סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
מראה
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ BHEUS |
מ דוגמאות ושינוי קל |
||
שורה 10: | שורה 10: | ||
*<math>\!\, \mbox{Cl}(S)=S\cup S'</math>, כאשר <math>\!\, S'</math> היא קבוצת כל [[נקודת הצטברות|נקודות ההצטברות]] של <math>\!\, S</math>. |
*<math>\!\, \mbox{Cl}(S)=S\cup S'</math>, כאשר <math>\!\, S'</math> היא קבוצת כל [[נקודת הצטברות|נקודות ההצטברות]] של <math>\!\, S</math>. |
||
* הגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C</math>. |
* הגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C</math>. |
||
==דוגמאות== |
|||
* הסגור של [[קטע פתוח|הקטע הפתוח]] <math> \ (a,b) </math> הוא הקטע הסגור <math> \ [a,b] </math>. |
|||
* הסגור של [[מספר רציונאלי|קבוצת המספרים הרציונאלים]] <math> \mathbb{Q}</math> הוא הישר הממשי כולו <math> \mathbb{R}</math>. |
|||
==תכונות הנוגעות לסגור== |
==תכונות הנוגעות לסגור== |
||
⚫ | |||
*כל [[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=\mbox{Cl}(A)</math>. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\mbox{Cl}\left(\mbox{Cl}(A)\right)</math>. |
*כל [[קבוצה סגורה]] שווה לסגור שלה: <math>\!\, A=\mbox{Cl}(A)</math>. בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\mbox{Cl}\left(\mbox{Cl}(A)\right)</math>. |
||
שורה 18: | שורה 21: | ||
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)</math>. |
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cap B\right)\subseteq \mbox{Cl}(A)\cap \mbox{Cl}(B)</math>. |
||
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)</math>. |
*<math>\!\, \mbox{Cl}\left(A\cup B\right)= \mbox{Cl}(A)\cup \mbox{Cl}(B)</math>. |
||
*<math>\!\, f</math> היא [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>\!\, A</math> בתחום שלה מתקיים <math>\!\, f\left(\mbox{Cl}(A)\right)\subseteq \mbox{Cl}\left(f(A)\right)</math>. |
*<math>\!\, f</math> היא [[רציפות (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]] אם ורק אם לכל <math>\!\, A</math> בתחום שלה מתקיים <math>\!\, f\left(\mbox{Cl}(A)\right)\subseteq \mbox{Cl}\left(f(A)\right)</math>. בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר. |
||
* אם <math>\!\, A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>\!\, A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)</math> מתקיים שגם <math>\!\, B</math> קבוצה קשירה. |
* אם <math>\!\, A</math> [[קשירות (טופולוגיה)|קבוצה קשירה]], לכל <math>\!\, A\subseteq B\subseteq \mbox{Cl}(A)</math> מתקיים שגם <math>\!\, B</math> קבוצה קשירה. |
||
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]]. |
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=X</math> נקראת [[קבוצה צפופה]]. |
||
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]]. |
*קבוצה <math>\!\, A</math> במרחב <math>\!\, X</math> המקיימת <math>\!\, \mbox{Int}\left(\mbox{Cl}(A)\right)=\emptyset</math> נקראת [[קבוצה דלילה]]. |
||
⚫ | |||
[[קטגוריה:טופולוגיה]] |
[[קטגוריה:טופולוגיה]] |
גרסה מ־18:56, 13 בספטמבר 2007
בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
הגדרה פורמלית
יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות , אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:
- .
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
- היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
- , כאשר היא קבוצת כל נקודות ההצטברות של .
- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .
דוגמאות
- הסגור של הקטע הפתוח הוא הקטע הסגור .
- הסגור של קבוצת המספרים הרציונאלים הוא הישר הממשי כולו .
תכונות הנוגעות לסגור
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
- .
- .
- .
- היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
- אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.