משפט קנטור לרציפות במידה שווה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.

המשפט נותר נכון גם אם נחליף את הקטע בכל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה \ f היא רציפה בנקודה \ x_0 אם ורק אם עבור כל סדרה \ a_n השואפת לנקודה זו, \ a_n\rarr x_0 מתקיים \ f(a_n)\rarr f(x_0). כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת \ f(x) פונקציה רציפה בקטע הסגור \ [a,b]. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים \ \varepsilon_0 כך שעבור כל \ n\isin\mathbb{N} קיימות שתי נקודות \ x_n,y_n\isin[a,b] כך שמתקיים \ |x_n-y_n|<\frac{1}{n}, אבל \ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0.

נביט כעת בסדרה \ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty. כל אברי הסדרה שייכים לקטע \ [a,b], כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר \ x_{n_k}\rarr x_0\isin[a,b].

כעת נוכיח כי \ y_{n_k}\rarr x_0 - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

כיוון ש-\ |x_n-y_n|<\frac{1}{n} נובע כי \ |x_{n_k}-y_{n_k}|<\frac{1}{n_k}, כלומר סדרת ההפרשים שואפת לאפס ומאריתמטיקה של גבולות נובע כי

\lim_{k \to \infty} (y_{n_k}) = \lim_{k \to \infty} (x_{n_k}) - \lim_{k \to \infty} (x_{n_k} - y_{n_k}) = x_0

על פי רציפות \ f, מתקיים: \ f(x_{n_k})\rarr f(x_0),f(y_{n_k})\rarr f(x_0). מאריתמטיקה של גבולות נקבל \ f(x_{n_k})- f(y_{n_k})\rarr 0, וזו סתירה לכך שמתקיים \ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0 לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.