בסיס (טופולוגיה)

בטופולוגיה, בסיס ותת-בסיס הן דרכים חסכוניות לתיאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.

הגדרות

בסיס

בסיס של מרחב טופולוגי $\ ( X,\tau )$ הוא אוסף $\ B$ של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, $\ \tau=\{\cup_{b \in I}b \mid I \subseteq B\}$. מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל $\ x\in X$ ולכל קבוצה פתוחה $\ x\in U$, קיימת קבוצה $\ b\in B$ בבסיס, כך ש- $\ x\in b\subseteq U$.

ניתן לאפיין בסיס בצורה שקולה: אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לטופולוגיה כלשהי) אם ורק אם X מכוסה על ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות $\ b_1,b_2 \in B$ ונקודה בחיתוך $\ x\in b_1 \cap b_2$, קיימת קבוצה $\ b_3 \in B$ בבסיס, כך ש- $\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2$. כאמור, הגדרה זו גוררת את ההגדרה הראשונה, ולהפך. יתרונה של הגדרה זו היא שקל לבדוק שהיא אכן מתקיימת לאוסף נתון של קבוצות. לדוגמה, קל לראות כי אוסף הקטעים הפתוחים עם נקודות קצה רציונליות מהווה בסיס לטופולוגיה הסטנדרטית על הישר הממשי.

בסיס נקרא לפעמים גם מערכת סביבות יסודית.

תת-בסיס

תת-בסיס של מרחב טופולוגי $\ ( X,\tau )$ הוא אוסף $\ S$ של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן איחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.

בסיס מקומי

בסיס מקומי: אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי הוא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.

דוגמאות

• במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
• בישר הממשי, הקבוצה $\ \mathbb{B} = \{ (a,\infty) | a \in \mathbb{R} \}$ היא טופולוגיה ובפרט בסיס. לכן, כבסיס לטופולגיה, יוצרת משפחה זו את עצמה.
• במרחב $\mathbb{R}$ עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה $\ \mathbb{S} = \{ (a,\infty) , ( - \infty , b) | a,b \in \mathbb{R} \}$ היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
• הישר של סורגנפריי מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.

ראו גם

• אקסיומות המנייה