סגור (טופולוגיה)

בטופולוגיה, סְגוֹ‏‏ר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.

הגדרה פורמלית

יהא $\!\,X$ מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא $\!\,S\subseteq X$ קבוצה. אם $\!\,\Lambda$ היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות $\!\,S\subseteq A\subseteq X$, אז הסגור של $\!\,S$ יסומן $\!\,{\mbox{Cl}}(S)$ או $\!\,{\bar {S}}$, ויוגדר על ידי:

$\!\,{\overline {S}}={\mbox{Cl}}(S)=\bigcap _{A\in \Lambda }A$.

נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):

• $\!\,{\mbox{Cl}}(S)$ היא קבוצת כל האיברים של $\!\,X$ שבכל סביבה שלהם קיים איבר של $\!\,S$ (לא בהכרח שונה מהם).
• $\!\,{\mbox{Cl}}(S)=S\cup S'$, כאשר $\!\,S'$ היא קבוצת כל נקודות ההצטברות של $\!\,S$.
• הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: $\!\,{\mbox{Cl}}(A)=\left({\mbox{Int}}(A^{C})\right)^{C}$.

דוגמאות

• הסגור של הקטע הפתוח $\ (a,b)$ הוא הקטע הסגור $\ [a,b]$.
• הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים $\mathbb {Q}$ הוא הישר הממשי כולו $\mathbb {R}$.

תכונות הנוגעות לסגור

• כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: $\!\,A={\mbox{Cl}}(A)$. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן $\!\,{\mbox{Cl}}(A)={\mbox{Cl}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)$.
• $\!\,A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Cl}}(A)\subseteq {\mbox{Cl}}(B)$.
• $\!\,{\mbox{Cl}}\left(A\cap B\right)\subseteq {\mbox{Cl}}(A)\cap {\mbox{Cl}}(B)$.
• $\!\,{\mbox{Cl}}\left(A\cup B\right)={\mbox{Cl}}(A)\cup {\mbox{Cl}}(B)$.
• $\!\,f$ היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל $\!\,A$ בתחום שלה מתקיים $\!\,f\left({\mbox{Cl}}(A)\right)\subseteq {\mbox{Cl}}\left(f(A)\right)$. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
• אם $\!\,A$ קבוצה קשירה, לכל $\!\,A\subseteq B\subseteq {\mbox{Cl}}(A)$ מתקיים שגם $\!\,B$ קבוצה קשירה.
• קבוצה $\!\,A$ במרחב $\!\,X$ המקיימת $\!\,{\mbox{Cl}}(A)=X$ נקראת קבוצה צפופה.
• קבוצה $\!\,A$ במרחב $\!\,X$ המקיימת $\!\,{\mbox{Int}}\left({\mbox{Cl}}(A)\right)=\emptyset$ נקראת קבוצה דלילה.

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.