משפט קנטור לרציפות במידה שווה

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט קנטור על רציפות במידה שווה קובע כי פונקציה שהיא רציפה על קטע סגור היא רציפה במידה שווה בו.

המשפט חל על כל קבוצה קומפקטית: כל פונקציה רציפה מקבוצה קומפקטית למרחב מטרי, היא רציפה במידה שווה.

הוכחה

נציג כאן הוכחה המתבססת על ההגדרה של היינה לרציפות: פונקציה $\ f$ היא רציפה בנקודה $\ x_0$ אם ורק אם עבור כל סדרה $\ a_n$ השואפת לנקודה זו, $\ a_n\rarr x_0$ מתקיים $\ f(a_n)\rarr f(x_0)$. כלומר, ערכי תמונות איברי הסדרה שואפים לתמונת גבול הסדרה.

תהא כעת $\ f(x)$ פונקציה רציפה בקטע הסגור $\ [a,b]$. נניח בשלילה כי היא אינה רציפה במידה שווה בקטע זה, אז קיים $\ \varepsilon_0$ כך שעבור כל $\ n\isin\mathbb{N}$ קיימות שתי נקודות $\ x_n,y_n\isin[a,b]$ כך שמתקיים $\ |x_n-y_n|<\frac{1}{n}$, אבל $\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$.

נביט כעת בסדרה $\ \left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty$. כל אברי הסדרה שייכים לקטע $\ [a,b]$, כלומר זוהי סדרה חסומה. על פי משפט בולצאנו ויירשטראס, כל סדרה חסומה מכילה תת-סדרה המתכנסת לגבול סופי. מסגירות הקטע נובע שגבול הסדרה נמצא בתוכו, כלומר $\ x_{n_k}\rarr x_0\isin[a,b]$.

כעת נוכיח כי $\ y_{n_k}\rarr x_0$ - כלומר, אם אנו לוקחים מהסדרה השנייה תת-סדרה שלאיבריה אותם האינדקסים כמו לתת הסדרה הראשונה, גם היא תתכנס לאותו גבול.

יהא $\ \varepsilon>0$ כלשהו. עלינו למצוא $\ K>0$ כך שלכל $\ k>K$ יתקיים $\ |y_{n_k}-x_0|<\varepsilon$.

ראשית נשים לב כי מהתכנסות $\ x_{n_k}$ נובע שקיים $\ K_1$ כך שלכל $\ k>K_1$ מתקיים $\ |x_{n_k}-x_0|<\frac{\varepsilon}{2}$. קיים גם $\ N$ טבעי גדול דיו כך שיתקיים $\ \frac{1}{n}<\frac{\varepsilon}{2}$ לכל $\ n>N$, וקיים $\ K_2$ כך שלכל $\ k>K_2$ מתקיים $\ n_k>N$ (כלומר, החל ממקום מסוים בתת-הסדרה, האינדקסים של מיקום אברי תת-הסדרה בתוך הסדרה המקורית עוברים את המספר $\ N$).

נבחר $\ K=\max\left\{k_1,k_2\right\}$ ואז לכל $\ k>K$ יתקיים:

$\ |y_{n_k}-x_0|\le|y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-x_0|<\frac{1}{n_k}+\frac{\varepsilon}{2}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$.

המעבר הראשון הוא אי שוויון המשולש. המעבר השני נובע מהתכנסות$\ x_{n_k}$ ומהתכונה שעל פיה בנינו את הסדרות$\ x_n,y_n$. המעבר השלישי נובע מבחירת $\ K$ גדול דיו.

הראינו כי $\ y_{n_k}\rarr x_0$. כעת נובע, על פי רציפות $\ f$, שמתקיים: $\ f(x_{n_k})\rarr f(x_0),f(y_{n_k})\rarr f(x_0)$. מאריתמטיקה של גבולות נקבל $\ f(x_{n_k})- f(y_{n_k})\rarr 0$, וזו סתירה לכך שמתקיים $\ |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$ לכל אברי הסדרות. לכן ההנחה שהפונקציה אינה רציפה במידה שווה איננה נכונה, וההוכחה הושלמה.