הומיאומורפיזם

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־16:06, 24 בספטמבר 2013

הומיאומורפיזם (נקרא גם שקילות טופולוגית) הוא פונקציה חד-חד-ערכית ועל בין שני מרחבים טופולוגיים השומרת על הטופולוגיה. באופן אינטואיטיבי יותר, זוהי פונקציה שרק מעקמת/מותחת/מעוותת את המרחב באופן רציף אך לא יוצרת בו קרעים או חורים.

פונקציות רציפות במרחב טופולוגי

הגדרה פורמלית של רציפות בטופולוגיה

יהיו $(Y,\mathbb {O} _{Y})$ ו- $(X,\mathbb {O} _{X})$ מרחבים טופולוגיים.

נאמר שהעתקה $\ f:X\to Y$ היא רציפה אם המקור של כל קבוצה פתוחה הוא בעצמו קבוצה פתוחה. בניסוח פורמלי: לכל $\ V_{Y}\in \mathbb {O} _{Y}$ הקבוצה

\ V_{X}=f^{-1}(V_{Y})=\{x\in X\ |\ f(x)\in V_{Y}\}

היא קבוצה פתוחה ב- $\ X$ , כלומר: $\ V_{X}\in \mathbb {O} _{X}$ .

הגדרה זו היא הכללה של מושג הרציפות ממרחבים מטריים.

משפט

התכונות הבאות לגבי העתקה $\ f:X\to Y$ בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות:

$\ f$ היא פונקציה רציפה.
התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת בסיס של הטופולוגיה ב- $\ Y$ .
התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"קבוצה סגורה".
$\ f$ רציפה נקודתית בכל $\ x$ במרחב. כלומר, לכל $\ x$ , לכל סביבה $\ V$ של $\ f(x)$ קיימת סביבה $\ W$ של $\ x$ כך ש- $\ f(W)\subseteq V$ .
לכל $\ A\subseteq X$ מתקיים: $\ f\!\left({\overline {A}}\right)\subseteq {\overline {f(A)}}$ כאשר ${\overline {B}}=\operatorname {cl} (B)$ הוא הסגור של קבוצה $\ B$ .

תכונות

הרכבה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.

הגדרה פורמלית

יהיו $(Y,\mathbb {O} _{Y})$ ו- $(X,\mathbb {O} _{X})$ מרחבים טופולוגיים.

נאמר שהעתקה $\ f:X\to Y$ היא הומיאומורפיזם אם:

ההעתקה $\ f$ היא חד-חד-ערכית ועל, כלומר קיימת $\ f^{-1}$ .
ההעתקה $\ f$ היא רציפה.
ההעתקה ההפוכה $\ f^{-1}$ רציפה גם כן.

נשים לב שגם ההעתקה ההפוכה $\ f^{-1}$ היא הומיאומורפיזם בין הטופולוגיות.

מרחבים $\ X$ ו- $\ Y$ שקיים ביניהם הומיאומורפיזם נקראים הומיאומורפיים (או שקולים טופולוגית).

תכונה טופולוגית הנשמרת תחת הומיאומורפיזם נקראת שמורה טופולוגית. דוגמה לשמורה טופולוגית היא קומפקטיות.

משפט

כדי להראות ש- $\ f$ חח"ע ועל היא הומיאומורפיזם מספיק להראות ש:

ההעתקה $\ f$ רציפה.
ההעתקה $\ f$ פתוחה: לכל $\ V\subseteq X$ קבוצה פתוחה ב- $\ X$ , התמונה שלה $\ f(V)\subseteq Y$ פתוחה ב- $\ Y$ .

או ש:

ההעתקה $\ f$ רציפה.
ההעתקה $\ f$ סגורה: לכל $\ F\subseteq X$ קבוצה סגורה ב- $\ X$ , התמונה שלה $\ f(F)\subseteq Y$ סגורה ב- $\ Y$ .

משמעות ושימושיים

הומיאומורפיזם בין שני מרחבים טופולוגיים אומר שמבחינה טופולוגית הם זהים, עד כדי מתן שמות שונים לאיברי כל מרחב. ההומיאמורפיות של הפונקציה מספקת גם התאמה חח"ע ועל בין הטופולוגיות של כל מרחב ומערכת הסביבות של כל נקודה.

באופן אינטואיטיבי יותר, זוהי פונקציה שרק מעקמת/מותחת/מעוותת את המרחב באופן רציף אך לא יוצרת בו קרעים או חורים. משמעות זו רלוונטית הרבה יותר כאשר עוסקים בטופולוגיה אלגברית ולא רק בטופולוגיה קבוצתית.

ראו גם

@@ שורה 5: / שורה 5: @@
 === הגדרה פורמלית של רציפות בטופולוגיה ===
-יהיו <math> ( Y , \mathbb{O}_Y ) </math> ו <math> ( X , \mathbb{O}_X ) </math> מרחבים טופולוגיים.
+יהיו <math> ( Y , \mathbb{O}_Y ) </math> ו-<math> ( X , \mathbb{O}_X ) </math> מרחבים טופולוגיים.
 נאמר שהעתקה <math>\ f: X \to Y</math> היא '''[[רציפות (טופולוגיה)|רציפה]]''' אם המקור של כל קבוצה פתוחה הוא בעצמו קבוצה פתוחה. בניסוח פורמלי: לכל <math>\ V_Y \in \mathbb{O}_Y</math> הקבוצה
-: <math>\ V_x = f^{-1}(V_Y) = \{ x \in X \ | \ f(x) \in V_Y \}</math>
+: <math>\ V_X = f^{-1}(V_Y) = \{ x \in X \ | \ f(x) \in V_Y \}</math>
-היא [[קבוצה פתוחה]] ב-<math>\ X</math>, כלומר: <math>\ V_x \in \mathbb{O}_X</math>.
+היא [[קבוצה פתוחה]] ב-<math>\ X</math>, כלומר: <math>\ V_X \in \mathbb{O}_X</math>.
 הגדרה זו היא הכללה של מושג ה[[רציפות]] ממרחבים מטריים.
 === משפט ===
 התכונות הבאות לגבי העתקה <math>\ f: X \to Y</math> בין שני מרחבים טופולוגיים הן שקולות:
-# ההעתקה <math>\ f</math> היא פונקציה רציפה.
+# <math>\ f</math> היא פונקציה רציפה.
-# התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה בתת-בסיס של הטופולוגיה ב-<math>\ Y</math> .
+# התכונה שבהגדרה מתקיימת לכל קבוצה ב[[תת בסיס]] של הטופולוגיה ב-<math>\ Y</math> .
 # התכונה שבהגדרה נכונה אם מחליפים כל מופע של "קבוצה פתוחה" ב"[[קבוצה סגורה]]".
-# <math>\ f</math> רציפה נקודתית בכל <math>\ x</math> במרחב. כלומר, לכל <math>\ x</math>, לכל סביבה של <math>\ f(x)</math>  קיימת סביבה <math>\ W</math> של <math>\ x</math> כך ש-<math>\ F(W) \subset V</math>.
+# <math>\ f</math> רציפה נקודתית בכל <math>\ x</math> במרחב. כלומר, לכל <math>\ x</math>, לכל סביבה <math>\ V</math> של <math>\ f(x)</math> קיימת סביבה <math>\ W</math> של <math>\ x</math> כך ש-<math>\ f(W) \subseteq V</math>.
-# לכל <math>\ A \subset X</math> מתקיים: <math>\ f(\bar{A}) \subset \overline{ F(A) }</math>.
+# לכל <math>\ A \subseteq X</math> מתקיים: <math>\ f\!\left(\overline{A}\right) \subseteq \overline{ f(A) }</math> כאשר <math>\overline{B}=\operatorname{cl}(B)</math> הוא ה[[סגור (טופולוגיה)|סגור]] של קבוצה <math>\ B</math>.
 === תכונות ===
 * הרכבה של פונקציות רציפות היא פונקציה רציפה.
 == הומיאומורפיזם ==
@@ שורה 48: / שורה 45: @@
 כדי להראות ש-<math>\ f</math> חח"ע ועל היא הומיאומורפיזם מספיק להראות ש:
 # ההעתקה <math>\ f</math> רציפה.
-# ההעתקה <math>\ f</math> פתוחה: לכל <math>\ V \subset X</math> [[קבוצה פתוחה]] ב-<math>\ X</math>, התמונה שלה <math>\ f(V) \subset Y</math> פתוחה ב-<math>\ Y</math>.
+# ההעתקה <math>\ f</math> פתוחה: לכל <math>\ V \subseteq X</math> [[קבוצה פתוחה]] ב-<math>\ X</math>, התמונה שלה <math>\ f(V) \subseteq Y</math> פתוחה ב-<math>\ Y</math>.
 או ש:
 # ההעתקה <math>\ f</math> רציפה.
-# ההעתקה <math>\ f</math> סגורה: לכל <math>\ F \subset X</math> [[קבוצה סגורה]] ב-<math>\ X</math>, התמונה שלה <math>\ f(F) \subset Y</math> סגורה ב-<math>\ Y</math>.
+# ההעתקה <math>\ f</math> סגורה: לכל <math>\ F \subseteq X</math> [[קבוצה סגורה]] ב-<math>\ X</math>, התמונה שלה <math>\ f(F) \subseteq Y</math> סגורה ב-<math>\ Y</math>.
 == משמעות ושימושיים ==

טופולוגיה קבוצתית
מושגי יסוד	מרחב מטרי • מרחב טופולוגי • פונקציה רציפה • הומיאומורפיזם
בתוך המרחב	קבוצה פתוחה • קבוצה סגורה • פנים • סגור • שפה • סביבה • נקודת הצטברות • קבוצה צפופה • קבוצה דלילה • בסיס • סדרת קושי
תכונות של מרחבים טופולוגיים
אקסיומות ההפרדה	T₀ • ‏ T₁ • ‏ T₂ (מרחב האוסדורף) • T_2.5 • מרחב האוסדורף לחלוטין • T₃ (מרחב רגולרי) • T_3.5 • ‏ T₄ (מרחב נורמלי) • T₅ • ‏ T₆ • מרחב מטריזבילי
אקסיומות המנייה	С₁ • ‏ С₂ • מרחב ספרבילי
קומפקטיות	קבוצה קומפקטית • מרחב קומפקטי מקומית • מרחב לינדלף • קבוצה קומפקטית יחסית • מרחב פרה-קומפקטי
תכונות נוספות	מרחב שלם • קשירות • מרחב בייר • מרחב פולני
ק
בניות	מרחב מכפלה • טופולוגיה מושרית • מרחב מנה • קומפקטיפיקציה (קומפקטיפיקציה חד-נקודתית, הקומפקטיפיקציה של סטון צ'ך) • השלמה
משפטים	הלמה של אוריסון • משפט טיטצה • משפט המטריזציה של אוריסון • משפט טיכונוף • משפט הקטגוריה של בייר
דוגמאות	קבוצת קנטור • עקומת הסינוס של הטופולוגים • מרחב המסרק • הישר הארוך • מישור מור • מרחב אוריסון אוניברסלי
שונות	טופולוגיה חלשה • תכונה מקומית • אלומה • מרחב כיסוי
נושאים בטופולוגיה: טופולוגיה קבוצתית • טופולוגיה אלגברית • טופולוגיה גאומטרית נושאים באנליזה מתמטית: חשבון אינפיניטסימלי (מונחון) • אנליזה וקטורית • משוואות דיפרנציאליות רגילות וחלקיות • טופולוגיה קבוצתית וגאומטרית • אנליזה מרוכבת • אנליזה פונקציונלית • תורת המידה