כלל הסנדוויץ'

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

כלל הסנדוויץ' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות בחשבון אינפיניטסימלי. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה (או פונקציה) שגבולה אינו ידוע, בין שתי סדרות (או פונקציות) אחרות שגבולותיהן ידועים ושווים זה לזה, אז לסדרה (או לפונקציה) החסומה יש גבול, והוא שווה לגבול הסדרות (או הפונקציות) החוסמות.

בניסוח מתמטי: אם \left\{ a_n \right\} \left\{ b_n \right\} ו-\left\{ c_n \right\} סדרות שמקיימות:

\ b_n \le a_n \le c_n , \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n =L

אז גם לסדרה \left\{ a_n \right\} יש גבול, \lim_{n \to \infty} a_n = L.

הכלל משמש גם בגבולות של פונקציות. אם \ h(x) , g(x) , f(x) פונקציות שמקיימות:

\ h(x) \le f(x) \le g(x) , \lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} g(x) = L

אז הגבול של \ f בנקודה \ a קיים,  \lim_{x \to a} f(x) = L

כלל דומה תקף למקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה (או פונקציה) על ידי סדרה (או פונקציה) ששואפת לאינסוף, אז גם הסדרה המקורית שואפת לאינסוף.

ברעיון שמאחורי המשפט השתמש כבר ארכימדס במאה השלישית לפני הספירה לחישוב היקף מעגל: הוא חסם אותו מבפנים ומבחוץ במצולעים משוכללים עם אותו מספר צלעות וחישב את היקפם, ועל ידי הגדלת מספר הצלעות הלך והתקרב לערך המדויק. שיטה זו קרויה שיטת המיצוי. המשפט נוסח בצורה מדויקת על ידי גאוס.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכיח קודם כל את הכלל עבור סדרות, באמצעות ההגדרות הבסיסיות של גבולות.
יהי \ \epsilon > 0 נרצה למצוא מספר טבעי \ N כך שעבור כל \ n \ge N המרחק של \ a_n מ-\ L יהיה לכל היותר \ \epsilon.

הסדרה \ b_n מתכנסת ל-\ L כלומר קיים \ N_1 כך שלכל \ n > N_1 מתקיים \ |b_n-L| < \epsilon ובפרט \ L - \epsilon  < b_n .

מצד שני הסדרה \ c_n מתכנסת ל-\ L כלומר קיים \ N_2 כך שלכל \ n > N_2 מתקיים \ |c_n-L| < \epsilon ובפרט \ L + \epsilon  > c_n .

נסמן ב- \ N את המקסימום של \ N_1 ושל \ N_2. לכל מספר טבעי שגדול מ-\ N גם המרחק של \ b_n מ-L קטן מ-\ \epsilon וגם המרחק של \ c_n מ-\ L קטן מ- \ \epsilon.

בנוסף ידוע שלכל מספר טבעי n מתקיים אי השוויון \ b_n \le a_n \le c_n. נכתוב את כל אי השיוויונות שקיבלנו יחד:

לכל \ n > N מתקיים \ L-\epsilon < b_n \le a_n \le c_n < L+\epsilon

כלומר לכל \ n > N מתקיים \ L-\epsilon < a_n < L+\epsilon.
התחלנו עם מספר חיובי כלשהו והראנו שהחל ממקום מסוים בסדרה, המרחק של \ a_n מ-\ L קטן מאותו מספר חיובי, כלומר

 \lim_{n \to \infty} a_n =L

ניתן להוכיח את הכלל עבור פונקציות בדיוק באותו אופן, או תוך שימוש בהגדרת הגבול של הפונקציות על ידי סדרות (הגדרת הגבול של היינה).

דוגמות[עריכת קוד מקור | עריכה]

סדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את גבול הסדרה \ a_n = \sqrt[n]{5^n+7^n}. נשים לב לאי השוויונות הבאים:

\ 7 = \sqrt[n]{7^n} \le \sqrt[n]{5^n+7^n} \le \sqrt[n]{7^n+7^n} = 7 \sqrt[n]{2}

כלומר הסדרות החוסמות הן- \ b_n = 7 ו- \ c_n = 7 \sqrt[n]{2}.
שתי הסדרות האלו מתכנסות ל-7 ולכן גם גבול הסדרה \ a_n הוא 7.

קל להכליל את התוצאה ולהראות באותו אופן שעבור כל אוסף (סופי) של מספרים אי שליליים \ d_1 , d_2 , ... , d_k מתקיים:

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{d_1 ^n + d_2 ^ n + . . . + d_k ^ n} = \max \left\{d_1 , d_2 , . . . , d_k \right\}

פונקציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשתמש בכלל הסנדוויץ' כדי לחשב את הגבול: \lim_{x \to 0} x\cdot \sin \left(\frac{1}{x} \right) כיוון שלכל y מתקיים \ -1 \le \sin y \le 1 הפונקציה \ x\cdot \sin \left(\frac{1}{x} \right) חסומה בין הפונקציות \ -|x|\ \ ,\ \  |x| כאשר |x| היא פונקציית הערך המוחלט. שתי הפונקציות האלו שואפות לאפס כאשר x שואף לאפס ולכן גם הגבול המבוקש הוא אפס; \lim_{x \to 0} x\cdot \sin \left(\frac{1}{x} \right) = 0 .