העתקה לינארית

באלגברה לינארית, העתקה לינארית או טרנספורמציה לינארית, היא העתקה (פונקציה) ממרחב וקטורי אל מרחב וקטורי, אשר מקיימת את שתי התכונות של שימור חיבור (אדיטיביות) ושימור כפל בסקלר (הומוגניות). החשיבות של ההגדרה טמונה בעובדה שהעתקה לינארית היא פונקציה בין שני מרחבים וקטורים אשר שומרת על תכונות המרחבים, ומהווה הומומורפיזם בין המרחבים.

מושג מרכזי באלגברה לינארית הוא המטריצה, שבאמצעותה ניתן לתאר באופן יעיל העתקות לינארית; כל מטריצה מתארת באופן מדויק העתקה לינארית, וכל העתקה לינארית ניתנת לייצוג ככפל של מטריצה בוקטור במרחב. תכונה שימושית זאת מאפשרת להסתכל על מטריצות כפונקציות בין מרחבים וקטורים, ולהסתכל על העתקות לינארית כמטריצות.

להעתקה לינארית ממרחב $\ V$ אל עצמו, כלומר $\ T:V \rightarrow V$ , נהוג לעיתים לקרוא אופרטור לינארי, אך המושג אופרטור לינארי משמש גם לתיאור העתקה לינארית כלשהי.

[עריכה] הגדרה

העתקה $\ T$ ממרחב וקטורי $\ V$ אל מרחב וקטורי $\ W$ (מסמנים $\ T:V \rightarrow W$ ) תקרא העתקה לינארית או טרנספורמציה לינארית, אם מתקיימים התנאים הבאים:

$\ T$ משמרת חיבור (אדיטיביות): לכל שני וקטורים $\ v,u$ השייכים למרחב $\ V$ מתקיים

$\ T(v+u)=T(v)+T(u)$

$\ T$ משמרת כפל בסקלר (הומוגניות): לכל וקטור $\ v$ השייך למרחב $\ V$ , ולכל סקלר $\ \alpha$ השייך לשדה מתקיים:

$\ T(\alpha v)=\alpha T(v)$

משמעות התנאים הללו היא שאין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $\ T$ (אשר מניבה את תמונת הפונקציה) על כל וקטור בנפרד ואחר כך מחברים את התמונות, או שמחברים את הווקטורים $\ v,u$ ולאחר מכן מפעילים על הסכום את העתקה - התוצאה תהיה זהה, דהיינו נשמר החיבור (אדיטיביות). באותו אופן, אין זה משנה אם מפעילים את ההעתקה $\ T$ על התוצאה של כפל הווקטור $\ v$ בסקלר $\ \alpha$ , או שמפעילים את ההעתקה על הווקטור $\ v$ ולאחר מכן כופלים את התמונה בסקלר $\ \alpha$ - הכפל נשמר (הומוגניות). שתי תכונות אלו מרכיבות את תכונת הלינאריות.

מההגדרה נובעת התכונה הכללית:

$\ T \left( \sum_{k=1}^{n}{\lambda_k v_k} \right) = \sum_{k=1}^{n}{ \lambda_k {T(v_k)}}$

מסקנה נוספת אשר נובעת מההגדרה:

$\ T(0) = 0$

[עריכה] דוגמאות

אם $\ A$ היא מטריצה מסדר $\ m \times n$ , אז $\ A$ מגדירה העתקה לינארית מ- $\mathbb R ^n$ ל- $\mathbb R ^m$ כאשר היא פועלת על וקטורי עמודה ב $\mathbb R ^n$ על ידי כפל מטריצות מימין. זוהי דוגמה חשובה ושימושית ביותר, כיוון שניתן לייצג כל העתקה לינארית בין מרחבים מממד סופי בדרך זו.

טרנספורמציית האפס (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את איבר האפס בטווח) וטרנספורמציית הזהות (פונקציה המתאימה לכל איבר בתחום את עצמו) הן טרנספורמציות לינאריות.

טרנספורמציות סיבוב ושיקוף הן טרנספורמציות לינאריות. לדוגמה, ב- $\mathbb R ^2$ , הטרנספורמציה המשקפת כל וקטור יחסית לציר ה $\,x$ היא טרנספורמצייה לינארית.

גזירה היא העתקה לינארית ממרחב הפונקציות הגזירות למרחב הפונקציות (מרחבים מממד אינסופי).

[עריכה] סוגי העתקות לינאריות

יהיו $\ V$ ו- $\ W$ מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו $\ F$ , ו- $\ T$ העתקה לינארית מ- $\ V$ ל- $\ W$ .

אם מתקיים שוויון בין ממדי המרחבים $\ V$ ו- $\ W$ , אזי אם $\ T$ היא חד חד ערכית, היא גם על, ולהיפך: אם $\ T$ על, היא גם חד חד ערכית. בשני המקרים זה גורר ש- $\ T$ היא איזומורפיזם. אומרים כי המרחב הוקטורי V הוא הופפיאני וקו-הופפיאני.

[עריכה] מרחב ההעתקות הלינאריות

אוסף כל ההעתקות הלינאריות מ- $\mathbb R ^n$ ל- $\mathbb R ^m$ מהווה בעצמו מרחב וקטורי מממד $\ m \cdot n$ . על מנת שמשפט זה יהיה מוגדר כהלכה, עלינו להגדיר חיבור של העתקות לינאריות וכפל בסקלר. את זאת נעשה בדרך הטריוויאלית. אם $\ T_1,T_2$ הן העתקות לינאריות מ $\mathbb{R} ^n$ ל $\mathbb{R}^m$ , ו $\ \alpha$ הוא אבר בשדה אז נגדיר חיבור בין העתקות וכפל של העתקה בסקלר כך:

$\ (T_1+T_2)(v) = T_1(v) +T_2(v)$
$(\alpha T_1)(v) = \alpha \cdot T_1(v)$

[עריכה] גרעין ותמונה של העתקה לינארית

תהי טרנספורמציה לינארית $\ T:V \rightarrow W$ .

הגרעין של $\ T$ , המסומן $\ \ker(T)$ (מהמילה Kernel - גרעין), הוא קבוצה המכילה את כל הווקטורים ב $\ V$ שהטרנספורמציה מעבירה לוקטור ה- $\ 0$ של $\ W$ . כלומר:

$\ \ker (T) = \{v \in V | T(v) = 0 \}$

משימוש בתכונות הטרנספורמציה הלינארית קל לראות כי הגרעין הוא מרחב וקטורי חלקי (תת-מרחב) ל- $\ V$ - משמע, הוא סגור לחיבור וכפל בסקלר.

התמונה של $\ T$ , המסומנת $\ \operatorname{Im}(T)$ (מהמילה Image - תמונה) היא קבוצה המכילה את כל איברי $\ W$ שקיים להם מקור ב- $\ V$ , כלומר:

$\ \operatorname{Im} (T) = \{w \in W | w=T(v), v \in V \}$

גם התמונה של טרנספורמציה לינארית סגורה לחיבור וכפל בסקלר, ולכן מהווה מרחב וקטורי, החלקי ל- $\ W$ .

תכונה חשובה המתקיימת עבור העתקות היא משפט הממד עבור העתקות במרחב מממד סופי:

משפט הממד: לכל מרחב $\ V$ מממד סופי ולכל טרנספורמציה לינארית $\ T:V \rightarrow W$ מתקיים:

$\ \dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))=\dim(V)$ .

נשים לב כי אין תלות כלל בממד של $\ W$ , אלא רק בממד של $\ V$ , שהוא התחום.

הוכחה: יהיו $\{ \ v_1,..., \ v_n \}$ הבסיס של $\ \ker(T)$ ויהיו $\{ \ u_1,..., \ u_m \}$ וקטורים כך ש- $\{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \}$ מהווים בסיס ל $\ \operatorname{Im}(T)$

צ"ל: $\{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \}$ מהווה בסיס ל-V.

נראה כי הקבוצה בת"ל (בלתי תלויה לינארית): יהיו $\ a_1,...,\ a_n,\ b_1,...,\ b_m$ סקלרים כך ש- $\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = 0_V$

לכן בהכרח $0_W = \ T (0_V) = \ T (\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j}) = \sum_{i=1}^{n}{ a_i \ T (v_i)} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j \ T (u_j)} = 0 + \sum_{j=1}^{m}{ b_j \ T (u_j)} = \sum_{j=1}^{m}{ b_j \ T (u_j)}$

לכן, מכיוון ש- $\{\ T(u_1),..., \ T(u_m) \}$ בת"ל, לכל $\ j$ מתקיים $\ b_j = 0$

נציב ב- $\sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = 0_V$ ונקבל כי $0_V = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i}$

ומכיוון ש- $\{ \ v_1,..., \ v_n \}$ בת"ל נקבל כי לכל $\ i$ מתקיים כי $\ a_i = 0$

כלומר, רק עבור הסקלרים הטריביאליים הקומבינציה של הקבוצה $\{\ v_1,..., \ v_n, \ u_1,..., \ u_m \}$ שווה $\ 0_V$ ולכן הקבוצה בת”ל מעל F.

נראה כי הקבוצה פורשת: יהי $\vec v \in \ V$ , מתקיים $\ T(\vec v) \in \ \operatorname{Im}(T)$ לכן, קיימים סקלרים $\ b_1,...,\ b_m$ כך ש- $\sum_{j=1}^{m}{ b_j T (u_j)} = \ T (\vec v)$ .

נעביר אגפים ונקבל כי $0_W = \ T (\vec v) - \sum_{j=1}^{m}{ b_j T (u_j)} = \ T (\vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} )$ ולכן $\vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} \in \ \ker(T)$

לכן, קיימים סקלרים $\ a_1,..., \ a_n$ כך ש- $\vec v - \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j} = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i}$ ולכן $\vec v = \sum_{i=1}^{n}{ a_i v_i} + \sum_{j=1}^{m}{ b_j u_j}$