משפט הערך הממוצע של קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המחשה גאומטרית של משפט הערך הממוצע של קושי: קיים משיק למסילה (f(t),g(t)) שמקביל לישר המחבר את (f(a),g(a)) עם (f(b),g(b)).

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט הערך הממוצע של קושי הוא הכללה של משפט הערך הממוצע של לגראנז' עבור זוג פונקציות. למשפט מספר שימושים מועילים, דוגמת הוכחת כלל לופיטל.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהיינה \ f ו-\ g פונקציות רציפות בקטע \left[a,b\right] וגזירות בקטע \left(a,b\right). כמו כן, נניח שהנגזרת של \ g אינה מתאפסת בקטע הפתוח (ולכן לפי משפט רול \ g(b)\ne g(a)). אזי קיימת נקודה c\isin (a,b) כך שמתקיים \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. ראו המחשה למשפט זה באיור משמאל.

משפט הערך הממוצע של לגראנז' הוא המקרה \ g(t) = t.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית נשים לב כי אם \ g(b)= g(a) אז על פי משפט רול קיימת נקודה \ x\isin(a,b) כך ש-\ g'(x)=0, וזאת בסתירה להנחה. לכן בהכרח \ g(b)\ne g(a).

כעת נגדיר פונקציה חדשה: \ F(x)=(f(x)-f(a))-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a)). פונקציה זו נבנית מהפונקציות \ f,g באמצעות פעולות אלמנטריות של חיבור, חיסור, וכפל, ולכן, כמו \ f,g, היא רציפה בקטע \ [a,b] וגזירה בקטע \ (a,b).

אם נציב, נקבל את השוויון \ F(a)=F(b)=0. לכן F מקיימת את תנאי משפט רול, ומכאן שקיימת נקודה \ c\isin(a,b) כך ש-\ F'(c)=0.

אבל \ F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(x). ולכן: \ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c) .

על פי הנתון, \ g'(c)\ne 0 ולכן ניתן לחלק, ולקבל \ \frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}, כמבוקש.

דוגמה ומסקנה במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בכדי להמחיש את קיום המשפט, נדגים מקרה פרטי פשוט: שתי פונקציות \ f(x), g(x) לינאריות בקטע \left[a,b\right]. נסמן \ \forall x_0\in [a,b] ,\ f'(x_0)=m, g'(x_0)=n, ונדרוש, בהתאם לדרישות המשפט: \ n\ne 0.

מאחר ובחרנו \ f(x), g(x) בעלות נגזרת קבועה בקטע, אזי על פי המשפט מתקיים: \frac{m}{n}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}. ממשוואת הקו הישר נובע: \ f(b)-f(a)=m(b-a), ובאותו אופן: \ g(b)-g(a)=n(b-a).

ומכאן קל לראות ש: \frac{m}{n}=\frac{m(b-a)}{n(b-a)} מתקיים.

מהדוגמה ניתן לראות שמשפט הערך הממוצע של קושי, במקרה הפרטי של שתי פונקציות לינאריות בקטע מסוים, אומר שיחס שיפועי הפונקציות זהה ליחס גדילת הפונקציות לאורך הקטע.