המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי

המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי (נקרא גם המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי) קושר בין שני מושגי היסוד של החשבון האינפיניטסימלי, הנגזרת והאינטגרל, ומראה שגזירה ואינטגרציה הן פעולות הופכיות זו לזו: אם פונקציה רציפה עוברת אינטגרציה ואחר כך גוזרים את התוצאה, חוזרים לפונקציה המקורית. פרט לקשר זה, המשפט גם מספק שיטה מעשית לחישוב האינטגרל המסוים, שהוא מושג שמוגדר בצורה שאינה מאפשרת חישוב פשוט, באמצעות האינטגרל הלא מסוים, שלחישובו יש דרכים רבות (ולרוב פשוטות) יותר.

המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי קובע, שעבור פונקציות אינטגרביליות שיש להן פונקציה קדומה, האינטגרל המסוים בין שתי נקודות שווה להפרש הערכים של האינטגרל הלא המסוים שלה בנקודות אלו.

לכאורה שני מושגים אלה שונים זה מזה ובאים מעולמות שאין להם שום קשר אבל המשפט היסודי של החשבון האינפיניטסימלי (שנקרא גם משפט ניוטון-לייבניץ) קובע את הקשר העמוק בין שני התחומים.

ניסוח פורמלי

כאשר (A(x היא האינטגרל המסוים של (f(x, המגדיר את השטח מתחת ל-f בין נקודה קבועה a (במקרה הזה, a=0) לבין x כלשהו, המשפט היסודי קובע כי הנגזרת של A שווה ל-f. בציור קל לראות ששטח המלבן האדום שווה מצד אחד לשינוי בשטח מתחת לפונקציה (השינוי ב-A) ומצד שני שווה בקירוב (הולך ומשתפר עבור ערכי h קטנים) ל-f(x)*h. כאשר מחלקים ב-h ומשאיפים אותו לאפס מקבלים את הגדרת הנגזרת.

המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי מורכב בעצם משני משפטים:

משפט

תהי $\ f$ פונקציה אינטגרבילית בקטע $\ x\in[a,b], [a,b]$ ותהי $\ F(x) = \int_{a}^{x}{f(t)dt}$ אינטגרל מסוים שלה. אזי:

1. הפונקציה $\ F$ רציפה.
2. בכל נקודה $\ x_0$ בה $\ f$ רציפה, $\ F$ גזירה ומתקיים: $\ F'(x_0) = f(x_0)$ .
3. אם $\ f$ רציפה בכל הקטע, אזי קיימת לה פונקציה קדומה בקטע, יתרה מזאת: הפונקציה $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ היא פונקציה קדומה שמקיימת $\ F' = f$ בכל הקטע.

משפט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)

תהי $\ f$ פונקציה אינטגרבילית שיש לה פונקציה קדומה $\ F$ בקטע $\ [a,b]$. אם נסמן $\frac{d}{dx}F(x) = f(x)$ אזי

$\ \int_a^b{ f(x) \ dx} = F(b) - F(a)$

נשים לב שאין חשיבות לשאלה איזו פונקציה קדומה של $\ f$ לוקחים, מכיוון שכל הפונקציות הקדומות של $\ f$ נבדלות זו מזו בקבוע, והוא מתחסר כאשר מחשבים את ההפרש בין ערכי הפונקציה הקדומה בשתי נקודות שונות.

הנוסחה היסודית של החשבון האינפיניטסימלי מאפשרת לחשב אינטגרלים מסוימים של פונקציות מסוג מסוים.

בתורת המידה מוכללת נוסחה זו למשפחה רחבה יותר של פונקציות, הפונקציות הרציפות בהחלט. ניתן להראות גם שזו משפחת הפונקציות הרחבה ביותר עבורה מתקיימת נוסחה זו.

הוכחה

הפונקציה F רציפה

מאחר ש-$\ f$ אינטגרבילית לפי רימן היא חסומה, ולכן קיים $\,M$ כך שבכל נקודה מתקיים $|f(x)|\leq M$. יהי $0 < \varepsilon$ ויהיו $\ x,y\in [a,b]$. נגדיר $0 < \delta = \varepsilon/M$ אזי לכל $|x-y| < \delta$. מתקיים:

$\ | F(x) - F(y) | = \left| \int_{a}^{x}{f(t)dt} - \int_{a}^{y}{f(t)dt} \right| = \left|\int_y^x f(t)dt\right| \leq \int_y^x |f(t)|dt \leq M |x-y| < M\delta = \varepsilon$.

לכן $\,F$ מקיימת את תנאי ליפשיץ ב- $\,[a,b]$, ולכן היא רציפה במידה שווה.

הפונקציה f היא נגזרת של F בנקודות הרציפות שלה

תהא $\ x_0$ נקודת רציפות של $\ f$. אנו רוצים להראות כי $\ F'(x_0)=f(x_0)$ כאשר $\ F=\int_a^x f(t)dt$.

בסימון פורמלי יותר: אנו רוצים להראות כי $\ \lim_{h\rarr 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$.

על פי ההגדרה ואדיטיביות האינטגרל המסוים, אנו יודעים שמתקיים: $\ \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\frac{1}{h}\left(\int_a^{x_0+h} f(t)dt-\int_a^{x_0} f(t)dt\right)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(t)dt$.

כמו כן מתקיים $\ f(x_0)=\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)dt$, שכן $\ f(x_0)$ היא קבוע, ולכן האינטגרל שלה על הקטע $\ [x_0,x_0+h]$ הוא פשוט אורך הקטע כפול $\ f(x_0)$.

לכן מתקיים, על פי אי שוויון המשולש האינטגרלי: $\ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|=\left|\frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h} \left( f(t)-f(x_0) \right)dt\right|\le\frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t)-f(x_0)\right|dt\right|$.

נזכור כי $\ f(x)$ רציפה בנקודה $\ x_0$, ולכן עבור $\ \varepsilon>0$ כלשהו קיים $\ \delta>0$ כך ש-$\ |t-x_0|<\delta$ גורר $\ |f(t)-f(x_0)|<\varepsilon$.

אם $\ 0<|h|<\delta$ אז לכל $\ t\isin [x_0,x_0+h]$ מתקיים $\ |t-x_0|<\delta$. לכן:

$\ \frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\left|f(t)-f(x_0)\right|dt\right|\le\frac{1}{|h|}\left|\int_{x_0}^{x_0+h}\varepsilon dt\right|=\frac{1}{|h|}\varepsilon \cdot |h|=\varepsilon$.

כלומר, הראינו כי לכל $\ \varepsilon>0$ ניתן למצוא $\ \delta>0$ כך שלכל $\ |h|<\delta$ יתקיים $\ \left|\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}-f(x_0)\right|<\varepsilon$, כלומר $\ \lim_{h\rarr 0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$, כמבוקש.

מ.ש.ל.

קיום פונקציה קדומה בקטע ונוסחת ניוטון-לייבניץ

אם $\ f$ רציפה בכל הקטע $\ [a,b]$ אז היא בפרט אינטגרבילית בו (רציפות גוררת אינטגרביליות) ואז כפי שראינו קודם, הפונקציה $\ F(x)=\int_a^x f(t)dt$ מקיימת לכל נקודה שבה $\ f$ רציפה (במקרה זה, כל הקטע) $\ F'(x)=f(x)$. לכן $\ F(x)$ היא פונקציה קדומה של $\ f(x)$ בקטע.

על פי הגדרה: $\ F(b)-F(a)=\int_a^b f(t)dt-\int_a^a f(t)dt=\int_a^b f(t)dt$.

כעת, כל שתי פונקציות קדומות של $\ f(x)$ נבדלות ביניהן בקבוע. כי נניח ש-$\ F(x),G(x)$ שתיהן פונקציות קדומות של $\ f(x)$, אז $\ \left(F(x)-G(x)\right)'=f(x)-f(x)=0$, כלומר הפונקציה $\ F(x)-G(x)$ היא קבוע, כלומר $\ F(x)=G(x)+c$.

על כן: $\ G(b)-G(a)=F(b)-c-\left(F(a)-c\right)=F(b)-F(a)$, וזאת לכל פונקציה קדומה $\ G(x)$ של $\ f(x)$.

בזאת הושלמה הוכחת הנוסחה היסודית.

מ.ש.ל.

הוכחה לנוסחת ניוטון-לייבניץ שאינה מתבססת על המשפט היסודי

תהי $P=a \leq t_{0} < \cdots < t_{n} \leq b$ חלוקה כלשהי של $\ [a,b]$. אז לפי משפט הערך הממוצע של לגראנז' מתקיים:

$\exists x_{i}\in[t_{i-i},t_{i}]:F(t_{i})-F(t_{i-1})=F'(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})=f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})$

עבור $\ i=1,...,n$; כעת נגדיר

$M_{i}=\underset{x\in[t_{i-i},t_{i}]}{\sup}f(x);\quad m_{i}=\underset{x\in[t_{i-i},t_{i}]}{\inf}f(x)$

ונקבל

$m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq f(x_{i})(t_{i}-t_{i-1})\leq M_{i}(t_{i}-t_{i-1})$

כלומר

$m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq M_{i}(t_{i}-t_{i-1})$

נסכום את המשוואה האחרונה עבור $\ i=1,...,n$ ונקבל:

$s(P)=\sum_{i=1}^n m_{i}(t_{i}-t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^n F(t_{i})-F(t_{i-1})\leq\sum_{i=1}^n M_{i}(t_{i}-t_{i-1})=S(P)$

נשים לב ש-

${\sum_{i=1}^n}F(t_{i})-F(t_{i-1})=F(b)-F(a)$

(שהרי זהו סכום טלסקופי) ונקבל:

$s(P)\leq F(b)-F(a)\leq S(P)$

עבור כל חלוקה $\ P$. אם כך מהגדרת האינטגרל התוצאה נובעת ישירות

$\square\qquad\qquad\qquad F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$

הכללות

ההכללות הפשוטות ביותר למשפט היסודי של החדו"א לשני מימדים הינן משפט גרין ומשפט גרין הדיסקרטי. במימדים גבוהים יותר קיימות הכללות מורכבות יותר, כגון משפט גאוס ומשפט הדיפרנציאציה של לבג.

קישורים חיצוניים

גדי אלכסנדרוביץ', המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי, באתר "לא מדויק"