סגור (טופולוגיה) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
LaaknorBot (שיחה | תרומות) מ בוט מוסיף: sv:Slutet hölje |
|||
שורה 8: | שורה 8: | ||
* <math>\!\, \mbox{Cl}(S)</math> היא קבוצת כל האיברים של <math>\!\, X</math> שבכל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שלהם קיים איבר של <math>\!\, S</math> (לא בהכרח שונה מהם). |
* <math>\!\, \mbox{Cl}(S)</math> היא קבוצת כל האיברים של <math>\!\, X</math> שבכל [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שלהם קיים איבר של <math>\!\, S</math> (לא בהכרח שונה מהם). |
||
*<math>\!\, \mbox{Cl}(S)=S\cup S'</math>, כאשר <math>\!\, S'</math> היא |
*<math>\!\, \mbox{Cl}(S)=S\cup S'</math>, כאשר <math>\!\, S'</math> היא [[הקבוצה הנגזרת]] של <math>\!\, S</math>. |
||
* הגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C</math>. |
* הגדרה באמצעות ה[[פנים (טופולוגיה)|פנים]] של ה[[משלים (תורת הקבוצות)|משלים]] של הקבוצה: <math>\!\, \mbox{Cl}(A)=\left(\mbox{Int}(A^C)\right)^C</math>. |
||
גרסה מ־02:21, 8 בדצמבר 2008
בטופולוגיה, סְגוֹר של קבוצה S השייכת למרחב X הוא הקבוצה הסגורה הקטנה ביותר המכילה את S. מבחינה אינטואיטיבית אפשר לחשוב עליו כעל קבוצה המכילה את אברי S ואת כל הנקודות ש"נוגעות" בקבוצה S.
הגדרה פורמלית
יהא מרחב טופולוגי כלשהו, ותהא קבוצה. אם היא קבוצת הקבוצות הסגורות המקיימות , אז הסגור של יסומן או , ויוגדר על ידי:
- .
נביא כאן מספר הגדרות אלטרנטיביות ששקולות להגדרה שהבאנו (כלומר, ניתן להוכיח אותן מההגדרה, ואם מקבלים אותם כהגדרה, ניתן להוכיח מהם את ההגדרה המקורית):
- היא קבוצת כל האיברים של שבכל סביבה שלהם קיים איבר של (לא בהכרח שונה מהם).
- , כאשר היא הקבוצה הנגזרת של .
- הגדרה באמצעות הפנים של המשלים של הקבוצה: .
דוגמאות
- הסגור של הקטע הפתוח הוא הקטע הסגור .
- הסגור של קבוצת המספרים הרציונלים הוא הישר הממשי כולו .
תכונות הנוגעות לסגור
- כל קבוצה סגורה שווה לסגור שלה: . בפרט הסגור הוא קבוצה סגורה ולכן .
- .
- .
- .
- היא פונקציה רציפה אם ורק אם לכל בתחום שלה מתקיים . בפרט, הסגור של קבוצה קשירה הוא קשיר.
- אם קבוצה קשירה, לכל מתקיים שגם קבוצה קשירה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה צפופה.
- קבוצה במרחב המקיימת נקראת קבוצה דלילה.
נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הפנים.