y_{n}\geq x_{n}-r$. בנוסח אחר נאמר כי $|x_{n}-y_{n}|\leq r$. יהי $\varepsilon >0$. קיימים $N_{1},N_{1}$ כך שלכל $n_{1},n_{2}>N_{1}$ מתקיים $|x_{n_{1}}-x_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}$, ולכל $n_{1},n_{2}>N_{2}$ מתקיים $|y_{n_{1}}-y_{n_{2}}|<{\frac {\varepsilon }{3}}$. נסמן $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$. קיים $n_{0}>N$ כך שמתקיים $|x_{n_{0}}-y_{n_{0}}|\leq {\frac {\varepsilon }{3}}$. לכל $n>N$ מתקיים $|x_{n_{0}}-y_{n}|\leq |x_{n_{0}}-y_{n_{0}}|+|y_{n_{0}}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}={\frac {2\varepsilon }{3}}$. לכן לכל $n>N$ מתקיים $|x_{n}-y_{n}|\leq |x_{n}-x_{n_{0}}|+|x_{n_{0}}-y_{n}|<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {2\varepsilon }{3}}=\varepsilon$, ולכן $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]=[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.

נראה כי ההגדרות הנ"ל הופכות את השדה לשדה סדור:

נניח כי $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$:

• לכל $n>N$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$ ולכן גם $x_{n}+z_{n}<y_{n}+z_{n}-r$ ובסה"כ $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]+[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.
• נניח בנוסף כי $[\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]>0$ (כזכור, 0 הוא מחלקת השקילות $[\{0\}_{n=1}^{\infty }]$). לכל $n>N_{1}$, מתקיים $z_{n}-r_{1}>0\Rightarrow z_{n}>r_{1}\Rightarrow -z_{n}<-r_{1}$ (ובפרט $z_{n}>0$), ולכל $n>N_{2}$ מתקיים $x_{n}<y_{n}-r$. נבחר $N=\max\{N_{1},N_{2}\}$ ונקבל לכל $n>N$: $x_{n}z_{n}<(y_{n}-r_{2})z_{n}=y_{n}z_{n}-r_{2}z_{n}<y_{n}z_{n}-r_{1}r_{2}$. לכן $[\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]<[\{y_{n}\}_{n=1}^{\infty }]\cdot [\{z_{n}\}_{n=1}^{\infty }]$.

העובדה היחידה החסרה לנו היא השלמות, כלומר שלכל תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל קיים סופרמום (חסם מלעיל קטן ביותר). נוכיח עובדה זו:
תהי $S$ תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי $u$. נגדיר $u_{1}$ כמספר רציונלי כלשהו הגדול מ-$u$ (ולכן הוא בעצמו חסם מלעיל). מכיוון ש-$S$ אינה ריקה, קיים מספר רציונלי $l_{1}$ שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי $S$. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם $a_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}}$ חסם מלעיל אז $u_{n+1}=a_{n}$ ו-$l_{n+1}=l_{n}$, אם הוא אינו חסם מלעיל אז $l_{n+1}=a_{n}$ ו-$u_{n+1}=u_{n}$.
קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-$r$. קל להראות באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי $u_{n}$ חסם מלעיל ל-$S$ בעוד ש-$l_{n}$ לא, מעובדה זו נובע כי $r$ חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי $t$ מקיים $t<r$, אז קיים $n_{0}$ טבעי עבורו $t<l_{n_{0}}$, ומכיוון ש-$\{l_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית עולה נקבל כי לכל $n\geq n_{0}$ גם מתקיים $t<l_{n}$, אך ראינו כבר ש-$l_{n}$ אינו חסם מלעיל ולכן $t$ שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

בנייה באמצעות חתכי דדקינד

חתך דדקינד של מספרים רציונליים הוא קבוצה $A$ המקיימת:

• $\emptyset \subset A\subset \mathbb {Q}$
• לכל $x\in A$ וגם $y<x$, מתקיים $y\in A$
• ל$A$ אין מקסימום: לא קיים $x\in A$ כך שלכל $y\in A$ מתקיים $y\leq x$.

כל חתך ייצג מספר ממשי (שהוא הסופרמום שלו).

לכל מספר רציונלי $q$, החתך $\{x:x<q\}$ הוא החתך המייצג את $q$.

עבור מספרים שאינם רציונליים יש צורך למצוא חתך מתאים. למשל עבור ${\sqrt {2}}$ יתאים החתך $\{x:x<0\lor x^{2}<2\}$, ועבור $e=2.71...$ (מספר אוילר) יתאים החתך $\left\{x:\exists n\in \mathbb {N} ,x<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right\}$.

את קבוצת חתכי דדקינד נסמן $\mathbb {R}$ - שדה המספרים הממשיים.

נגדיר יחס סדר על השדה: $A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B$.

נגדיר פעולות על השדה:

• חיבור: $A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}$.

לפני שניגש להגדרת הכפל, נראה שלכל מספר קיים נגדי: נגדיר את $-A=\{x-y|x<0\land y\in A^{c}\}$. נראה שמתקיים $A+(-A)=0$: יהי $a\in A+(-A)$. אז קיימים $x\in A,y<0,z\in A^{c}$ כך ש-$x+y-z=a$. מתקיים $z>x$, ולכן $a=x+y-z<x+y-x=y<0$. לכן $A+(-A)\subseteq 0$. יהי $a\in 0$, אז מתקיים $a<0$. הקבוצה $A$ היא חתך ולכן חסומה מלעיל. יהי $M\in \mathbb {Q} ,M>0$ כך שלכל $x\in A$ מתקיים $x<M$. יהי $x<-M,x\in A$ ונגדיר $z=-x>M$, כלומר $y\in A^{c}$, וכן נגדיר $y=a<0$. מתקיים $x+y-z=2x+y<-2M+y<y=a$. קיבלנו ייצוג של a כ- $a=x+y-z\land x\in A\land y<0\land z\in A^{c}$, לכן $a\in A+(-A)$. סה"כ קיבלנו $A+(-A)=0$. מקומוטטיביות החיבור שתוכח בהמשך נקבל ש$-A$ הוא הנגדי של $A$.

כעת נגדיר את הכפל:

• עבור $A,B\geq 0$, נגדיר $A\cdot B=\{x\cdot y|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0$. אם לפחות אחד מהחתכים A,B הוא שלילי, נגדיר $A\cdot B=-(A\cdot -B)=-(-A\cdot B)=-A\cdot -B$.

נראה כי הפעולות מקיימות את אקסיומות השדה:

• סגירות:

• חיבור: $A,B\not =\emptyset \Rightarrow \exists x\in A,y\in B\Rightarrow \exists z=x+y\in A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset$. יהי $M_{1},M_{2}\in \mathbb {Q}$ כך שלכל $x\in A,y\in B$ מתקיים $x<M_{1},y<M_{2}$. נגדיר $M=M_{1}+M_{2}$ ולכן לכל $z\in A+B$ מתקיים $z=x+y<M_{1}+M_{2}=M$, לכן $A+B\not =\mathbb {Q}$. יהי $x\in A+B,y<x$. אז קיימים $a\in A,b\in B$ כך ש-$x=a+b$. נקבל $w:=x-y=a+b-y>0$. מכך שA,B הם חתכים נקבל ש-$\alpha :=a-{\frac {w}{2}}\in A\land \beta :=b-{\frac {w}{2}}\in B$. אז מתקיים $y=x-w=\alpha +\beta \in A+B$. לכל $x\in A$ קיים $a\in A$ כך ש-$x<a$, וכן לגבי $B$. יהי $z=x+y\in A+B$. אז קיימים $a>x,b>y$ בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים $c:=a+b\in A+B$, וכן $c>z$, לכן ל$A+B$ אין מקסימום. לכן $A+B$ הוא חתך.
• כפל: נראה זאת כאשר $A,B\geq 0$. שאר המקרים נובעים ממקרה זה. $0\subseteq A+B\Rightarrow A+B\not =\emptyset$. נגדיר את $M_{1},M_{2}$ כמו קודם, ונשים לב שהם חיוביים. נגדיר $M=M_{1}\cdot M_{2}$. לכל $0<z=xy\in AB$ מתקיים $z=xy<M_{1}M_{2}=M$. עבור $z\leq 0$ שוב מתקיים $z<M$. לכן $AB\not =\mathbb {Q}$. נניח כי $0<y<x\in AB$. אז קיימים $a\in A\setminus 0,b\in B\setminus 0$ כך ש-$x=ab$. מתקיים $w:={\frac {x}{y}}>1$. נגדיר $\alpha ={\frac {a}{w}}<a$ אז מתקיים $y=\alpha \cdot b\in A\cdot B$. לכל $x\in A$ קיים $a\in A$ כך ש-$x<a$, וכן לגבי $B$. יהי $z=xy\in AB$.אז קיימים $a>x,b>y$ בקבוצות A,B בהתאמה. מתקיים $c:=ab\in AB$ וכן $c>z$, לכן ל$AB$ אין מקסימום. לכן $AB$ הוא חתך.

• אסוציאטיביות:

• חיבור: $A+(B+C)=\{x+y+z|x\in A\land y\in B\land z\in C\}=(A+B)+C$
• כפל: $\forall A,B,C\geq 0:A(BC)=\{xyz|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\land z\in C\setminus 0\}\cup 0=(AB)C$. שאר המקרים נובעים ממקרה זה.

• קומוטטיביות:

• חיבור: $A+B=\{x+y|x\in A\land y\in B\}=\{y+x|y\in B\land x\in A\}=B+A$
• כפל: $\forall A,B\geq 0:AB=\{xy|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0=\{yx|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0=BA$. שאר המקרים נובעים ממקרה זה.

• איבר האפס: נגדיר $0=\{x|x<0\}$. יהי $z=x+y\in A+0$, אז מתקיים $z<x\in A$, לכן $z\in A$. יהי $x\in A$, אז קיים $z>x$ כך ש$z\in A$. נסמן $y=x-z<0$. מתקיים $x=z+y\in A+0$.
• איבר היחידה: נגדיר $1=\{x|x<1\}$. נראה כי $A\cdot 1=\{ab|a\in A\setminus 0\land 0\leq b<1\}\cup 0=A$ כאשר $A\geq 0$. המקרה השני נובע ממנו. יהי $x=ab\in A\cdot 1$. אז מתקיים $x<a\in A$, לכן $x\in A$. יהי $x\in A$. קיים $y>x$ כך ש$y\in A$. לכן $w:={\frac {x}{y}}<1$, ולכן $x=yw\in A\cdot 1$.
• איבר נגדי: הגדרנו כבר את $-A$, והראינו כי מתקיים $A+(-A)$.
• איבר הופכי: נגדיר $\forall A\geq 0:A^{-1}=\left\{{\frac {x}{y}}{\Bigg |}x<1\land y\in A^{c}\right\}.\forall A<0:A^{-1}=-(-A)^{-1}$. יהי $x\in A\cdot A^{-1}$ כאשר $A\geq 0$. אז קיימים $a\in A\setminus 0,b<1,c\in A^{c}$ כך ש$x={\frac {ab}{c}}$. מכיוון ש$a<c$, נקבל $x=b\cdot {\frac {a}{c}}<b<1$, לכן $x\in 1$.
• דיסטריבוטיביות: נראה זאת עבור $A\geq 0\land B+C\geq 0$: על פי ההגדרה, $A(B+C)=\{x(y+z)|x\in A\setminus 0\land y\in B\land z\in C\land y+z\geq 0\}\cup 0=(\{xy|x\in A\setminus 0\land y\in B\setminus 0\}\cup 0)+(\{xz|x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0\}\cup 0)=AB+AC$.

נראה כי יחס הסדר שהגדרנו על השדה, $A\leq B\Leftrightarrow A\subseteq B$, הוא אכן יחס סדר חלש: מכיוון שהיחס $\subseteq$ הוא יחס סדר חלקי חלש על כל אוסף של קבוצות, עלינו להוכיח רק את תכונת ההשוואה: יהו $A,B\in \mathbb {R}$, ונניח כי $A\not \subseteq B$, כלומר קיים $a\in A$ כך ש$a\not \in B$. יהי $x\in B$. לא ייתכן כי $x\geq a$, כי אז יתקיים $a\in B$. לכן $x<a$, ומכיוון שA חתך נקבל $x\in A$. לכן $B\subseteq A$. נראה כי השדה הוא שדה סדור:

• איזוטוניות ביחס לחיבור: $A\leq B\Rightarrow \forall x\in A:x\in B\Rightarrow \forall x\in A\land y\in C:x\in B\land y\in C\Rightarrow \forall z=x+y\in A+C,z\in B+C\Rightarrow A+C\leq B+C$.
• איזוטוניות ביחס לכפל: יהי $C\geq 0$, ונניח כי $0\leq A\leq B$. לכן $0\subseteq A\subseteq B\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0,x\in B\setminus 0\Rightarrow \forall x\in A\setminus 0\land z\in C\setminus 0,x\in B\setminus 0\land z\in C\setminus 0\Rightarrow \forall z=xy\in AC,z\in BC\Rightarrow AC\leq BC$.

נראה כי השדה הוא שדה סדור שלם: תהי $S\subseteq \mathbb {R}$ קבוצה לא ריקה וחסומה של מספרים ממשיים, ונגדיר $M=\bigcup _{A\in S}A$. נראה כי M הוא מספר ממשי, כלומר חתך של מספרים רציונלים:

• $S\not =\emptyset \Rightarrow \exists A\in S\Rightarrow A\subseteq M$. מכיוון שA לא ריקה, גם M לא ריקה. מכיוון ש$S$ חסומה, קיים $N$ כך שלכל $A\in S$ מתקיים $A\leq N$, כלומר $A\subseteq N$. לכן $M\subseteq N\subset \mathbb {Q}$.
• יהי $x\in M$, ויהי $y<x$. אז קיים $A\in S$ כך ש$x\in A$. לכן $y\in A$, כלומר $y\in M$.
• יהי $x\in M$. אז קיים $A\in S$ כך ש$x\in A$. מכיוון שA חתך, קיים $y>x$ כך ש$y\in A$. לכן $y\in M$.

נראה כי חתך זה הוא הסופרמום של הקבוצה S: $\forall A\in S,A\subseteq \bigcup _{B\in S}B\Rightarrow \forall A\in S,A\leq M$. לכן M הוא חסם מלעיל. יהי $N$ חסם מלעיל של $S$. יהי $x\in M$. קיים $A\in S$ כך ש$x\in A$. מכיוון ש$A\subseteq N$, נקבל $x\in N$. לכן $M\leq N$. לכן $M$ הוא החסם העליון הקטן ביותר של $S$.

קישורים חיצוניים

• שדה המספרים הממשיים, באתר MathWorld (באנגלית)