בסיס (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
מ בוט החלפות: $1ייחודי; |
|||
שורה 10: | שורה 10: | ||
אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (ל''איזושהי'' טופולוגיה) אם X [[כיסוי (טופולוגיה)|מכוסה]] על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות <math>\ b_1,b_2 \in B</math> ונקודה בחיתוך <math>\ x\in b_1 \cap b_2</math>, קיימת קבוצה <math>\ b_3 \in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2</math>. |
אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (ל''איזושהי'' טופולוגיה) אם X [[כיסוי (טופולוגיה)|מכוסה]] על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות <math>\ b_1,b_2 \in B</math> ונקודה בחיתוך <math>\ x\in b_1 \cap b_2</math>, קיימת קבוצה <math>\ b_3 \in B</math> בבסיס, כך ש- <math>\ x \in b_3 \subset b_1 \cap b_2</math>. |
||
אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף |
אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האייחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X. |
||
=== תת-בסיס === |
=== תת-בסיס === |
||
'''תת-בסיס''' של מרחב טופולוגי <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ S</math> של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן |
'''תת-בסיס''' של מרחב טופולוגי <math>\ ( X,\tau )</math> הוא אוסף <math>\ S</math> של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן אייחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S. |
||
== מושגים קרובים == |
== מושגים קרובים == |
גרסה מ־03:10, 2 ביולי 2007
בטופולוגיה, בסיס ותת-בסיס הן דרכים חסכוניות לתאור המבנה של מרחב טופולוגי. מן הקבוצות בבסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בדרך של איחוד, ומן הקבוצות בתת-בסיס אפשר לבנות את הקבוצות הפתוחות בעזרת פעולות האיחוד והחיתוך.
הגדרה
בסיס
בסיס של מרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, כך שכל קבוצה פתוחה מהווה איחוד של אברים מן הבסיס; במלים אחרות, . מנקודת המבט של הנקודות במרחב, אפשר לתאר בסיס כאוסף B של קבוצות פתוחות, כך שלכל ולכל קבוצה פתוחה , קיימת קבוצה בבסיס, כך ש- .
בסיס נקרא גם מערכת סביבות יסודית.
אוסף B של קבוצות במרחב X הוא בסיס (לאיזושהי טופולוגיה) אם X מכוסה על-ידי האוסף, ולכל שתי קבוצות ונקודה בחיתוך , קיימת קבוצה בבסיס, כך ש- . אם מתקיימות שתי תכונות אלה, אז אוסף האייחודים של קבוצות מן הבסיס מהווה טופולוגיה על X.
תת-בסיס
תת-בסיס של מרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, כך שאוסף החיתוכים הסופיים של קבוצות מ- S הוא בסיס. כל אוסף המכסה את המרחב הוא תת-בסיס לאיזושהי טופולוגיה; במקרה כזה, הקבוצות הפתוחות בטופולוגיה הן אייחודים של חיתוכים סופיים של קבוצות מ- S.
מושגים קרובים
- מרחב טופולוגי מקיים את אקסיומת המנייה השניה, אם יש לו בסיס בן מניה.
- בסיס מקומי: אוסף B של קבוצות פתוחות במרחב טופולוגי היא "בסיס מקומי" סביב הנקודה x, אם כל קבוצה פתוחה המכילה את x מכילה איבר של B המכיל את x.
- אקסיומת המנייה הראשונה היא התכונה שיש במרחב, סביב כל נקודה, בסיס מקומי בן מניה.
דוגמאות
- במרחב מטרי, אוסף כל הכדורים הפתוחים הוא בסיס לטופולוגיה המושרית על ידי המטריקה.
- בהישר הממשי, הקבוצה היא טופולוגיה ובפרט בסיס. לכן, כבסיס לטופולגיה, יוצרת משפחה זו את עצמה.
- במרחב עם הטופולוגיה המטרית (המטריקה היא הערך המוחלט) הקבוצה היא תת-בסיס לטופולוגיה המטרית.
- הישר של סורגנפריי מוגדר באמצעות בסיס של קבוצות מהצורה (a,b] כאשר a ו b מספרים ממשיים כלשהם.