משפט דארבו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, משפט דארבו (על שם המתמטיקאי ז'אן גסטון דארבו) הוא הכללה של משפט ערך הביניים עבור פונקציות שהן נגזרת (כלומר, קיימת להן פונקציה קדומה).

על-פי המשפט, אם פונקציה גזירה בקטע סגור, פונקציית הנגזרת שלה מקבלת כל ערך בין הערכים שהיא מקבלת בקצוות הקטע, גם אם פונקציית הנגזרת אינה רציפה בעצמה.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהא \ F(x) פונקציה גזירה בקטע הפתוח \ (a,b), גזירה מימין בנקודה \ a וגזירה משמאל בנקודה \ b. נסמן את נגזרתה \ F'(x)=f(x), כך שהנגזרת מימין בנקודה \ a היא \ f(a) והנגזרת משמאל בנקודה \ b היא \ f(b). אז לכל \ y שבין \ f(a) ו-\ f(b) קיים \ t\isin[a,b] כך ש-\ f(t)=y.

משפט דארבו מהווה הכללה של משפט ערך הביניים שכן כל פונקציה רציפה מקיימת את משפט ערך הביניים, אך כוחו בכך שהנגזרת אינה חייבת להיות בהכרח רציפה כדי שהמשפט יתקיים.

מסקנה ממשפט דארבו[עריכת קוד מקור | עריכה]

מסקנה מעניינת ממשפט דארבו היא שנקודות אי-הרציפות של הנגזרת הן מן הסוג השני בלבד. בפרט, לפונקציה בעלת נקודת אי-רציפות סליקה או נקודת אי-רציפות מן הסוג הראשון אין פונקציה קדומה.

מסקנה נוספת היא שהמשפט ההפוך למשפט ערך הביניים אינו נכון, כיוון שקיימות נגזרות שאינן רציפות אבל כן מקיימות את תכונת ערך הביניים. גם המשפט ההפוך למשפט דארבו אינו נכון. לא לכל פונקציה המקיימת את תכונת ערך הביניים יש פונקציה קדומה. דוגמה נגדית היא פונקציית הבסיס-13 של קונוויי.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם \ f(b)=f(a), הטענה ברורה מאליה.


נניח בלי הגבלת הכלליות כי \ f(b)>f(a), ויהי \ f(b) > y > f(a). (נראה שקיימת נקודה בה מקבלת \ f ערך זה)

נגדיר \ g(x) = F(x) - xy. מתקיים:

\ g'(x) = f(x) - y
\ g'(b) > 0 > g'(a)


\ g(x) גזירה ובפרט רציפה, ולכן, לפי המשפט השני של ויירשטראס, קיימת נק' \ a \le t \le b בה מקבלת \ g ערך מינימלי. ערך זה לא יכול להתקבל ב-\ a כיוון ש-\ 0 > g'(a) ולכן הפונקציה יורדת בסביבת \ a, ולא יכול להתקבל ב-\ b כיוון ש-\ 0 < g'(b) ולכן הפונקציה עולה בסביבת \ b.

לפי משפט פרמה, \ g'(t)=0, ולכן \ f(t)=y כרצוי.