בטופולוגיה , מרחבים מטריים עומדים בראש הפירמידה של המרחבים הטופולוגיים , כמעט בכל היבט של התאוריה. משפט אוריסון (על שם פאבל סמואילוביץ' אוריסון ), הידוע גם כמשפט המטריזביליזציה , אומר שמרחבים טופולוגיים המקיימים שתי תכונות חזקות במיוחד, הם בעצם מרחבים מטריים:
באופן כללי יותר, המשפט (עם אותה הוכחה) מראה שכל מרחב רגולרי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב סמי-מטרי .
מעבר לזה, המשפט מראה שמרחבי T3 (ובפרט, מרחבי האוסדורף קומפקטיים ) בעלי בסיס בן מנייה הם תת-מרחבים של מרחב הסדרות
ℓ
2
{\displaystyle \ \ell _{2}}
, ובכך הוא מבסס את המרכזיות של המרחב האחרון בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית .
בשלב הראשון מראים שמרחב T3 המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מרחב T4 .
בשלב השני מראים שמרחב נורמלי המקיים את אקסיומת המנייה השנייה הוא מטריזבילי. עושים זאת על ידי שיכון הומיאומורפי ממרחב זה לתת-מרחב של המרחב המטרי
ℓ
2
{\displaystyle \ \ell _{2}}
(זהו מרחב הילברט ), כאשר הבנייה נעשית באמצעות פונקציות אוריסון .
מוכיחים שפונקציית השיכון היא רציפה ופתוחה.
המרחב שלנו מקיים את תכונת המנייה השנייה, ולכן יש לטופולוגיה שלו בסיס בן מנייה . כל נקודה
x
{\displaystyle \ x}
במרחב X שייכת לאיבר של הבסיס,
x
∈
B
i
{\displaystyle \ x\in B_{i}}
. בנוסף לזה, בגלל הרגולריות, קיים איבר בסיס
B
j
{\displaystyle \ B_{j}}
כך ש
x
∈
B
j
⊂
B
j
¯
⊂
B
i
{\displaystyle \ x\in B_{j}\subset {\overline {B_{j}}}\subset B_{i}}
. לפי הלמה של אוריסון (למרחבים נורמליים), קיימת פונקציית אוריסון
f
i
j
:
X
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle \ f_{ij}:X\to [0,1]}
כך ש
f
i
j
(
B
j
¯
)
=
0
{\displaystyle \ f_{ij}({\overline {B_{j}}})=0}
ו
f
i
j
(
(
B
i
)
c
)
=
1
{\displaystyle \ f_{ij}((B_{i})^{c})=1}
. את הפונקציות
f
i
j
{\displaystyle \ f_{ij}}
אפשר לסדר, ולסמן
{
g
n
}
n
=
1
∞
{\displaystyle \ \{g_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
, לשם הפשטות.
כעת נגדיר
G
:
X
→
ℓ
2
{\displaystyle \ G:X\to \ell _{2}}
באמצעות הנוסחה
∀
x
∈
X
:
G
(
x
)
=
(
g
1
(
x
)
1
,
g
2
(
x
)
2
,
⋯
,
g
n
(
x
)
n
,
⋯
)
{\displaystyle \ \forall x\in X:G(x)=\left({\frac {g_{1}(x)}{1}},{\frac {g_{2}(x)}{2}},\cdots ,{\frac {g_{n}(x)}{n}},\cdots \right)}
. פונקציה זו היא ההומאומורפיזם המבוקש.
נותר להוכיח ש:
הפונקציה G מוגדרת היטב.
הפונקציה G היא חח"ע.
הפונקציה G רציפה .
הפונקציה G פתוחה.
1) הפונקציה G מוגדרת היטב שכן לכל x,
‖
G
(
x
)
‖
=
∑
n
=
1
∞
g
n
(
x
)
n
2
≤
∑
n
=
1
∞
1
n
2
=
π
2
6
<
∞
{\displaystyle \ \|G(x)\|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g_{n}(x)}{n^{2}}}\leq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}<\infty }
,
ולכן
∀
x
∈
X
:
G
(
x
)
∈
ℓ
2
{\displaystyle \ \forall x\in X\ :\ G(x)\in \ell _{2}}
. מכאן ש G מוגדרת היטב.
2) הפונקציה G היא חח"ע כי אם
x
≠
y
{\displaystyle \ x\neq y}
אזי קיימות קבוצות בסיס זרות כך ש
x
∈
B
j
,
y
∈
B
i
{\displaystyle \ x\in B_{j}\ ,\ y\in B_{i}}
(כי מרחב
T
3
{\displaystyle \ T_{3}}
הוא בפרט מרחב האוסדורף ) ולכן
x
∈
B
j
⊂
B
j
¯
⊂
(
B
i
)
c
{\displaystyle \ x\in B_{j}\subset {\overline {B_{j}}}\subset (B_{i})^{c}}
. עליהן אפשר לבנות פונקציית אוריסון
g
n
=
f
i
j
{\displaystyle \ g_{n}=f_{ij}}
שעבורה בבירור מתקיים ש
g
(
x
)
=
0
,
g
(
y
)
=
1
{\displaystyle \ g(x)=0\ ,\ g(y)=1}
. לכן,
‖
G
(
x
)
−
G
(
y
)
‖
≥
1
n
2
>
0
{\displaystyle \ \|G(x)-G(y)\|\geq {\frac {1}{n^{2}}}>0}
, כלומר,
G
(
x
)
≠
G
(
y
)
{\displaystyle \ G(x)\neq G(y)}
ולכן G חח"ע.
3) נוכיח ש G רציפה. תהי
‖
G
(
x
)
−
G
(
x
0
)
‖
<
ε
{\displaystyle \ \|G(x)-G(x_{0})\|<\varepsilon }
קבוצה פתוחה בטווח. נמצא קבוצה פתוחה V ב-X שעבור כל איבר בה האי-שוויון יתקיים. ניקח n מספיק גדול כך ש
∑
k
=
n
+
1
∞
|
g
k
(
x
)
−
g
k
(
x
0
)
|
2
k
2
<
0.5
ε
{\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}<0.5\varepsilon }
. כמו כן, לכל רכיב k=1,..,n נדרוש ש
|
g
k
(
x
)
−
g
k
(
x
0
)
|
<
k
2
n
ε
{\displaystyle \ |g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|<{\frac {k}{\sqrt {2n}}}\varepsilon }
. מאחר ש gk רציפות, קיימות סביבות Vk שבהן כל פונקציה מקיימת דרישה זאת. נגדיר
V
=
V
1
∩
⋯
∩
V
n
{\displaystyle \ V=V_{1}\cap \cdots \cap V_{n}}
(זוהי קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות) ובסביבה זו ברור שמתקיימות כל הדרישות הללו. לכן:
∀
x
∈
V
:
‖
G
(
x
)
−
G
(
x
0
)
‖
≤
|
∑
k
=
1
n
|
g
k
(
x
)
−
g
k
(
x
0
)
|
2
k
2
+
∑
k
=
n
+
1
∞
|
g
k
(
x
)
−
g
k
(
x
0
)
|
2
k
2
<
{\displaystyle \ \forall x\in V\ :\ \|G(x)-G(x_{0})\|\leq |\sum _{k=1}^{n}{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}<}
<
∑
k
=
1
n
|
g
k
(
x
)
−
g
k
(
x
0
)
|
2
k
2
+
ε
2
<
∑
k
=
1
n
ε
2
n
+
ε
2
<
ε
{\displaystyle \ <\sum _{k=1}^{n}{\frac {|g_{k}(x)-g_{k}(x_{0})|^{2}}{k^{2}}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varepsilon }{2n}}+{\frac {\varepsilon }{2}}<\varepsilon }
ומכאן G רציפה.
נשים לב ש
I
m
G
⊂
ℓ
2
{\displaystyle \ \mathrm {Im} G\subset \ell _{2}}
הוא מרחב מטרי (יתרה מכך, הוא מרחב נורמי ) ולכן, נשרה מטריקה על X באופן הבא:
d
(
x
,
y
)
=
‖
G
(
x
)
−
G
(
y
)
‖
ℓ
2
{\displaystyle \ d(x,y)=\|G(x)-G(y)\|_{\ell _{2}}}
ובכך הוכחנו ש X מטריזבילי.