שדה המספרים המרוכבים

במתמטיקה ויישומיה, שדה המספרים המרוכבים הוא השדה שאבריו הם המספרים המרוכבים. כלומר, מספרים שניתן להציג בצורה $\ a+bi$ כאשר a,b הם ממשיים, ו-$\ i$ היא היחידה המרוכבת, המקיימת $\ i^{2}=-1$. המספרים המרוכבים מתאימים באופן טבעי לנקודות במישור המרוכב.

שדה המספרים המרוכבים, שאותו מקובל לסמן באות $\ \mathbb {C}$, מכיל את שדה המספרים הממשיים $\ \mathbb {R}$ - ומהווה הרחבה מממד 2 מעליו. שדה המרוכבים מתקבל מסיפוח השורש של מינוס אחת לשדה הממשיים, כלומר, $\ \mathbb {C}$ איזומורפי לחוג המנה $\ \mathbb {R} [x]/\left(x^{2}+1\right)$.

שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית (ולמעשה, הוא השדה הסגור-אלגברית היחיד מעוצמת הרצף שהמאפיין שלו 0), כלומר, לכל פולינום (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים, יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה $\ n$ יש בדיוק $\ n$ שורשים (אם לוקחים בחשבון שורשים חוזרים). עובדה זו נקראת לפעמים המשפט היסודי של האלגברה. בנוסף לזה, שדה המספרים המרוכבים שלם כמרחב מטרי. מאידך, קיומם של שורשים ריבועיים למספרים שליליים אינו מאפשר לסדר אותו.

היסטוריה

יצירתם של המספרים המרוכבים, בתחילת המאה ה-16, מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה ללא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.

בנייה פורמלית

את שדה המספרים המרוכבים אפשר לבנות באופן פורמלי כאוסף הזוגות הסדורים $\ \mathbb {R} ^{2}$ של מספרים ממשיים, עם פעולות החיבור והכפל המוגדרות לפי $\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)$ ו- $\ (x,y)\times (a,b)=(xa-yb,xb+ya)$. המבנה המתקבל הוא שדה, שאיבר האפס שלו הוא $\ (0,0)$, ואיבר היחידה הוא $\ (1,0)$. לכל מספר $\ (x,y)$ יש נגדי, $\ (-x,-y)$, ואם המספר שונה מאפס יש לו איבר הופכי, $\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right)$.
הזוגות מהצורה $\ (x,0)$ מקיימים $\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)$ ו- $\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)$, ולכן ההתאמה $\ x\mapsto (x,0)$ מהווה שיכון של שדה הממשיים בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, האיבר $\ i=(0,1)$ של השדה החדש מקיים $\ i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-(1,0)=-1$, כך שבשדה הזה - בניגוד למצב בשדה הממשיים - יש שורש למספרים שליליים. (כשרוצים לתת לאות i משמעות אחרת, כגון זרם, משתמשים ב-$\ j$ כתחליף).

תכונות בסיסיות של השדה המרוכב

כל איבר בשדה החדש אפשר להציג באופן יחיד בצורה $\ x+iy$ כאשר $\ x,y\in \mathbb {R}$ ממשיים, הנקראים "החלק הממשי" ו"החלק המדומה" של המספר. הפונקציות $\ \mathrm {Re} ,\mathrm {Im} :\mathbb {C} \to \mathbb {R}$ מחזירות את החלק הממשי והחלק המדומה, בהתאמה.

ההצגה של מספר מרוכב בצורה $\ z=x+iy$, הנקראת ההצגה הקרטזית, מאפשרת לחשב בקלות את המכפלה באופן מפורש, בעזרת העובדה היסודית $\ i^{2}=-1$: $\ (a_{1}+ib_{1})\cdot (a_{2}+ib_{2})=a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}+i^{2}b_{1}b_{2}=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+i(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})$.

הנורמה הסטנדרטית של שדה המספרים הממשיים, המוגדרת לפי $\ \left|(a,b)\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$, מגדירה גם את הערך המוחלט של מספר מרוכב, לפי אותה נוסחה בדיוק: $\ |a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$. פונקציה זו, המהווה מטריקה ארכימדית על השדה, הופכת אותו למרחב נורמי שלם מעל שדה המספרים הממשיים.

הצגת הצמוד המרוכב $\ {\overline {z}}$ של $\ z$ במישור המרוכב.

על המספרים המרוכבים מוגדר הצמוד המרוכב, $\ {\overline {x+yi}}=x-yi$, שהוא אינוולוציה: $,\ {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}$ ‏$,\ {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}\$ ו- $.\ {\overline {\overline {z}}}=z$

פעולת ההצמדה היא אוטומורפיזם מסדר 2 של ההרחבה $\ \mathbb {C} /\mathbb {R}$, היוצר את חבורת גלואה של ההרחבה הזו. תכונות האינוולוציה, ובפרט אי-שוויון המשולש $\ \left|z+w\right|\leq \left|z\right|+\left|w\right|$, הופכות את המרוכבים לאלגברה כוכב (*-אלגברה).

הנורמה המרוכבת היא שורש ריבועי של הנורמה האלגברית, המוגדרת לפי $\ N(z)=z\cdot {\bar {z}}$, כלומר $\ N(x+yi)=(x+yi)(x-yi)=x^{2}+y^{2}$. הנורמה כפלית ($\ |z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|$), ושומרת על הצמוד: $\ |{\bar {z}}|=|z|$.

העובדה שהנורמה (של מספר שונה מאפס) תמיד חיובית מאפשרת לחלק בקלות מספרים מרוכבים: $\ {\frac {w}{z}}={\frac {w\cdot {\bar {z}}}{z\cdot {\bar {z}}}}={\frac {w\cdot {\bar {z}}}{|z|^{2}}}$, ובמכנה של השבר הזה יש מספר ממשי. מכאן אפשר לקבל גם את הנוסחה המפורשת, $\ {\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={\frac {(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})i}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$.

הצגה קוטבית והמישור המרוכב

אפשר להתאים את המספר המרוכב $\ x+yi$ לקואורדינטה הקרטזית $\ (x,y)$ במישור $\ \mathbb {R} ^{2}$. את המישור אפשר לתאר גם באמצעות קואורדינטות פולריות, הכוללות, עבור כל נקודה, את המרחק שלה מראשית הצירים ואת הזווית בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה-$\ x$. הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ משפט פיתגורס), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית הטנגנס: $\tan(\theta )={\frac {y}{x}}$ עבור מספרים מרוכבים שנמצאים ברביע הראשון או הרביעי (כלומר $\ \mathrm {Re} (z)>0$), ואילו עבור מספרים שנמצאים ברביע השני או השלישי ($\ \mathrm {Re} (z)<0$) הזווית תהיה $\pi -\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$ (שכן לפונקציית tan יש מחזור $\pi$).

עבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה חיובי הארגומנט יהיה $\pi :2$ ועבור מספרים מרוכבים עם חלק ממשי אפסי וחלק מדומה שלילי הארגומנט יהיה $-(\pi :2)$.

עבור 0 הזווית אינה מוגדרת (או לחלופין כל זווית היא לגיטימית).

לזווית נקרא ארגומנט של המספר המרוכב. נשים לב שאין למספר מרוכב ארגומנט יחיד - מרגע שנמצא ארגומנט, כל זווית אחרת כך שהפרשן של שתי הזוויות הוא $\ 2\pi$ גם היא ארגומנט. לכן נהוג לרוב כאשר מדברים על הארגומנט של מספר מרוכב לבחור את הזווית ששייכת לקטע $\ (-\pi ,\pi ]$.

על כן, ההצגה הפולרית של מספר מרוכב z, היא $\ z=r\cos \theta +ir\sin \theta$, כאשר r הוא המרחק מהראשית, ו-$\ \theta$ הזווית ש-z יוצר עם ציר ה-x.

בדרך-כלל משתמשים בקיצור $\ \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta$. קיצור מקובל נוסף הוא

$\ e^{i\theta }=\operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta$,

שנובע מתכונות פונקציית האקספוננט עבור ערכים מרוכבים.

• משפט דה מואבר: לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $(r\operatorname {cis} \theta )^{n}=r^{n}\operatorname {cis} (n\theta )$.

• נוסחת אוילר: לכל $\theta \in \mathbb {R}$ מתקיים: $\!\,e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }$. מנוסחה זו נובעת גם שתי הזהויות הבאות:
  • $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$
  • $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

ראו גם

• מספר מרוכב - להסבר על מספרים מרוכבים
• המישור המרוכב
• פונקציה מרוכבת
• אנליזה מרוכבת
• מערכות מספרים