פורטל:מתמטיקה/תמונה נבחרת/גלריה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

1

Möbius strip.jpg
טבעת מביוס, צורה מרחבית (ליתר דיוק יריעה), המורכבת מסרט בעל צד אחד בלבד. טבעת מביוס היא הדוגמה הבסיסית ליריעה לא אוריינטבילית. זאת אחת הסיבות לכך שטבעת מביוס משמשת כקוריוז מתמטי עבור חובבים.

2

Surface normal.png
אנך למשטח יוצר עמו זווית ישרה בנקודה ממנה הוא יוצא. באיור מיוצגים האנכים של מישור מסוים כשדה וקטורי. לאנכים מסוג זה שימוש רב באנליזה וקטורית.

3

Stereographic polytope 8cell.png

הטסרקט, שהוא גוף ארבע ממדי המהווה הכללה של הקובייה, כפי שהוא נראה לאחר הטלה סטריאוגרפית מן ה-3-ספירה אל המרחב האוקלידי התלת ממדי, בעיניה של ג'ני.

4

St Louis Gateway Arch.jpg

קשת השער בסנט לואיס שבמיזורי היא מבנה מרשים הבנוי בצורת קוסינוס היפרבולי, הקרויה קו השרשרת. הקשת מסמלת את "שער הכניסה" למערב ארצות הברית ומוקדשת למתיישבים שפרצו את הדרך מערבה במאה ה-19.

5

Projection color torus.png

האם אפשר לצבוע כל מפה מדינית, כך שכל שתי מדינות בעלות קו גבול משותף נצבעות בצבע שונה, תוך שימוש בארבעה צבעים בלבד?
משפט ארבעת הצבעים מבטיח כי הדבר אפשרי. משפט זה הוא תוצאה בולטת בהיסטוריה של הטופולוגיה הקומבינטורית ושל תורת הגרפים.

6

Fractal Broccoli.jpg

ברוקולי בצורת פרקטל, צורה החוזרת על עצמה מספר רב של פעמים כך שככל שנעמיק בה תתגלה אותה התבנית שוב ושוב.

7

Circle-trig6.svg

מעגל היחידה הטריגונומטרי הוא כלי הנותן צורה נוחה לתיאורן של הפונקציות הטריגונומטריות ומאפשר את הרחבתן אל מעבר למחזור אחד. בתמונה משורטטות על המעגל הפונקציות הטריגנומטריות המרכזיות, כמו גם מספר פונקציות אשר אינן נמצאות יותר בשימוש, כדוגמת הפונקציה \textrm{exsec} \, \theta \,.

8

Boulier1.JPG

חשבונייה סינית. עקב סיבות גיאופוליטיות, במשך שנים רבות התפתחה התרבות של סין העתיקה עם זיקה מעטה מאוד לתרבויות אחרות. המתמטיקה הסינית, בשונה מהמתמטיקה היוונית, הייתה מתמטיקה תכליתית.
ראו גם: היסטוריה של האריתמטיקה.

9

KleinBottle-01.png

בקבוק קליין, מוטבע במרחב התלת-ממדי. בקבוק קליין הוא משטח קומפקטי לא אוריינטבילי, זאת אומרת שיש לו צד אחד בלבד. למרות שהמשטח הוא דו-ממדי, ודומה למישור בסביבה הקרובה של כל נקודה, הוא אינו ניתן לשיכון במרחב האוקלידי התלת-ממדי, אלא רק במרחב בעל ארבעה ממדים או יותר.

10

Dürer Melancholia I.jpg
התחריט מלנכוליה, 1514. בשל החידתיות הרבה של יצירה זו, ריבוי האלמנטים הסימבוליים ועושר האלמנטים המתמטיים-גאומטריים שבה, היא אחת היצירות שזכו למספר רב של ניתוחים, דיונים ופרשנויות, במגוון נקודות מבט, שנייה אולי רק למונה ליזה של לאונרדו דה וינצ'י. מלנכוליה היא תחריט נחושת, ומוצגת במוזיאון לאמנות יפה שבבוסטון. היצירה כוללת, בין היתר, ריבוע קסם מסדר רביעי ופאון אשר מהווים חלק נכבד מהעברת הרעיון שביצירה.

11

סרטון של זום לתוך קבוצת מנדלברוט

סרטון של זום לתוך קבוצת מנדלברוט, קבוצה של מספרים מרוכבים אשר הגבול של ייצוגן הגאומטרי מהווה את אחת הדוגמאות המוכרות ביותר של פרקטלים במתמטיקה.

12

HypotrochoidOn4.gif

מסלולה של נקודה על שפתו של מעגל המתגלגל על שפתו מעגל אחר בעל רדיוס גדול פי ארבעה נקראת "אסטרואידה". משוואתה של אסטרואידה היא x^{2/3} + y^{2/3} = 1 \,.

13

Curta Type II.jpg

הקורטה הוא מחשבון מכני קטן שהושק לראשונה ב-1948. בתמונה: מחשבון קורטה מכני בתצוגה במוזיאון להיסטוריה של המחשב במאונטן ויו שבקליפורניה.

14

EulerLine.svg
ישרים חשובים במשולש: ישר אוילר באדום, אנכים אמצעיים בצהוב, תיכונים בכחול וגבהים בירוק.

15

Polyhedron.jpg

פאון בן 1860 קודקודים ו- 5340 צלעות.

16

Pacioli.jpg

ציור של לוקה פאצ'ולי מלמד, מיוחס ליאקופו דה ברברי מ-1495. השולחן מלא בכלים גאומטריים: לוח צפחה, גיר, מחוגה, הספר שכתב ודגם של דודקהדרון. רומביקובוקטהדרון שחציו מלא במים תלוי מהתיקרה. פאצ'ולי מדגים משפט מתמטי של אוקלידס.

17

Dome of the rock golden ratio.jpg

יחס הזהב הוא קבוע מתמטי המעסיק את המדע והאמנות כבר מאות בשנים. יחס הזהב, שערכו כ- 1.618, מסומן באות היוונית פי (\varphi). זהו יחס המייצג מידות וגדלים רבים בטבע והחל מתקופת יוון הקלאסית הוא גם משמש באמנות ובאדריכלות. בתמונה, מוצגת כיפת הסלע שעל פי טענות מסוימות מידותיה נבנו על פי יחס זה.

18

Penrose star 3.svg

כוכב פנרוז. בעזרת אריחי פנרוז ניתן לרצף את המישור.

19

Fractal Art Kroon.JPG

פרקטל היא צורה החוזרת על עצמה פעמים רבות ברמות התבוננות שונות. לפרקטלים תכונות מתמטיות מעניינות רבות. כך, למשל, לעתים ממדיהם אינם שלמים או שהיקפם הנו אינסופי בעוד ששטחם סופי. כיום, עם תפוצת המחשבים והנגישות לתוכנה חופשית, יכול כל אחד ליצור פרקטלים מרהיבים בקלות יחסית, כמו זה אשר בתמונה.

20

End of universe.jpg

משולש, כפי שהוא נראה במערכות גאומטריות שונות. המשולש התחתון הנו משולש המתקיים בגאומטריה האוקלידית. המשלוש האמצעי מתקיים בגאומטריה היפרבולית והעליון בגאומטריה ספירית.

21

8-cell.gif

אנימציה תלת-ממדית המציגה את היטליו של טסרקט, גוף ארבע ממדי המהווה הכללה של הקובייה התלת ממדית.

22

TorusKnot3D.png

"קשר טורוס" הוא קשר המלופף על פניו של טורוס. קשר זה מקובל לאפיין על ידי שני מספרים זרים, q ו-p, כאשר q הוא מספר הליפופים על הטורוס ו- p הוא מספר הפעמים בו הוא עובר דרך ה"חור" שבמרכז הטורוס.

23

NautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg

קונכיית נאוטילוס, בצורת ספירלה לוגריתמית.

24

Babylonian numerals.svg

הספרות הבבליות הכתובות בבסיס סקסגסימלי (כלומר, בסיס 60). ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים.
ראו גם: היסטוריה של האריתמטיקה.

25

Line-Integral.gif

איור הממחיש את מושג האינטגרל הקווי.

26

Cycloid f.gif

ציקלואידה

עקומה שמתארת את מסלולה של נקודה קבועה על גבי מעגל המתגלגל ללא החלקה על גבי קו ישר. זה המסלול שפותר את בעיית הברכיסטוכרון, בעיית "הזמן הקצר ביותר".

27

Epsilontensor.svg

ייצוג תלת ממדי של טנזור לוי-צ'יוויטה, אשר איבריו מוגדרים על ידי סימן לוי-צ'יוויטה. באמצעות סימון זה, מתאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על וקטורים ועל טנזורים.

28

Gradient2.svg

גרדיאנט הינו אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור המצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי), ואשר גודלו כשיעור השינוי המקסימלי.
באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.

29

Determinant parallelepiped.svg

דטרמיננטה של מטריצה ריבועית היא סקלר התלוי ברכיבי המטריצה, ושווה לאפס בדיוק כאשר המטריצה אינה הפיכה. אם למטריצה ריבועית ישנם מקדמים ממשיים, אזי הדטרמיננטה שלה שווה לנפחו של המקבילוןמרחב האוקלידי ה- n-ממדי), שקודקודיו הם עמודות המטריצה.

30

MobiusSnail2B.png

"החילזון של מביוס" הנוצר על ידי קיפול השפה של רצועת מביוס מעל שדה המספרים המרוכבים וביצוע הטלה סטריאוגרפית שלה על המספרים הממשיים.
לחצו על התמונה להגדלה.

31

Riemann sum convergence.png
המחשת מושג האינטגרל של רימן, שהוא חישוב השטח מתחת לגרף של פונקציה על ידי חלוקתו למלבנים קטנים יותר ויותר וסכימת שטחיהם. ככל שנסכמים מלבנים רבים יותר, כך הקירוב משתפר. כך, כאשר כמות המלבנים הנסכמים מתקרבת לאינסוף, השטח המתקבל מתקרב לשטח המקורי.

32

Os d'Ishango IRSNB.JPG

עצם אישנגו. רבים טוענים שהיא ראיה להבנתו של האדם את האריתמטיקה הפשוטה עוד בשנים 20,000-18,000 לפני הספירה.
ראו גם: היסטוריה של האריתמטיקה.

33

Radian cropped color (he).svg

זווית בגודל של רדיאן אחד נוצרת על ידי קשת שהיקפה שווה לאורך של רדיוס המעגל.

34

Butterfly trans01.png

"עקומת פרפר טרנסצנדנטלית" היא עקום המתואר על ידי הפרמטריזציה
x = \sin(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)
y = \cos(t) \left(e^{\cos(t)} - 2\cos(4t) - \sin^5\left({t \over 12}\right)\right)
או על ידי המשוואה הקוטבית r=e^{\sin \theta} - 2 \cos (4 \theta ) + \sin^5\left(\frac{2 \theta - \pi}{24}\right).

35

Cuisenaire-Rods-2.png

בדידים. השימוש בבדידים ככלי הוראה מרכזי בהקניית מושגים אריתמטיים בסיסיים נמצא במחלוקת חריפה הן בישראל והן מחוצה לה.
ראו גם: הוראת המתמטיקה בישראל.

36

TSP Deutschland 3.png

מה הדרך הקצרה ביותר, מבין 43,589,145,600 דרכים אפשריות, לעבור ב-15 ערים מרכזיות בגרמניה?

זוהי דוגמה לבעיית הסוכן הנוסע, בעיה ידועה בתורת הגרפים ובתורת הסיבוכיות.

37

Binary clock samui moon.jpg

שעון בינארי. בשעון זה מיוצגות הספרות בבסיס בינארי, בסיס אשר פותח על ידי גוטפריד וילהלם לייבניץ במאה ה-17.

38

Brazil.Brasilia.01.jpg

קתדרלת ברזיליה הבנויה בצורת היפרבולואיד, צורה אשר נועדה לייצג זוג ידיים הנישאות לשמיים.

משוואתו של היפרבולואיד מצורה זו הנה :{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}=1.

39

Exterior calc triple product.png

מכפלה מעורבת של וקטורים נותנת את הנפח אשר כולא המקבילון שהם פורשים. זהו נפח מכוון אשר סימנו תלוי בסדר ביצוע הכפילה, דבר הבא לידי ביטוי בהוספת הסימן \wedge המורה על סדר הכפילה.

40

PascalTriangleAnimated2.gif
אנימציה המדגימה את הרעיון העומד מאחורי משולש פסקל המאפשר חישוב של המקדמים הבינומיים.

41

Icosahedron-wireframe.jpg

איקוסהדרון הוא פאון משוכלל בעל עשרים פאות, אשר כל אחת מהן היא משולש משוכלל, כלומר משולש שכל צלעותיו וכל זוויותיו זהות. האיקוסהדרון הוא אחד מחמשת הגופים האפלטוניים. פאון זה ידוע גם כקוביית ק20 במשחקי תפקידים כגון מבוכים ודרקונים.

42

Inside-out torus (animated, small).gif
טורוס הנו גוף סיבוב הנוצר מסיבובו של מעגל סביב לציר הציב לו אך לא חותך אותו. בתמונה מופיע טורוס עם חור ההולך וגדל עד שהטורוס "בולע" את עצמו.

43

Quadrant disc.jpg

דיסק עזר למציאת ערכי פונקציות טריגונומטריות המתוארך לתקופת המאה ה-16.

44

Hyperb gcubic hc.png

ריצוף של המרחב ההיפרבולי התלת-ממדי בקוביות.

45

Gamma abs.png

גרף של הערך המוחלט של פונקציית גמא במישור המרוכב.

46

GreekCross2Square.svg

כיצד ניתן לחתוך צלב יווני למספר קטן ככל האפשר של חלקים שמהם ניתן להרכיב ריבוע? את הפתרון הנראה בציור מצא הרי לינדגרן, אותו גילה בעזרת שיטה המבוססת על ריצופים, הנראית גם היא באיור.

47

Spiral of Theodorus.svg

ספירלת תאודורוס. זוהי הוכחה אינדוקטיבית שלכל מספר טבעי n , ניתן לבנות בעזרת סרגל ומחוגה קטע באורך \sqrt n. לאחר בנית קטע באורך \sqrt {n-1}, בונים משולש ישר-זווית שאורכי ניצביו הם \sqrt {n-1} ו-1 \,. ממשפט פיתגורס אנו יודעים כי אורך היתר הוא \sqrt n.

48

Wallpaper group-pmg-1.jpg

תמונה של רקמה מהוואי המבוססת על ריצוף של המישור, ומקיימת את חבורת הסימטריה pmg - הריצוף סימטרי תחת סיבוב ב-180 בשני צירים שונים, סימטרי תחת שיקוף בציר אחד, ותחת שיקוף מוזז בציר אחד, נוסף על סימטריות להזזה בשני כיוונים שונים.

49

Exp series.gif

קירוב של הפונקציה e^x \, לפולינום מדרגה n באמצעות פיתוח לטור מקלורן.

50

Pythagoras-2a.gif

משפט פיתגורס, הוא אחד מהמשפטים הגאומטריים הנודעים ביותר. הוא קובע שסכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. באנימציה רואים את אחת מההוכחות הרבות למשפט. בעזרת חיתוך ל-4 משולשים ישרי זווית וסידור החלקים מחדש מתקבלת הוכחה של המשפט.

51

Azrieli Towers Sept.2007.JPG

מנסרה היא צורה מרחבית אשר לה שני בסיסים חופפים ומקבילים. אם הבסיס הוא עיגול, מתקבל גליל. מגדלי עזריאלי בתל אביב הם (מימין לשמאל) בדמות מנסרה ריבועית, גליל ומנסרה משולשת.

52

R hand Rule.png

מכפלה וקטורית היא פעולה בינארית על שני וקטורים במרחב תלת ממדי, שמחזירה וקטור. בתמונה מופיע כלל עזר למציאת כיוונה המוכר בשם "כלל יד ימין": אם האצבעות מתוות את הקשת הקצרה מהווקטור הראשון לווקטור השני, האגודל מצביע בכיוון תוצאת המכפלה.

53

Archimedes pi.svg
שימוש בשיטת המיצוי לחישוב ערכו של הקבוע פאי. שיטה זו מתבססת על כך שהיקף המעגל קטן מהיקפו של מצולע החוסם את המעגל וגדול מהיקפו של מצולע החסום במעגל. באמצעות חישוב ההיקף של מצולע חוסם ומצולע חסום בעלי מספר הולך וגדל של צלעות מושג דיוק גדל והולך של היקף המעגל, ובהתאם לכך דיוק גדל והולך של פאי. שיטה זו מיוחסת לארכימדס.

54

Spherical coordinate system.jpg
תמונה הממחישה את הגדרת הקואורדינטות הכדוריות. במערכת קואורדינטות זו, מיוצגת כל נקודה במרחב התלת ממדי על ידי מרחקה מראשית הצירים, הזווית שנוצרת בין קו המחבר אותה לראשית לבין ציר ה-z והזווית הנפרשת בין היטל קו זה על מישור xy לבין ציר ה- x.

55

Vector field.svg

תיאור גרפי של השדה הווקטורי \ (-y,x).

56

WeierstrassFunction.svg
פונקציית ויירשטראס היא הדוגמה הראשונה שפורסמה לפונקציה רציפה בכל נקודה על הישר הממשי אך לא גזירה באף נקודה.

57

Sieve of Eratosthenes animation.gif

מציאת כל המספרים הראשוניים בין 2 ל-120 באמצעות הנפה של ארטוסתנס.

58

Circle2heart.png

הטרנספורמציה (x,y) \mapsto (x, \sqrt{|x|} - y) מעבירה מעגל לצורת לב. צורה שקולה להצגת אותו הלב היא על ידי הפרמטריזציה (r \cos (t), \sqrt{|r \cos (t)|} - r \sin (t));t \in [0,2 \pi], כאשר הפרמטר  \ r הוא מספר כלשהו.

59

Square Wave Fourier Series.svg

טור פורייה הוא כלי מתמטי המאפשר פירוק של פונקציות לרכיבים מחזוריים על ידי שימוש בפונקציות טריגונומטריות. בתמונה מופיע פירוק של גל מלבני בעל משרעת 4 וזמן מחזור של 1 לפונקציות סינוס על ידי הנוסחה f(t) = 2 - \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^k{\frac{(-1)^n - 1}{n} \sin(2 \pi n t)}.

הקו האדום מראה את הפונקציה המקורית, הירוק מראה את הפונקציה המתקבלת לאחר סכימת חמישה איברים והכחול לאחר סכימת חמישה עשר איברים. ככל שמסכמים איברים רבים יותר, כך מתקבלת פונקציה שערכיה קרובים יותר אל הפונקציה המקורית.

הטור מתכנס נקודתית בכל נקודות הרציפות של הגל. בנקודות האי-רציפות הוא מתכנס לממוצע בין הגבול מימין ומשמאל (בדוגמה זו ל-2). אולם הטור לא מתכנס במידה שווה. ניתן לראות כי כאשר מתקרבים לנקודת האי רציפות, יש פיק להפרש בין הסכומים החלקיים לבין הגבול. פיק זה הופך צר יתר אך גובהו חסום מלרע. תופעה זאת נקרת תופעת גיבס. לטור פורייה חשיבות רבה במתמטיקה תאורטית אבל גם שימוש נרחב בפיזיקה וישום מעשי כמו עיבוד אותות, תמונה וקול במדעי המחשב ושטחי הנדסה אחרים.

ניתן ללחוץ על התמונה על מנת לצפות בה מוגדלת.

60

Euler.png
זוויות אוילר הן שלוש זוויות במרחב האוקלידי המשמשות לתאר סיבוב בשלושה ממדים. כיוון שכל סיבוב כללי במרחב תלת-ממדי ניתן לייצוג על ידי הרכבה של שלושה סיבובים, ניתן לתאר כל סיבוב נתון על ידי שלוש זוויות אלו. לזוויות אוילר שימושים בפיזיקה ובפרט בתחום המכניקה של גוף קשיח.

61

Von Koch curve.gif
בנייה של פתית השלג של קוך, פרקטל שתואר לראשונה על ידי הלגה פון קוך.

62

Borromean Rings Illusion.png
בתורת הקשרים המתמטית, טבעות בורומאיות הן שזר המורכב משלושה מעגלים טופולוגיים הכרוכים זה בזה באופן שהוצאת כל אחת מהטבעות משחררת את הקשר בין שתי האחרות. הטבעות קרויות על-שם חלק משלט האצולה של בית בורומאו ממילאנו של המאה ה-15.

63

Pythagoras tree 1 1 13 Summer.svg
עץ פיתגורס הוא פרקטל במישור שנתגלה על ידי אלברט בוסמן, המתקבל מבנייה בת אינסוף שלבים. הוא קרוי על שם המתמטיקאי היווני בן העת העתיקה פיתגורס, בשל העובדה שכל שלושה ריבועים סמוכים בפרקטל יוצרים משולש ישר-זווית, ולכן מקיימים את משפט פיתגורס. עץ הפיתגורס שבתמונה צבוע כך ששלבים תחילתיים בבנייתו צבועים בצהוב ושלבים מתקדמים בירוק.

64

כיסוי האוריינטציות של טבעת מביוס.

כיסוי האוריינטציות הוא כלי לחקר יריעות לא אוריינטביליות. עבור משטח במרחב, ניתן לתאר את כיסוי האוריינטציות באופן הבא: נדמיין שהמשטח עשוי מנייר דו-שכבתי. נפריד את השכבות. היריעה שתתקבל תהיה מרחב הכיסוי של כיסוי האוריינטציות. העתקת הכיסוי תהיה ההדבקה של שתי השכבות בחזרה.

במקרה של טבעת מביוס (זאת אומרת טבעת עם חצי פיתול) היריעה המתקבלת לאחר הפרדת השכבות היא טבעת עם פיתול שלם. יריעה זאת דיפאומורפית לטבעת רגילה, ובפרט אוריינטבילית.

65

Omega-exp-omega-labeled.svg

תצוגה גרפית של כל הסודרים מ-0 עד \omega^\omega

קבוצת סודרים זו מהווה סודר בפני עצמה. הוא \omega^\omega+1. על כל סודר מוגדרת טופולוגיה. למעשה תצוגה זאת מגדירה שיכון רציף של \omega^\omega+1 למישור

66

Mug and Torus morph.gif
דוגמה פופולרית בטופולוגיה: דפורמציה רציפה (הומוטופיה) בין ספל קפה וכעך שמדגימה כי שני הגופים הומיאומורפים, לשניהם טופולוגיה של טורוס. למעשה כדי ששני גופים יהיו הומיאומורפים אין צורך בדפורמציה רציפה, מספיק מיפוי והיפוך רציפים. המעבר בין הכעך לספל אינו אלא ארגון מחדש של הירעה מסביב לחור שבכעך בעזרת כיווץ ומתיחה מבלי לקרוע אותה או לחבר חלקים שלא היו מחוברים קודם.

67

Cayley backward.gif
פרוק פרדוקסלי של גרף קיילי של החבורה F_2 (החבורה החופשית עם 2 יוצרים).
האנימציה מראה איך לפרק את הגרף למספר חלקים ולהרכיב מהם 2 העתקים של הגרף המקורי. פרוק כזה נקרא פרוק פרדוקסלי. בפני עצמו, פרוק זה אינו מפתיע יותר מהמלון של הילברט, אולם ניתן להסיק ממנו את משפט בנך-טרסקי (הנקרא לעתים פרדוקס בנך-טרסקי) הקובע כי קיים פרוק פרדוקסלי של הכדור.

68

Penrose Tiling (Rhombi).svg

ריצוף פנרוז, ריצוף כמו-מחזורי (קווזיפריאודי) בעזרת שני מעוינים שונים.

לריצוף זה סימטריה של שיקוף וסימטריה סיבובית מסדר חמש. על אף שניתן לזהות חזרה מקומית על קטעים מהריצוף, אין לו סימטריה של העתקה. רוג'ר פנרוז חקר מבנים אלה בשנות השבעים של המאה העשרים. מבנים כאלה מופיעים בגבישים כמו מחזוריים (קווזיגבישים) שנתגלו לראשונה על ידי פרופסור דן שכטמן מהטכניון ב-1982. התגלית הייתה פריצת דרך לגילוי גבישים חדשים ושימושים טכנולוגיים לתכונותיהם החדשות. פרופ' שכטמן זכה בעקבות התגלית בפרס נובל לכימיה בשנת 2011.

69

Hadwiger-Nelson.svg
בעיית הדויגר-נלסון היא בעיה בקומבינטוריקה גאומטרית השואלת כמה צבעים צריך כדי לצבוע את המישור כך שאף שתי נקודות במרחק יחידה אחת מהשנייה לא יהיו צבועות באותו הצבע. בתמונה מודגם שאפשר לעשות זאת עם 7 צבעים. ניתן גם להראות כי 3 צבעים לא מספיקים, אך המספר המדויק עדין לא ידוע.

70

Pythagorean theorem generalizations moasic.svg
הכללה למשפט פיתגורס

ההכללה למשפט פיתגורס מוזכרת כבר ב"יסודות" של אוקלידס‏‏; אם על צלעותיו של משולש ישר-זווית מונחות צורות דומות, סכום השטחים שעל שני הניצבים שווה לשטח הצורה שעל היתר.

בצורה פורמלית יותר: אם על צלעות משולש ישר-זווית שאורכי צלעותיו הם a,b,c\, בונים צורות ששטחיהן A,B,C כך ש \frac A {a^2} = \frac B {b^2} = \frac C {c^2}, אזי A+B=C.

71

Finite Dynkin diagrams.svg
דיאגרמות דינקין הן אובייקט קומבינטורי הממין אובייקטים רבים מתחומים שונים במתמטיקה.

הדיאגרמות על גרסאותיהן השונות, ממיינות אלגבראות לי פשוטות (מעל המרוכבים), חבורות לי קומפקטיות פשוטות קשר (או לחלופין חסרות מרכז), חבורות קוקסטר, אלגבראות הקה, פאונים משוכללים, תת-חבורות סופיות של SL_2(\C) (או SO_3(\R)), סינגולריות של יריעות אלגבריות דו-ממדיות ועוד.

ברוב המקרים אפשר לקשר בין האובייקטים גם בלי לעבור דרך דיאגרמות דינקין, אולם לעתים הקשר התגלה רק לאחר שהקשר לדיאגרמות דינקין היה ידוע. משפט בריסקורן אודות הקשר בין אלגבראות לי וסינגולריות של ירעות אלגבריות דו-ממדיות הוא דוגמה בולטת למקרה כזה.

72

LogisticMap BifurcationDiagram.png
דיאגרמת הביפורקציה של ההעתקה x \mapsto rx(1-x)
הדיאגרמה מציגה עבור כל ערך של r את המסלולים המחזוריים היציבים (או באופן כללי יותר אטרקטורים) של המערכת הדינמית המוגדרת על ידי ההעתקה על הישר הממשי. מחקר של המערכת הדינמית המוגדרת על ידי העתקה זאת על המישור המרוכב הוא הבסיס להגדרתן של קבוצת מנדלברוט וקבוצת ג'וליה

73

Sierpinski pyramid.jpg
פירמידת סרפינסקי היא אנלוג ממד גבוה של משולש סרפינסקי

פירמידת סרפינסקי היא פרקטל שנוצר על ידי הבניה הבאה: מכווצים פירמידה לחצי מגבוהה המקורי, ושמים חמש עותקים של פירמידה זו כך שקצותיהם נוגעות ואז חוזרים על התהליך.

תכונה של פירמידת סרפינסקי היא ששטח הפנים שלה אינסופי ואילו נפחה אפס.

74

Torus cycles.png
הטורוס נוצר על ידי כפל שני המעגלים.
אלו הם גם הנציגים של המעגלים החד ממדים על הטורוס עד כדי הומוטופיה, והם יוצרים את ההומולוגיה הראשונה שלו.

75

Beijing-Mean-Value-Theorem-3733.jpg
שלט בחוצות בייג'ינג המציג את משפט הערך הממוצע של לגראנז'.

מבחר תמונות נבחרות לפי נושאים

אוסף כללי (תמונות מומלצות)אדריכלותאוסטריהאורניתולוגיהאינטרנטאיראןאירלנדאישיםאמנותאמנות ישראליתאמסטרדם (אמסטרדם באמנות) • אמריקה הלטיניתאסלאםארכאולוגיה של המזרח הקרובארצות הבריתאתרי מורשת בישראלבוטניקהביולוגיהביתא ישראלבעלי חייםברזילברליןברצלונהגאוגרפיהגאולוגיהגאורגיהג'אזגוף האדםגרמניהדגלים וסמליםדיסנידתהומורהונג קונגהיישובהיסטוריההיסטוריה של המחשובהלכההמורשת העולמיתהמזרח התיכוןהממלכה המאוחדתהספרייה הלאומיתהשואההשפה העבריתויקימדיהוושינגטון די. סי. (תמונות היסטוריות) • חינוךחיפהטכנולוגיהטלוויזיהיהדותיוון העתיקהיפן (יפן באמנות) • ירושלים (ירושלים באמנות) • ישראל (תמונות פנורמיות) • כדורגלכדורגל ישראליכדורסלכימיהכלכלהלהט"בלונדון (לונדון באמנות) • מדעי החללמדעי המחשבמוזיקהמוזיקה קלאסיתמוסקבה (מוסקבה באמנות) • מזוןמחשביםמלחמת העולם הראשונהמלחמת העולם השנייהמתמטיקהמשחקיםניו יורק (ניו יורק באמנות) • נצרותסוציולוגיהסיןסנקט פטרבורג (סנקט פטרבורג באמנות) • ספורטספרותפיזיקהפסיכולוגיהפריז (פריז באמנות) • צבאצה"לצילוםקולנוערומא (רומא באמנות) • רומא העתיקהרוקרכבת ישראלרפואהשבת ומועדי ישראלתוכנהתולדות עם ישראלתחבורהתל אביב-יפותנ"ךתקשורת

תמונה אקראית