פאון משוכלל

חמשת הפאונים המשוכללים בגן המדע במכון ויצמן

בגאומטריה של המרחב, פֵּאוֹן משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה.

בשלושה ממדים, קיימים חמשה פאונים משוכללים בלבד:

• ארבעון (טטרהדרון) - פאון משוכלל בעל 4 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה צלעות.
• קובייה (הקסהדרון) - פאון משוכלל בעל 6 פאות שכל אחת מהן היא ריבוע.
• תמניון (אוקטהדרון) - פאון משוכלל בעל 8 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה צלעות; מורכב משתי פירמידות ריבועיות, המחוברות בבסיסן.
• תריסרון (דודקהדרון) - פאון משוכלל בעל 12 פאות, שכל אחת מהן היא מחומש שווה צלעות.
• עשרימון (איקוסהדרון) - פאון בעל 20 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה צלעות.

בספרו "יסודות", הראה אוקלידס איך לבנות את הגופים האלה והוכיח שאלה הפאונים המשוכללים היחידים בשלושה ממדים.

גופים אלו מכונים לעתים "הגופים המשוכללים של אפלטון" או "הגופים האפלטוניים", וזאת משום שהם מוזכרים אצל אפלטון בדיאלוג "טימאוס". אין הדבר אומר שאפלטון גילה אותם: כולם פרט לתריסרון היו ידועים עוד מימי קדם, והתריסרון עצמו התגלה על ידי הפיתגוראים.

חבורות הסימטריה של הפאונים המשוכללים הן $\ A_4$ (חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4) לאוקטהדרון, $\ S_4$ (החבורה הסימטרית מסדר 4) לארבעון ולקוביה, ו- $\ A_5$ לדודקהדרון ולאיקוסהדרון.

סימבוליזם

טימאוס מלוקרי, מראשוני הפיתגוראים, ערך התאמה מיסטית בין ארבעת הפאונים הראשונים ובין ארבעת היסודות שהיו מקובלים ביוון העתיקה (אש, אוויר, מים ואדמה) ‏‏. אפלטון, בדיאלוג טימאוס העוסק בקוסמולוגיה, אימץ התאמה שונה מעט: הוא שייך את הארבעון לאש, את הקוביה לאדמה, את התמניון לאוויר ואת העשרימון למים, וקישר את התריסרון לגלגל המזלות - כשם שלתריסרון יש 12 פאות, כך בשמים יש 12 מזלות. להשלמת ההקבלה הוסיף מאוחר יותר אריסטו יסוד חמישי לרשימה, אתר.

פאצ'ולי, בחיבורו על הפרופורציה האלוהית, קישר את התריסריון ליסוד החמישי, וקישר בינו לבין יחס הזהב, הלא הוא "הפרופורציה האלוהית".

כמעט אלפיים שנה מאוחר יותר, בסוף המאה ה-16, קישר יוהנס קפלר את הגופים המשוכללים לכוכבי הלכת שהיו ידועים אז: כוכב חמה, נוגה, מאדים, צדק ושבתאי.

שימושים

הפאונים המשוכללים כקוביות משחק

בפאונים המשוכללים משתמשים ליצירת קוביות משחק, משום שקוביות כאלה תהיינה הוגנות - לכל פאה יהיה אותו סיכוי להופיע בהטלת הקוביה.

הקוביות הסטנדרטיות של משחק התפקידים מבוכים ודרקונים הן חמשת הגופים המשוכללים בתוספת גוף אחד שאינו משוכלל, אף כי הוא מורכב מעשר פאות זהות: פאותיו מהוות דלתונים, ולא מצולעים משוכללים.

פאונים משוכללים מממדים גבוהים

במרחב הארבע-ממדי ישנם שישה פאונים משוכללים. חמישה הינם המקבילים הארבע-מימדיים של הפאונים המשוכללים התלת-מימדיים, ואילו השישי הוא האוֹקטַפּלֶקס. לאוקטפלקס 96 פאות משולשות, 96 צלעות ו-24 קודקודים. אף שאין לאוקטפלקס מקביל בתלת-מימד, המקביל לו בדו-מימד הוא המשושה.

במרחבים N-מימדיים, כאשר N גדול מ-4, קיימים רק שלושה פאונים משוכללים: סימפלקס N-ממדי, קוביה N-ממדית ותמניון N-ממדי, המקבילים בתלת-מימד לארבעון, קוביה ותמניון בהתאמה.

ראו גם

• פאון חצי-משוכלל

חמשת הפאונים האפלטוניים

טטרהדרון (ארבעון - 4 פאות) הקסהדרון (קובייה - 6 פאות) אוקטהדרון (תמניון - 8 פאות) דודקהדרון (תריסרון - 12 פאות) איקוסהדרון (עשרימון - 20 פאות)