פורטל:מתמטיקה
המתמטיקה מוגדרת לעיתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.
מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.
|
עריכהערכים מומלצים במתמטיקה
עריכהמאמר נבחר
 אינדוקציה מתמטית היא שיטה לוגית המאפשרת להוכיח שתכונה מסוימת משותפת לכל המספרים הטבעיים. האינדוקציה מורכבת משני טיעונים: ראשית, שהמספר 1 מקיים את התכונה, ושנית, שאם מספר טבעי n מקיים אותה, אז גם המספר n+1 מקיים אותה. עקרון האינדוקציה מחליף סדרה אינסופית של הוכחות סופיות (אחת לכל מספר טבעי), בהוכחה סופית אחת המספיקה לכל המקרים. את המונח "אינדוקציה מתמטית" הציע הלוגיקן אוגוסטוס דה-מורגן, כשכתב את הערך "אינדוקציה (מתמטיקה)" בציקלופדיית פני ב-1838. השיטה עצמה הופיעה בצורתה המודרנית אצל בלז פסקל (1654), אם כי אפשר לזהות ניצנים של השיטה אצל מתמטיקאים שקדמו לו. גמישותה של שיטת האינדוקציה הפכה אותה לאחד מכלי ההוכחה החזקים ביותר בארגז הכלים של כל מתמטיקאי.
|
עריכהמומלצי פורטל נוספים
עריכהמתמטיקאי נבחר
 רנה דקארט (בצרפתית: René Descartes), מוכר גם בצורה הלטינית של שמו רנאטוס קרטזיוס (Renatus Cartesius) (31 במרץ 1596 – 11 בפברואר 1650) הוא פילוסוף ומתמטיקאי צרפתי. נחשב לאבי הפילוסופיה והמתמטיקה המודרנית, ולאחד ההוגים החשובים והמשפיעים בהיסטוריה המערבית. הוא השפיע הן על פילוסופים בני זמנו והן על אלו שבאו אחריהם, ונודע בגישתו הרציונלית המעמידה את התבונה ותכונות המציאות הא-פריוריות (כלומר, הקודמות להתנסות) במרכז חקירותיו. דקארט התעסק בעיקר בידיעה ודאית וביחס בין גוף לנפש. למרות שהיה מוכר בעיקר עקב הגותו פורצת הגבולות בפילוסופיה, הוא השיג פרסום רחב גם כממציא של מערכת הצירים הקרטזית ("קרטזית" מלשון "קרטזיוס", משמע, דקארט). מערכת זו הייתה בעלת השפעה רבה על התפתחות המתמטיקה המודרנית. |
|
עריכהתמונה נבחרת
 "החילזון של מביוס" הנוצר על ידי קיפול השפה של רצועת מביוס מעל שדה המספרים המרוכבים וביצוע הטלה סטריאוגרפית שלה על המספרים הממשיים. |
עריכהאנימציה נבחרת
 |
משחק החידה סוּדוֹקוּ, ראשי תיבות ביפנית למשפט: "המספרים חייבים להופיע פעם אחת", הוא שעשוע מתמטי הדורש מחשבה ולוגיקה, ומבוסס על ריבוע לטיני בגודל 9, עם דרישה נוספת על הספרות בתשעה תת-ריבועים בגודל 3. משחקי השלמה של ריבוע קסם הופיעו לראשונה בעיתונים בצרפת בשלהי המאה ה-19. ב-1892 פרסם עיתון בפריז ריבוע קסם בגודל 9X9 ממולא חלקית שהיו בו חלק מתכונות הסודוקו. גרסה נוספת, דומה יותר לסודוקו המודרני, הופיעה כעבור שלוש שנים בעיתון צרפתי מתחרה. המשחק במתכונתו הנוכחית הופיע לראשונה ב-1979 באחד המגזינים של דל (Dell). גרסה זו הומצאה על ידי הווארד גארנס (Howard Garns), ארכיטקט אמריקאי בן 74 שפרש לגמלאות. המשחק זכה להצלחה רבה ביפן בשנות ה-80, והתפשט בעולם, וגם בישראל, החל מסוף 2004.
מדע זה מה שאנחנו מבינים מספיק טוב כדי להסביר למחשב. אומנות היא כל דבר אחר שאנחנו עושים
נוסחה לריבוע הסכום. אחת הנוסחאות הראשונות שלומדים באלגברה בית סיפרית. הנוסחה שימושית לביצוע מניפולציות אלגבריות פשוטות, והיא עומדת בבסיס של אחת השיטות לפתרון משוואה ריבועית - השלמה לריבוע
|
עריכהאוצרות הרשת
 בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: The Geometry Junkyard (באנגלית) אתר מקסים המרכז הפניות לנושאים הקשורים לשעשועי מתמטיקה גאומטריים ברשת. |
עריכהמדף הספרים
בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום:  מרכוס דו סוטוי, סימטריה, מסע אל מרחבי התבניות של הטבע, מאנגלית: אוריאל גבעון, ספרי עליית הגג, ידיעות ספרים, 2010 המתמטיקאי מרכוס דו סוטוי מתאר את הסימטריה, החל מהעת העתיקה, שבה נחקרה הסימטריה של הפאונים המשוכללים, המשכה ביצירות הסימטריות באלהמברה המורית של המאה ה-13 והמאה ה-14 ובתרומותיהם של קרדאנו, אבל וגלואה לפתרון משוואות פולינומיות, שהובילה לתרומתו של גלואה לחקר חבורת סימטריות, וכלה בהוכחתו של משפט המיון של החבורות הפשוטות הסופיות בסוף המאה העשרים. מוצגת בקצרה גם סימטריה מחוץ לעולם המתמטי: במוזיקה (למשל ביצירה וריאציות גולדברג של באך) ובכימיה. כל זה בשילוב עם חוויותיו האישיות של דו סוטוי כמתמטיקאי וכאדם, מחקרו בנושאי סימטריה ואנקדוטות מעולמם של מתמטיקאים אחרים. |
|
משפטים מפורסמים
|
השערות מפורסמות
|
משפט החתונה, שמיוחס למתמטיקאי פיליפ הול, הוא משפט בקומבינטוריקה, שנותן תנאי הכרחי ומספיק לבחירת נציגים ייחודיים עבור משפחה של קבוצות.
נניח שיש לנו קבוצת נשים וקבוצת גברים וכל אישה מעוניינת בקבוצה חלקית כלשהי של הגברים. נשאלת השאלה, באילו תנאים ניתן לשדך לכל אישה גבר שהיא מעוניינת בו (באופן מונוגמי כמובן). ברור כי תנאי הכרחי הוא שמספר הגברים יהיה לפחות כמספר הנשים. ניתן להכליל דרישה זו לכל קבוצת נשים. כלומר, תנאי הכרחי הוא שכל נשים תהינה מעוניינות בלפחות גברים. משפט הול טוען כי תנאי זה הינו גם תנאי מספיק. נוסח לא פורמלי (אם כי מדויק לחלוטין) זה הוא שהעניק למשפט את כינויו.
נושאים במתמטיקה
| |||
|---|---|---|---|
| כמות | אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים | ||
| שינוי | אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית | ||
| מבנה | אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים | ||
| מרחב | אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג | ||
| מתמטיקה בדידה | חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים | ||
| יסודות ושיטות | לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות | ||
| מתמטיקה יישומית | אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית | ||
| עולם המתמטיקה | הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט | ||
|
עריכהמבט על תחום נבחר
אלגברה מופשטת היא ענף של האלגברה שבמסגרתו מוגדרים ונחקרים מבנים אלגבריים כגון שדות, חבורות וחוגים. הענף נקרא כך כדי להבדילו מהאלגברה הבסיסית, הנלמדת בבתי ספר, שעוסקת במניפולציות טכניות של ביטויים ונוסחאות מתמטיות במספרים ממשיים ומרוכבים. מבחינה היסטורית, המבנים הנחקרים באלגברה מופשטת צצו לרוב לראשונה בתחומים אחרים, ובמסגרת האלגברה זכו לאקסיומטיזציה מדויקת, ותכונותיהם נלמדו לעומק. היתרון שבשיטת עבודה זו, הוא היכולת להשיג תוצאות כלליות, שיהיו תקפות למקרים רבים, על ידי התייחסות למספר תכונות בסיסיות המשותפות לכל אותם מקרים, תוך הזנחת המידע שאינו חיוני. לדוגמה, התהליך שבו נבנים המספרים הרציונליים מתוך המספרים השלמים הוא למעשה מקרה פרטי לבנייה של שדה מתוך חוג, ולכן ניתן לחזור עליו לכל חוג שמקיים מספר תכונות נפוצות. שם התחום מגיע מההפשטה שמתבצעת לעצמים הנחקרים במסגרתו – רוב תכונותיהם מוזנחות, ומתייחסים אך ורק למספר תכונות בסיסיות – "אקסיומות", שמהן מופק המידע על העצמים. לאחר מכן, כל עצם מתמטי שניתן להוכיח כי הוא מקיים את האקסיומות, יקיים את כל התכונות שנמצא שנובעות מאותן אקסיומות | |||
|
ערכים המחפשים עורכים  |
דיונים, ייעוץ ועזרה
|