פנים (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ נבדק |
מ זוטות |
||
שורה 1: | שורה 1: | ||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
==הגדרה פורמלית== |
==הגדרה פורמלית== |
||
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה: |
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה: |
||
*תהא <math>\ |
*תהא <math>\ A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, <math>\ \mbox{Int}(A)</math>, בתור קבוצת כל הנקודות <math>\ x\isin A</math> כך שקיימת [[קבוצה פתוחה]] <math>\ B</math> כך ש<math>\ x\isin B\subseteq A</math> - כלומר, הקבוצה <math>\ A</math> מכילה [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] של <math>\ x</math>. |
||
*תהא <math>\ |
*תהא <math>\ A</math> קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב<math>\ A</math>. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב <math>\ A</math>. |
||
*תהא <math>\ |
*תהא <math>\ A</math> קבוצה כלשהי [[מרחב טופולוגי|במרחב טופולוגי]]. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת [[משלים (מתמטיקה)|משלים]] ו[[סגור (טופולוגיה)|סגור]]: <math>\ \mbox{Int}(A) = ( \overline{A^c} )^c </math>. |
||
=== |
===דוגמה=== |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
: <math>\ [0,1]^c = (\infty,0) \cup (1,\infty)</math> |
: <math>\ [0,1]^c = (\infty,0) \cup (1,\infty)</math> |
||
: <math>\ \overline{[0,1]^c} = (\infty,0] \cup[(1,\infty)</math> |
: <math>\ \overline{[0,1]^c} = (\infty,0] \cup[(1,\infty)</math> |
||
: <math>\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)</math> |
: <math>\ (\overline{[0,1]^c})^c = (0,1)</math> |
||
ולכן הפנים של [0,1] הוא הקטע הפתוח (0,1). |
ולכן הפנים של <math>\ [0,1]</math> הוא הקטע הפתוח <math>\ (0,1)</math>. |
||
==תכונות הפנים== |
==תכונות הפנים== |
||
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]]. |
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות [[סגור (טופולוגיה)|הסגור]]. |
||
*כל [[קבוצה פתוחה]] שווה לפנים שלה: <math>\ |
*כל [[קבוצה פתוחה]] שווה לפנים שלה: <math>\ A=\mbox{Int}(A)</math>. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן <math>\ \mbox{Int}(A)=\mbox{Int}\left(\mbox{Int}(A)\right)</math>. |
||
*<math>\ |
*<math>\ A\subseteq B \rArr \mbox{Int}(A)\subseteq \mbox{Int}(B)</math> |
||
*<math>\ |
*<math>\ \mbox{Int}\left(A\cup B\right)\subseteq \mbox{Int}(A)\cup \mbox{Int}(B)</math> |
||
*<math>\ |
*<math>\ \mbox{Int}\left(A\cap B\right)= \mbox{Int}(A)\cap \mbox{Int}(B)</math> |
||
---- |
|||
⚫ | |||
{{נבדק}} |
{{נבדק}} |
||
{{טופולוגיה}} |
{{טופולוגיה}} |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
[[ko:내부 (위상수학)]] |
|||
[[pl:Wnętrze (topologia)]] |
|||
[[zh:内部]] |
גרסה מ־19:28, 24 באוגוסט 2005
בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה ב- או ב-.
הגדרה פורמלית
ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:
- תהא קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, , בתור קבוצת כל הנקודות כך שקיימת קבוצה פתוחה כך ש - כלומר, הקבוצה מכילה סביבה של .
- תהא קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב .
- תהא קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: .
דוגמה
נחשב את הפנים של הקטע הסגור בישר הממשי.
ולכן הפנים של הוא הקטע הפתוח .
תכונות הפנים
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.
- כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: . בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן .