לדלג לתוכן

תפריט ניווט

הבדלים בין גרסאות בדף "מערכת משוואות ליניאריות"

מ
בוט החלפות: על ידי, הווקטור
מ (בוט החלפות: על ידי, הווקטור)
[[תמונה:Secretsharing-3-point.png|שמאל|ממוזער|250px|המחשה [[גאומטריה|גאומטרית]] של שלוש משוואות, המיוצגות על- ידי שלושה [[מישור (גאומטריה)|מישורים]]. פתרון המערכת הוא ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] המשותפת לכולם]]
ב[[מתמטיקה]], '''מערכת משוואות לינאריות''' היא אוסף של [[משוואה לינארית|משוואות לינאריות]] באותם [[משתנה|משתנים]]. '''פתרון''' של המערכת הוא ערכים עבור המשתנים, שהצבתם בכל אחת מהמשוואות תיתן פסוק אמת.
במסגרת ה[[אלגברה לינארית|אלגברה הלינארית]] פותחה תאוריה מלאה של מערכות מסוג זה, ויש אלגוריתמים מהירים ויעילים לפתרון שלהן.
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
הצגה כזאת מאפשרת שימוש בתכונות של [[מרחב וקטורי]]. לדוגמה, האוסף של הצירופים הלינארים של הווקטורים בצד שמאל נקרא ה[[קבוצה פורשת|קבוצה הפורשת]] שלהם, ולמערכת יש פתרון רק כאשר הווקטור בצד ימין נמצא בקבוצה הזאת. במקרה כזה, הפתרון הוא מקדמי ההצגה. הבחנה זו מובילה ל[[משפט רושה קפלי]], הקובע שלמערכת יש פתרון אם ורק אם דרגת המטריצה של המקדמים שווה לדרגת המטריצה שלה מוסיפים את הוקטורהווקטור הקבוע. אם אפשר להציג כל וקטור להביע אותו כצירוף לינארי של הווקטורים בצד שמאל, אז כל פתרון הוא ייחודי. בכל מקרה, למערכת יש [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של וקטורים שאינם [[תלות לינארית|תלויים לינארית]] שמבטיחים בדיוק ביטוי אחד, ומספר הווקטורים בבסיס אינו יכול להיות גדול מ-m או n, אך יכול להיות קטן מהם.
 
===הצגה באמצעות מטריצות===