משפט רול

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשה של המשפט: הקו הירוק, שהוא המשיק לגרף הפונקציה בנקודה c, מקביל לקו האדום המחבר את הקטע [a,b] ולציר ה-x.

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט רול (על שם מישל רול), הוא משפט בסיסי העוסק בתכונה של פונקציות רציפות וגזירות בקטע סגור. המשפט אומר כי אם פונקציה רציפה בקטע סגור והיא גם גזירה בו (פרט אולי לקצותיו) וערכיה בשני קצוות הקטע זהים, קיימת נקודה בה נגזרתה מתאפסת, כלומר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה זו הוא קו מאוזן.

מבחינה לא פורמלית ניתן לתאר את המשפט כך: אם מצוירת פונקציה בין שתי נקודות באותו גובה (אותו ערך של y) בלי שהעיפרון מורם מהדף ובלי היווצרות 'שפיצים', תהיה לפחות נקודה אחת שבה העיפרון נע בדיוק בקו ישר ביחס למערכת הצירים, ולא באלכסון כלשהו.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ f פונקציה רציפה בקטע הסגור \left[a,b\right] וגזירה בקטע הפתוח \left(a,b\right) כך שמתקיים \ f(a)=f(b). אז קיימת נקודה \ c\isin (a,b) כך שמתקיים \ f'(c)=0.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

על פי משפט ויירשטראס השני, פונקציה רציפה בקטע סגור מקבלת בו מינימום ומקסימום. אם גם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצוות (אשר, לפי הנתון, שווים בערכם) הרי שהפונקציה קבועה, והנגזרת שלה היא אפס בכל נקודה. אחרת, נניח למשל שהמקסימום מתקבל בתוך הקטע. אז על פי משפט פרמה ערך הנגזרת בנקודת המקסימום הוא 0, כנדרש. עבור מינימום שמתקבל בתוך הקטע ההוכחה זהה.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אף שהמשפט נדמה כמעט טריוויאלי, קיימות לו שתי הכללות שימושיות מאוד: משפט הערך הממוצע של לגראנז' ומשפט הערך הממוצע של קושי.