גבול (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

מושג הגבול הוא נדבך יסודי באנליזה מתמטית ובחשבון אינפיניטסימלי. אפשר לייחס גבול לעצמים אינסופיים שונים, כגון סדרה של מספרים ממשיים או פונקציה ממשית, ובאופן כללי יותר גם לסדרה של אברים במרחב טופולוגי כללי.

גבולה של סדרה, כאשר הוא קיים, הוא מספר שאליו הולכים ומתקרבים אברי הסדרה - גם אם ערך זה אינו מופיע בסדרה כלל. לדוגמה, גבולה של הסדרה ההרמונית $\ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots$ שווה לאפס. כאשר קיים גבול לסדרה, היא קרויה סדרה מתכנסת, ותהליך התקרבות אבריה אל הגבול קרוי התכנסות.

[עריכה] היסטוריה

את הטיפול בעצמים אינסופיים בדרך של גבולות, הגם שהוא זר לרוחה של הפילוסופיה הקלאסית, אפשר לאתר כבר בחישובים שערכו המתמטיקאים ההלניים, ובראשם ארכימדס. שיטת המיצוי, שבה השתמשו כדי לחשב שטחים ונפחים של גופים מסובכים, וגם את ערכו של פאי, מבוססת על קירוב הגוף המבוקש באמצעות גופים פשוטים יותר, באופן שהשגיאה הולכת וקטנה. בשפה מודרנית, אומרים שהשטח של הגוף המורכב הוא גבולה של סדרת השטחים של הגופים הפשוטים.

רעיונות אלה שוכללו במידה ניכרת כאשר פיתחו לייבניץ וניוטון את החשבון האינפיניטסימלי, העוסק בתכונות של פונקציות ממשיות. האנליזה החדשה הייתה מבוססת על מושגים כגון "גודל הקטן לאינסוף" ו"גודל הגדל לאינסוף", ולמרות ההצלחה המיידית שלה בחישובים שלא ניתן היה לעשות קודם לכן, מנקודת המבט המודרנית היו בה פגמים לא מעטים.

את ההדורים האלה יישר קושי, שהציע ניסוח של מושגי הגבול השונים בתור תנאי. במקום לומר ש"כאשר x הולך ומתקרב ל- 2, המרחק בין ערכה של הפונקציה $\ f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$ לבין המספר 4 הולך וקטן לאפס", נתן קושי הגדרה מדויקת: "לכל מספר חיובי $\ \varepsilon$ , קיים מספר חיובי $\ \delta$ , כך שאם המרחק מ- x ל- 2 אינו עולה על $\ \delta$ , אז המרחק מ- $\ f(x)$ ל- 4 אינו עולה על $\ \varepsilon$ ". הגדרה זו לגבול של פונקציה, יחד עם הגדרות דומות לגבול של סדרה, אפשרו לקושי וויירשטראס להוכיח את המשפטים החשובים בחשבון האינפיניטסימלי, כפי שהם מוכרים היום.

[עריכה] גבולות שונים

הטיפוס הבסיסי של גבול הוא גבול של סדרה של מספרים ממשיים; אולם, הגדרות דומות מאוד תקפות גם עבור גבולות של סדרות בכל מרחב מטרי - ראו גבול (טופולוגיה). המתמטיקאי הגרמני היינריך אדוארד היינה (1821-1881) הציע להגדיר גבול של פונקציה באמצעות גבולות של סדרות, והגדרה זו שקולה להגדרה המקובלת יותר שהציע קושי, שניתנה קודם לכן.

[עריכה] ראו גם

גבול של סדרת פונקציות

[עריכה] קישורים חיצוניים

מחשבון גבולות

חשבון אינפיניטסימלי
מושגי יסוד:	חשבון אינפיניטסימלי \| סדרה \| גבול \| סדרת קושי \| טור \| אינפיניטסימל \| שדה המספרים הממשיים \| ערך מוחלט \| אי-שוויון המשולש \| אי-שוויון קושי-שוורץ
פונקציות:	פונקציה \| גרף פונקציה \| פונקציה לינארית \| פונקציה מונוטונית \| נקודת קיצון \| פונקציה קעורה \| פונקציה קמורה \| פונקציה רציפה \| רציפות במידה שווה \| נקודת אי רציפות \| נגזרת \| טור טיילור \| סדרת פונקציות \| התכנסות במידה שווה
משפטים:	משפט בולצאנו-ויירשטראס \| משפטי ויירשטראס \| משפט קנטור \| משפט ערך הביניים \|משפט פרמה \| משפט רול \| משפט הערך הממוצע של לגראנז' \| משפט הערך הממוצע של קושי \| משפט דארבו \| כלל השרשרת \| כלל הסנדוויץ' \| כלל לופיטל \| משפט שטולץ \| אריתמטיקה של גבולות
האינטגרל:	אינטגרל \| אינטגרל לא אמיתי \| המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי \| אינטגרציה בחלקים \| שיטות אינטגרציה
אנליזה מתקדמת:	פונקציה מרוכבת \| אנליזה וקטורית \| שיטת ניוטון-רפסון \| משוואה דיפרנציאלית \| טופולוגיה \| תורת המידה
אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - טופולוגיה - אנליזה מרוכבת - אנליזה פונקציונלית - תורת המידה