ויקיפדיה:הכה את המומחה/ארכיון מתמטיקה/4

דפי ארכיון של הכה את המומחה
ארכיון כללי
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
101	102	103	104	105	106	107	108	109	110
111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
121	122	123	124	125	126	127	128	129	130
131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
141	142	143	144	145	146	147	148	149	150
151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
161	162	163	164	165	166	167	168	169	170
171	172	173	174	175	176	177	178	179	180
181	182	183	184	185	186	187	188	189	190
191	192	193	194	195	196	197	198	199	200
201	202	203	204	205	206	207	208	209	210
211	212	213	214	215	216	217	218	219	220
221	222	223	224	225	226	227	228	229	230
231	232	233	234	235	236	237	238	239	240
241	242	243	244	245	246	247	248	249	250
251	252	253	254	255	256	257	258	259	260
261	262	263	264	265	266	267	268	269	270
271	272	273	274	275	276	277	278	279	280
281	282	283	284	285	286	287	288	289	290
291	292	293	294	295	296	297	298	299	300
301	302	303	304	305	306	307	308	309	310
311	312	313	314	315	316	317	318	319	320
321	322	323	324	325	326	327	328	329	330
ארכיון מתמטיקה
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ארכיון פיזיקה
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ארכיון ביולוגיה
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ארכיון פסיכולוגיה
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

דף זה הוא דף ארכיון של דיון או הצבעה שהסתיימו. את המשך הדיון יש לקיים בדף השיחה של הערך או הנושא הנידון. אין לערוך דף זה.

---

שאלה במתמטיקה (90)

בוקר טוב! יש לי שאלה:

4X × 2X יוצא 8X או 8X²?

תודה רבה! בצאת ישראל - שיחה 08:51, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

קל לראות את זה אם נעזרים בחוק החילוף: 4X × 2X שווה ל- 4×2 × X×X: המכפלה הראשונה שווה כמובן ל-8; השנייה היא X כפול עצמו, כלומר X². אביעדוס • שיחה 09:00, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

כמו שחשבתי, תודה רבה! בצאת ישראל - שיחה 10:30, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

בשמחה. אביעדוס • שיחה 11:24, 10 באוגוסט 2009 (IDT)

מציאת שטח

בבית ספר אמרו לנו שהאינטגרל זה מציאת שטח מתחת לגרף. תוך כדי שאני מנווט באינטרנט אני רואה שהשטח של ${\frac {1}{x^{2}}}$ הוא סופי, והשטח של ${\frac {1}{x}}$ הוא אינסופי (בשניהם גבולות האינטגרל הם בין 1 לאינסוף) ואני לא מבין למה? אני רואה ש ${\frac {1}{x^{2}}}$ יורדת יותר מהר וע"פ החישובים זה אכן יוצא כך, אבל אני אשמח להסבר נוסף אינטואיטיבי. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

אני לא יודע אם זה באמת הסבר אינטואיטיבי, אבל הסיבה היא שהאינטגרל של ${\frac {1}{x^{2}}}$ מצטבר כמו ${\frac {1}{x}}$, אבל האינטגרל של ${\frac {1}{x}}$ מצטבר כמו $\ \log(x)$ שהיא פונקציה שיורדת "לאט" - לאט מדי. חזקה 1- היא באמת מעניינת, כי לא רק האינטגרל של ${\frac {1}{x^{2}}}$ מתכנס לשטח סופי, אפילו ${\frac {1}{x^{1.0000000000000001}}}$ מתכנס. אבל ${\frac {1}{x}}$ עצמו - לא. זה הגבול שאחריו השטח מתבדר. ‏odedee • שיחה 15:53, 14 באוגוסט 2009 (IDT)

ההסבר האינטואיטיבי שאני בדר"כ מציע לתלמידים שלי הוא, שאינטגרל לא אמיתי (קרא את הערך אם עדיין לא קראת) בקטע $\,[1,\infty ]$ הוא בעצם סכימה רציפה של כל הערכים של פונקציה כלשהי, על פני שטח אינסופי. עכשיו, כדי שהאינטגרל יתכנס, אנחנו רוצים לקבל בעצם מספר סופי בתור תשובה. ככל שאנחנו הולכים יותר ימינה על ציר x, המשתנה x גדל יותר ויותר. הפונקציה צריכה, אם כן, לקטון במידה גדולה יותר מהמידה בה x גדל. הפונקציה ${\frac {1}{x}}$ קטנה בדיוק במידה בה x גדל, אז כדי שהיא תקטן קצת יותר צריך להגדיל את המכנה בצורה שתהיה פרופורציונלית ל-x, וזאת ע"י העלאתו בחזקה גדולה מ-1. אגב, אם סוכמים על הקטע $\,[0,1]$ מקבלים תוצאה הפוכה בדיוק: הקטע הזה אמנם סופי על ציר x, אך אינסופי על ציר y, כי הפונקציה אינה חסומה שם. אם כן, הפונקציה צריכה לרדת יותר לאט מהמידה בה x יורד ככל שהולכים שמאלה על הצירים (מ-1 לכיוון 0), ולכן הפעם מעריך החזקה צריך להיות קטן מ-1. ברק שושני - שיחה 16:28, 14 באוגוסט 2009 (IDT)

כדאי לחשוב על סכום של סדרות - הפונקציות שהבאת דומות מאוד לסכומים הבאים - הסכום - 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... אינו מתכנס - הוא ממשיך לעלות עד אינסוף. לעומת זאת, הסכום: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... מתכנס למספר 2. אולי זה יתן קצת אינטואיציה לגבי המצב הזה בו סדרה אינסופית של מספרים (כמו באינטגרל) נותן סכום סופי. עופר קדם - שיחה 17:06, 14 באוגוסט 2009 (IDT)

L.V.D.M - שיחה 18:18, 14 באוגוסט 2009 (IDT) אני לא יודע איך מגיבים (משתמש חדש), אבל תודה! אני כתבתי את השאלה.
איך זה שאני יכול לערוך (ולמחוק) טקסט שמישהו אחר יצר? משתמש זדוני יכול להרשם ולמחוק את כל מה שעשו פה. חבל!

קודם כל, ברוך הבא. כדי להגיב, פשוט ערוך את הפסקה והוסף את הודעתך בשורה חדשה בתחתית. נהוג להזיח תגובה באמצעות נקודתיים (:) בתחילת התגובה. טכנית, אפשר לערוך גם את תגובותיהם של אחרים, אך אין זה מקובל (ותמיד אפשר לשחזר את המחיקה בהינף מקש). כמו כן, נהוג לחתום בסוף ההודעה ולא בתחילתה. ברק שושני - שיחה 18:25, 14 באוגוסט 2009 (IDT)

אוקיי. L.V.D.M - שיחה 19:42, 14 באוגוסט 2009 (IDT)

הוכחת שיטת כפל עתיקה

בעבר השתמשו בשיטה הבאה לכפל במספרים שלמים (עדיין משתמשים בשיטה בכמה מדינות, בעיקר מדינות עולם שלישי):

?=xy

x y

x/2⌋ 2y⌋

x/2⌋/2⌋ 4y⌋⌋

...

1 2ⁿy

אם המספר השמאלי (התלוי ב-x) זוגי מוחקים את השורה שלו. מחברים את המספרים הימניים (התלויים ב-y) בשורות שנותרו ומקבלים את המכפלה xy.

לדוגמה:

15X17=?

15 17

30 8

60 4

120 2

240 1

נמחק את השורות שבהן המספר השמאלי זוגי:

15 17

30 8

60 4

120 2

240 1

נחבר את המספרים הימניים שנותרו:

255=240+15

ואכן 255=17X15

מישהו יכול להוכיח שהשיטה נכונה לכל x ו-y (לא רק שלמים)? תודה, 18:15, 14 באוגוסט 2009 (IDT) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

השיטה הזו היא למעשה כפל ארוך בבסיס 2 (פרט לזה ש*כותבים* את המספרים כרגיל, באופן עשרוני). היא לא עובדת למספרים לא שלמים, ותיקונים קוסמטיים יכולים לכל היותר לגרום לה לעבוד למספרים רציונליים שהמכנה שלהם הוא חזקת 2. עוזי ו. - שיחה 18:29, 14 באוגוסט 2009 (IDT)

אין פתרון

איך כותבים בצורה מתמטית שאין פתרון ל-x? אולי, למשל, {x}=$\emptyset$

? 15:32, 28 באוגוסט 2009 (IDT) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

כותבים "למשוואה אין פתרון" וגם בלתי אפשרי לכתוב את מה שרשמת משום שהסימן מהווה קבוצה ריקה, אין מצב לכתוב קבוצה רירה שווה לקבוצה של X זה גם לא הגיוני לכן או שתכתוב "אין פתרון למשוואה" או שתשים רק את הסימן של הקבוצה ריקה.

עוזי ו. - שיחה 17:01, 28 באוגוסט 2009 (IDT)

שאלה בגיאומטריה אנליטית

"שני קטעים, AB ו-CD, ניצבים זה לזה וחוצים זה את זה בראשית הצירים.

נתון: AB=2a, CD=2b, a≠b

הוכח: המקום הגיאומטרי של כל הנקודות P המקיימות PA PB=PC PD הוא היפרבולה שוות שוקיים שמשוואתה היא $x^{2}-y^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}$.

הצלחתי להגיע למשוואה בעזרת טרנספורמציה (כך ש-AB יתלכד עם ציר ה-x ו-CD עם ציר ה-y), אך לא הצלחתי להוכיח שמותר לעשות טרנספורמציה. עזרה? 18:08, 29 באוגוסט 2009 (IDT) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

אם המטרה היא להוכיח שזו היפרבולה - בוודאי שמותר להפעיל טרנספורמציות צפידות על המישור, כי הן מעבירות היפרבולה להיפרבולה. משוואת ההיפרבולה תלויה במיקום הקטעים, וקל יותר לחשב כשהם ממוקמים על הצירים. אם תסובב את המישור, המשוואה תשתנה. עוזי ו. - שיחה 20:46, 29 באוגוסט 2009 (IDT)

התרגיל לקוח מספר לימוד של בני גורן, ומעולם לא מצאתי טעויות בספרי הלימוד שלו, מלבד טעויות טכניות. אתה בטוח שהמשוואה כבר לא תהיה $x^{2}-y^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}$ אם AB לא יתלכד עם ציר ה-x ו-CD לא יתלכד עם ציר ה-y? זה אומר שביזבזתי 4 וחצי שעות עבודה בניסיון להוכיח דבר שגוי! תודה, 00:55, 30 באוגוסט 2009 (IDT) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

היא חייבת להשתנות, אחרת אתה אומר שהמשוואה של כל ההיפרבולות בעלות אותם a, b היא זהה, בלי קשר לזווית הסיבוב שלהן. הרי לא יכולה להיות פונקציה זהה שמתארת עקומות שונות במישור. ‏odedee • שיחה 02:38, 30 באוגוסט 2009 (IDT)

מעלות ורדיאנים

אני אשמח להסבר איך להמיר תוצאה של סינוס ברדיאנים למעלות (במקרה של sin 180 אני מעוניין להמיר 0.801152636- ל- 0). תודה מראש, ילוד - שיחה 19:24, 29 בספטמבר 2009 (IST)

לא הבנתי בדיוק, אבל 1 מעלה = (שני פאי חלקי 360)רדיאנים. ראה גם בערך מעלה (זווית). יוסאריאן • שיחה 19:30, 29 בספטמבר 2009 (IST)

אם אני הבנתי, הוא מחפש איך להמיר $\ \sin(x)$ ל-$\ \sin({\frac {\pi x}{180}})$. ירון • שיחה 22:45, 30 בספטמבר 2009 (IST)

בעיקרון, הארגומנט של סינוס הוא ברדיאנים. כדי לחשב סינוס של מעלות יש להכניס למחשב -$\ \sin({\frac {\pi d}{180}})$ כאשר d זה הזווית במעלות. במחשבון כיס אפשר לבחור על ידי mode האם הקלט של הזווית יהיה ברדיאנים או במעלות (ואז המחשבון מבצע את ההמרה בעצמו). בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 22:53, 30 בספטמבר 2009 (IST)

אביר, לדעתי הוא ביקש המרה בין $\ y1=sin(x)$ לבין $\ y2=sin({\frac {\pi x}{180}}$, לא בין הארגומנט, אלא בין התוצאות. לדעתי אין אחת כזו. ירון • שיחה 14:15, 1 באוקטובר 2009 (IST)

שימוש בסימון '=' בתוך ביטוי מתמטי

האם מותר לשים '=' באמצע ביטוי מתמטי? למשל, ${\frac {4-x+x=4}{x^{2x-\pi }+1}}$ או $\sum _{n=0}^{\infty }n^{2e^{i\pi }=-2}$. 20:49, 14 באוקטובר 2009 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

לא, אין דבר כזה. יש שעושים השוואה אחרי קו אנכי (ותסלח לי שאין לי מושג אין כתובים את זה בויקי) למשל אם אתה רוצה את סכום המספרים מ-1 עד 100 חוץ מ14, אפשר לכתוב סיגמא ובשלב מסויים שמים קו אנכי ולידו בקטן, n אינו שווה 14. ייתכן שאתה מתכוון לסימן השוואה כמו בשפת C, דהיינו שהביטוי "8=8" ערכו 1 ו"8=9" ערכו 0. אז זה ממש לא תקין, כי ערכי הביטויים הללו במתמטיקה הם "אמת" ו"שקר" בהתאמה ו"אמת" אי אפשר לחבר עם מספרים. kotz - שיחה 21:55, 14 באוקטובר 2009 (IST)

תשובה אפשרית אחרת - מותר, בטח שמותר. אבל מה המשמעות של זה? מה אתה מנסה להגיד על ידי כך? אם אתה לא מסוגל לתת לכך משמעות מעניינת (אני לא מכיר כזו), אז כנראה שאין טעם לעשות זאת. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 22:34, 14 באוקטובר 2009 (IST)

אני ראיתי את הסימן כאן (בסוף העמוד). האם זו טעות בתוכנית המחשב? 13:34, 15 באוקטובר 2009 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

זה נראה כמו קיצור. ה-K הגדול שם הוא כנראה סימון מקוצר לשברים משולבים, וכדי לא לבלבל את מי שמכיר את הסימון הסטנדרטי כתבו שם את שניהם והשתמשו בשוויון כדי לציין שזה אותו דבר מנוסח בשתי דרכים שונות. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 13:49, 15 באוקטובר 2009 (IST)

...0.9999999999999999999999999999999999999

קראתי את הערך ...0.999, אך מלבד ההתייחסות לכך שהמסקנה המתמטית אינה מתקבלת על לב האדם הפשוט, לא מצאתי בו הסבר בעברית פשוטה מדוע 0.999999999999999999999999 שווה למספר 1. מישהו מוכן להסביר לי במילים פשוטות מדוע זה אכן כך?. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 21:04, 28 באוקטובר 2009 (IST)

השבר המחזורי הזה זהה ל 1 מתוקף מוסכמה, אבל המוסכמה אינה סתמית כי אם בעלת סיבות מצוינות.

ראשית יש להכיר בזה ששברים אינסופיים אינם מספרים ללא קיום כללים שנבנה במיוחד עבורם. למשל - איך מחברים שני שברים אינסופיים? הרי אנו מתחילים את החיבור מהספרה הימנית ביותר, ואין כזו בשבר אינסופי.

כעת נביט מה קורה אם נחליט - וזו החלטה לגיטימית - שאנו מעוניינים שהמוסכמה תשתנה, ו 0.0999999 יהיה קטן מאחד. ובכן - מהו 1-0.999999999...? הרי כל שבר רציונלי סופי יהיה גדול מדי. את אפס פסלנו משום שהכרזנו ש 1>0.9999999999... מה נשאר? נצטרך להמציא מספר חדש. מין "כמעט אפס אבל לא אפס". נצטרך גם למצוא כללים שיאפשרו שימוש ביצור הזה - למשל האם המספר החדש הזה כפול מספר "נורמלי" זה אפס? המספר המוזר עצמו? אם תחפור בזה מעט תגלה שקשה לנסח כללים שלא מייצאים סתירה פנימית חמורה מאד כמו 1=2 וכך הלאה.

לסיכום: המוסכמה ש 0.99999999999 = 1 אינה סתמית. יש לה נימוקים מצויינים. ועדיין - זו מוסכמה בלבד. אין פה אמת טמירה שמתחבאת מאחורי ההגדרה הזו. אילן שמעוני - שיחה 21:18, 28 באוקטובר 2009 (IST)

אם אתה מוכן לקבל שהערך הזה הוא מספר ממשי x, אז 10x אמור להיות שווה ל- $\ 9.999...$, כלומר ל- 9+x; הפתרון למשוואה 10x=9+x הוא x=1. (הסיבה להדגשות מוסברת באריכות בערך). עוזי ו. - שיחה 21:36, 28 באוקטובר 2009 (IST)

בהמשך לדברי אילן - יש לזכור שמתמטיקה היא "משחק" מופשט. היא אינה מחויבת למציאות כלשהי. המתמטיקאים הם אלו שקובעים את החוקים איך שהם רוצים, כשהבחירות מונעות מהשאיפה ליצור מערכת מעניינת. אם מתמטיקאים רוצם להחליט ש-"0.999...=1" אז מותר להם כל עוד זה עקבי לוגית אם שאר הדברים שהם אומרים. מותר להם גם להגיד "0.999...=כלב" אבל זה לא ממש מעניין ואי אפשר לעשות עם זה הרבה ולכן הם לא עושים זאת. למרות זאת, המתמטיקה היא בכל זאת כלי שימושי לתאור המציאות הפיזיקלית כפי שאנו רואים בחיי היום יום. אך זה לא חייב להיות כך. דניאל ב. 21:39, 28 באוקטובר 2009 (IST)

אז אם אני מבין נכון, הקביעה המתמטית אינה עובדה מציאותית. השבר העשרוני האינסופי הזה, הוא בעצם לא שווה למספר 1. רק שיש מוסכמה הנועדה לספק צרכים מתמטיים שהשבר הזה שווה ל-1. האם זה נכון?. ומכאן לגבי מה שכתב אילן: תודה על ההסבר, אבל לא הבנתי: מה זאת אומרת אם אני יחליט ש... . אני לא מחליט כלום. העובדה היא שהשבר הזה אינו שווה ל-1. וכמה זה 1 מינוס ...0.999? - ...0.111, לא?. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 21:55, 28 באוקטובר 2009 (IST)

אתה טועה. השבר האינסופי 0.999... = 1. שנית, 1-0.999... לא שווה ל-0.1111, חבר אותם ותראה שתקבל מספר גדול מ-1. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 21:58, 28 באוקטובר 2009 (IST)

אם אני טועה, ענה לי בבקשה על שאלתי הראשונה. אם 0.9 + 0.1 זה 1. לגבי 1-...0.999 אתה צודק. טעיתי בחישוב. אבל מה שברור ש-1 - 0.999... לא יכול להיות 0. הבעיה היא כמובן שבגלל שמדובר בשבר אינסופי, הרי שהתוצאה האמורה להסתיים ב-1 אחרי 0.000... אינה יכולה לתחם את המספר, כי הרי מדובר במשהו אינסופי. למעשה לשאלה 1-...0.999 שווה?, אין תשובה ריאלית. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 00:03, 29 באוקטובר 2009 (IST)

מקור הטעות שלך בכך שנדמה לך שקיימת מתמטיקה "מציאותית".מתמטיקה היא מופשטת מטבעה. זה לא שיש מתמטיקה "מציאותית"ומתמטיקה אחרת.

לאורך ההיסטוריה אנשים שונים טענו שתחומים שונים במתמטיקה הם מחוץ לגדר מפני שאינם מציאותיים. בין המוקצים תמצא את המספרים השליליים, מספרים אירציונליים ועוד. כל זה בא מההנחה השגויה שיש מציאות מתמטית השאר זה דמיון פרוע.

אם אתה רוצה "מציאות מתמטית" תצטרך, כמו כל החוכמולוגים האלו לאורך ההיסטוריה, לסיים עם ערימה מבולבלת שסותרת את עצמה. אם אתה לא מקבל את 0.9999999999...=1 אתה לא מקבל את המספרים הממשיים. אם אתה לא מקבל את הממשיים אתה לא מקבלל את האירציונליים ומרגע זה, לפי שיטתך,לאלכסון של ריבוע אין אורך מוגדר. דווקא ההתעקשות על"מתמטיקה טבעית" מביאה למתמטיקה שאינה מסוגלת לתאר כלום בטבע.

ולשאלתך - תחת ההגדרות המקובלות (ישנן אחרות, למשל אנליזה לא סטנדרטית של רובינזון, אבל תאמין לי שזה יהיה עוד פחות "טבעי" בעיניך) מתקבל ש 0.99999999...-1=0 אילן שמעוני - שיחה 00:19, 29 באוקטובר 2009 (IST)

תעזוב את המונח "מתמטיקה". מבחינתי 1+1 = 2. זה עובדה. לא מתמטיקה מופשטת ולא מתמטיקה טבעית, מציאותית או ריאלית. אותו הדבר בשבר האינסופי הזה. העובדה היא, אם הבנתי נכון, שהוא לא שווה ל-1 (מבחינה ריאלית; לא משום בחינה אחרת). במילים אחרות: ...0.999 = 1, זה לא נכון עובדתית כמו ש-1+1 = 2. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 00:28, 29 באוקטובר 2009 (IST)

שוב טעות. לפי הגישה ה"עובדתית" (אין בה שום דבר עובדתי, אגב) שלך, מה אורך האלכסון של ריבוע שצלעו היא מטר אחד?

הרבה אנשים שגו בחזיון התעתועים הזה, שיש "זו עובדה" מתמטית. אין. לא קיים. חזיון תעתועים. פאטה מורגנה. צא מזה.... אילן שמעוני - שיחה 00:34, 29 באוקטובר 2009 (IST)

1+1= 2, זה לא עובדה?. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 00:35, 29 באוקטובר 2009 (IST)

לא יותר ולא פחות מ 0.999999999...=1. תבין שאם אני (או אתה) מקבל את הראשון, ומקבל משהו בסיסי מאד - כמו שלריבוע יש אלכסון - אני מוצא שאין מפלט ממתמטיקה מופשטת. זו המציאות ואין בלתה. מבחינתי זה "נפלאו דרכיו" וגומר. אילן שמעוני - שיחה 00:40, 29 באוקטובר 2009 (IST)

לצערי לא הסברת לי את הנושא. אני איש פשוט שמעולם לא לנכנס לנסכי המתמטיקה. מה שאני יודע הוא, שבעוד זה ששבר זה נחשב לשווה 1 רק מפני מוסכמה מתטית, הרי ש-1+1 יישאר שווה ל-2 גם אם המתמטיקה כולה תרד לשאול. תפוח אחד ועוד תפוח אחד (זוכר את כיתה ב'?) שווה לשני תפוחים, אבל ...0.999 תפוח (שזה לא ייתכן מציאותית, אבל עדיין אופציה תיאורטית) אינו בשום אופן תפוח שלם. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 00:45, 29 באוקטובר 2009 (IST)

האמנם? ואיך, במחילה ממך, תבדיל בינו לבין תפוח שלם? הרי שום זכוכית מגדלת, שום מיקרוסקופ - לא קיים ולא עתידי - יוכל להראות שהתפוח אינו שלם. תגדיל כמה שתרצה - מה שנדמה לך שחסר מהתפוח קטן מכל דבר שהוא.

יתר על כן - התייחס בבקשה לעניין שאני מעלה שוב ושוב - האלכסון של ריבוע. האם האלכסון של ריבוע הוא מציאותי, וניתן למדוד את ארכו? אם כן - אתה מקבל עליך את אותם כללים שגורסים ש 0.999999999...=1. אם לא - על איזו מציאות אתה מדבר? אילן שמעוני - שיחה 00:49, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אם מסדרים את כל המספרים על ציר מספרים אופקי, 0.999... יהיה צמוד ל-1, הגיוני לומר אך לעולם לא יהיה באותה נקודה. כיצד זה מתיישב עם ההחלטה להגדיר את 0.999... כ-1? סתם, בגלל שהם ממש ממש ממש צמודים אחד לשני? ‏Yonidebest Ω Talk‏ 00:51, 29 באוקטובר 2009 (IST)

לא יוני, לפי הגדרה אם הם שונים זה מזה חייב להיות דבר מה בינהם. אבל אין.

תראה, אתה מתעסק עם שבר אינסופי, נכון? אז לפני שאנחנו מתחילים להתווכח בלהט חשוב היטב: הרי אתה לא יכול להפעיל את הכללים הרגילים של חיבור וחיסור, כפל וחילוק, על שבר אינסופי. אז דבר ראשון - אנחנו חייבים להגדיר כללים חדים, כי הישנים לא עובדים כאן.

וכשאתה בא לנסח את הכללים החדשים האלו אתה מגלה שאם אתה מחליט ש 0.9999999.... שונה מ 1 אז יצרת לעצמך בשלב ראשון כאב ראש ענקי,ובשלב שני קיבלת מתמטיקה שבה אם משני מקלות זהים בארכם אתה מוריד את אותו אורך, אתה מקבל שני מוטות שונים באורכם. Where is your god now?

יכול להיות שההגיון האנושי דפוק. אולי. אבל זה מה שיש לנו. ובמסגרת אותו הגיון - זו מסקנה בלתי נמנעת שבשלב זה או אחר - ובכל מיקרה שלב מוקדם מאד - החשבון הפשוט הופך למתמטיקה מופשטת, עם פרדוקסים ומיני דברים שגורמים לשכל הישר להתפלץ. ככה זה. אילן שמעוני - שיחה 01:04, 29 באוקטובר 2009 (IST)

בדיוק. התפוח לא יהיה שלם גם אם אף מיקרוסקופ לא יעזור לי לראות זאת. ותעזוב עכשיו מתמטיקה ואלכסון של ריבוע. אני מדבר איתך בסיטואציה שהמתמטיקה נעלמה כליל מהתודעה שלנו. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 00:53, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אם המתמטיקה נעלמה מהתודעה שלנו יעלמו איתה גם המספרים. ואגב - אני לא רואה מה מציאותי בתשובה שלך אם כשיש לך שני תפוחים אתה לא יכול לדעת אם יש לך שני תפוחים שלמים, 1.999999999999999999999999999999999999999999999... תפוחים או אולי שני 0.9999999999999999 של תפוח. אז מי מציאותי פה? אין הבדל בין 0.99999999... של תפוח לתפוח אילן שמעוני - שיחה 01:04, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אני לא מבין את ההסתבכות שלך, איש. זה הפרדוקס של זנון. אם אתה מתקרב 0.9, ואז 0.09, ואז 0.009 וכו', אתה מגיע, במציאות, ל-1.0 . זו המציאות, דווקא. רק במתמטיקה מופשטת כלשהי, עשויים לומר שבעצם אתה אף פעם לא מגיע. אבל מתמטיקה כזו היא בעלת סתירות פנימיות מסויימות, כמו שהראו לך. לכן, המתמטיקה המופשטת הסכימה שכדי להימנע מהסתירות (ומהפרדוקס של זנון), ובגלל שמכל בחינה חישובית כך אכן יוצא, הרי שהמספר הנ"ל שווה ל-1. ממש שווה, כי אין דרך אחרת, טובה יותר, להתייחס אליו. פשוט אין. הן מתמטית והן "מציאותית", הוא שווה ל-1. רק בחשיבה המופשטת הוא פחות מ-1, במידה שאי אפשר בכלל להתייח אליה - לא מתמטית, ולא במציאות. אם משהו הוא פחות מאחד, רק שאי אפשר לומר בכמה כי המספר הוא קטן במידה בלתי אפשרית, ועוד יותר קטן אפילו ממנו, וקטן אפילו מזה וכן הלאה, הרי שאי אפשר להתייחס להבדל הזה בשום שפה ומחשבה, ולפיכך הוא לא קיים. אדם נבו•שיחה 08:49, 29 באוקטובר 2009 (IST)

שאלה יש למישהו איזה כדור לכאב ראש? • עודד (Damzow) • שיחה • משתמש זה מרענן מומלצים 08:35, 29 באוקטובר 2009 (IST)

יספיק לך ...0.99999999999 כדור שנילי • שיחה 08:47, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אם הדיון הסתיים (או ...0.99999999 הסתיים) ממליץ להעבירו לדף השיחה של הערך הנדון. למתקשים רק אוסיף שאין דבר לוגי יותר מהוכחה מתמטית, גם אם המסקנה סותרת את "ההגיון האנושי". במיוחד בולט הדבר כשמגיעים לאינסופיים, ששם פשוט אין לנו אינטואיציה אלא רק מערכות לוגיות. אין טעם להתווכח, רק לעקוב אחר לפחות שתי ההוכחות שיש כאן בדף. Ranbar - שיחה 09:23, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אני חייב להוסיף משהו, כי כזה אני. הבעיה של המתקשים/מתנגדים זה שהם מניחים שמלכתחילה יש איזושהיא משמעות ל-...0.999, ועכשיו צריך "להבין" אותה. הרי הם אומרים "אם אקח 0.5 תפוח זה יהיה בדיוק חצי תפוח!". צריך לזכור שגם 0.5 זו המצאה של מתמטיקאים ושמישהו היה צריך ממש להמציא את זה. ובעוד שהמשמעות של הסימבול 0.5 מוגדרת בקלות ומובנת בקלות (ע"י מרבית האוכלוסיה). לסימבול "...0.999" אין מלכתחילה שום משמעות ("טבעית"). kotz - שיחה 10:48, 29 באוקטובר 2009 (IST)

האיש והאגדה, האם התרצית? אני חושב שדבריו של קוץ הם המרכזיים והחשובים ביותר כאן, וכדאי שגם הערך בנושא יבהיר אותם אם זה טרם הובהר בו. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 11:01, 29 באוקטובר 2009 (IST)

זה הנושא היחיד של הערך; בלעדיו אפשר היה להסתפק בהפניה 0.999.... עוזי ו. - שיחה 13:51, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אז או שהאיש והאגדה בא בגישה עוינת, או שבאמת ניתן לפספס את ההסבר בעברית פשוטה לכך. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 14:26, 29 באוקטובר 2009 (IST)

ריאליזם

לא הבנתי. אני בסך הכול מחפש הסבר נהיר, קריא ובמילים פשוטות, מדוע השבר הזה הוא באמת בדיוק 1. הסכימו למעלה, שזו רק מוסכמה מתמטית. אני מבין מכך שזו לא עובדה אלא רק מוסכמה.

זה אבסורד שאני צריך להסביר את הקושי שלי להבין את זה כעובדה. זה היה אמור להיות ההיפך. אך אם עדיין לא הובן הקושי הזה, אנסה לתאר אותו. אני עוזב כעת את המתמטיקה. היא פסה מן העולם בזה הרגע ואין יותר ממנה שארית של שארית. אם תרצו אנחנו הולכים לבנות אותה מחדש. ובכן: מה שברור הוא שהימצאות עצם שהוא חלקי ולא שלם המתבטא שבר עשרוני אין סופי, היא פשוט בלתי ריאלית. לא ייתכן מציאותית תפוח שהוא 0.6666... לצורך העניין. כי הרי תפוח הוא משהו מוגדר וקיים, בעוד האינסופיות אינה קיימת. השבר העשרוני האינסופי, אם כן, הוא רק תיאורטי. עד כאן ברור?.

הלאה: לצורך העניין נניח שחצי תפוח לא ייתכן במציאות משום מה, והוא קיים רק תיאורטית. הרי אותו חצי תפוח איננו שלם, גם אם בתיאוריה אי אפשר להבחין בינו לבין תפוח שלם. אם כך אותו הדבר בתפוח שתיאורטית אינו שלם אלא חסר ממנו חלקיק שמתבטא בשבר העשרוני האינסופי ...0.999, הוא הרי לא תפוח שלם, נכון?. אז המתמטיקה, כפי שאני מבין, החליטה והסכימה בגלל סיבה כזאת או אחרת, שתפוח-חסר-חלקיק-בלתי-מציאותי-אבל-תיארוטי זה הוא דוקא כן שווה לתפוח שלם. אבל ברגע שעזבנו מוסכמה זאת, שהיא רק מוסכמה, וחזרנו לתיאוריה הטהורה, שלצורך העניין נקרא לה המציאות העובדתית, הרי שהתפוח חסר החלקיק המתבטא בשבר האינסופי הזה, אינו שוה לתפוח שלם. הוא בהכרח לא תפוח שלם. כי שבר אינו שלם. עד כאן מובן?.

הלאה: יבוא מישהו ויגיד לי: אבל גם 1+1 = 2, זה מוסכמה מתמטית. התשובה היא לא. עוד פעם: לא!. ומדוע? - כי תפוח אחד שלם ועוד תפוח אחד שלם, הם שני תפוחים שלמים. גם אם נגיד שלא ייתכן ריאלית תפוח שלם, ורק תיאורטית קיים דבר כזה, הרי שבאותה תיאוריה התפוח השלם יחד עם חברו התפוח השלם יוצרים שני תפוחים שלמים. ומכאן ש-1+1 = 2, זה עובדה. אם כך, גם ...0.999 אינו שלם. זו עובדה. עובדה לא ריאלית, אבל עובדה.

עכשיו: אל תנסו להשפיע עלי שאנחנו ממש חייבים להגיע למסקנה המתמטית. אני לא מחפש מסקנות שהן מתוקף מוסכמה, גם אם המוסכמה התקבלה בגלל סיבות מצוינות ולוגיות. זוהי עדיין מוסכמה, ולא על כך פתחתי כאן את הפסקה. עובדתית-תיאורטית ולא מוסכמתית ...0.999 היה ונשאר שבר ולא שלם. אז עובדתית אי אפשר להגיד ש-...0.999 = 1. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 16:21, 29 באוקטובר 2009 (IST)

יש לי שאלה קטנה אלייך: כשאתה כותב ...0.999, למה בדיוק אתה מתכוון? כל עוד זה לא הוברר, בסך הכל מדובר באוסף של סימנים על נייר, או ביטים במחשב. בפרט - מה שלוש הנקודות הללו מייצגות? צריך להיות מאוד זהירים כאן בדיבורים על אינסוף; הסימון "...0.999" איננו אינסופי, שכן הוא מכיל בסך הכל שמונה תווים. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 16:27, 29 באוקטובר 2009 (IST)

כשאני כותב ...0.999 אני מתכוון לשבר עשרוני אינסופי שמיוצג באפס משמאל, לאחריו לכיוון ימין נקודה, ולאחר הנקודה אינסוף 9'ים. ברור שתודעתינו המוגבלת למגבלות שונות, אינה סובלת את השבר הזה, ובכלל אינה סובלת אינסוף. אבל גם אם אינסוף אינו ריאלי ומושג (=בר השגה), הוא הרי אבל מובן ומתואר. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 16:31, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אמרת שאתה עוזב את המתמטיקה והיא פסה מן העולם; אם כן, גם המושג של "שבר עשרוני אינסופי" פס מן העולם, ועלייך להסביר לי מחדש למה אתה מתכוון בלי שימוש במושג הזה, שהוא מתמטי לעילא ולעילא (ואם הולכים "עד הסוף" עם הגדרתו המתמטית מקבלים מיידית, מחישוב מתמטי פשוט, ש-...0.999=1). אגב, בלי קשר - אני ממש לא חושב ש"תודעתנו המוגבלת אינה סובלת אינסוף". תודעתי המוגבלת מאוד אוהבת אינסופים. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 16:37, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אני מבין קטן מאוד במתמטיקה, אבל בטכניון למדתי (ועברתי !) קורס שנקרא "אלגברה לינארית". בתחילתו לומדים את היסודות של המתמטיקה ולומדים להגדיר את פעולות המתמטיקה מחדש. כך למשל, קראנו לפעולות החיבור "צלב" ולא "פלוס" והגדרנו אותה כפעולה אחרת לחלוטין. המתמטיקה אינה מציאותית, אלא מוסכמה. אומנם כזאת שיש לה אחיזה במציאות הפיזיקלית שלנו, אבל עדיין מוסכמה. זה מה שאתה חייב להבין. מבחינה מתמטית 1+1=2 היא מוסכמה ולא עובדה. באותה המידה ניתן היה להגדיר ש1+1=32,5657 ולהמשיך ולפתח את המתמטיקה משם. הכל במתמטיקה הוא מוסכמה. Shefshef : השיחה והחזון 16:40, 29 באוקטובר 2009 (IST)

לאיש, תן דעתך למהלך המחשבתי הבא מאת עוזי ו., עם ניסוח קל ביותר שלי: "נניח שהערך הזה הוא מספר ממשי x, אז 10x אמור להיות שווה ל- 9.9999999, כלומר ל- 9+x; הפתרון למשוואה 10x=9+x הוא x=1, כלומר הוכחנו, לוגית, ללא כל אפשרות לערעור את הטענה." אני באמת לא מבין מה קשה לך לקבל וכיצד ניתן לא לקבל זאת, מבלי למוטט מונחים אלמנטרים כמו מהות פעולת הכפל, מהות פעולת החיבור ומהותו של השיוויון. אין כאן שום קשר לשום תפוחים ולשום עצמים ריאליים כלשהם, פשוט משום שהרעיון של עצם זעיר עד-לאין-שיעור (ההבדל בין כל פיתוח סופי של 0.999999 ל-1) איננו קיים קיום פיזי אלא רעיוני בלבד. Ranbar - שיחה 17:30, 29 באוקטובר 2009 (IST)

לאיש, האם כעת אתה מסכים? בברכה, איש המרק - שיחה 18:04, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אאריך בתגובתי ובתוך הדברים אנסה לתת תשובות לכמה מן התגובות כאן:

מוזכר כאן פעם אחרי פעם שאם המתמטיקה פסה מן העולם, אזי אין כזה מושג שבר עשרוני אינסופי. יהיו מי שיטענו שגם המושג שבר עשרוני, שבר או אף מספר נעלם יחד עם עזיבת המתמטיקה. אני חושב שזה לא נכון, ואני רוצה הסבר משכנע מדוע זה נכון?. טענתי היא כך: המתמטיקה לא המציאה שתפוח אחד ועוד אחד הם שניים. נכון?. המתמטיקה אולי המציאה את הניסוח למושג הבסיסי הזה, או את הסימונים 1, 2, + ו-=; אבל היא בפירוש לא המציאה את העובדה הבסיסית שאחד ועוד אחד, יהיה זה תפוח או ערפד, הם שניים. אם המתמטיקה תחליט מתוקף מוסכמה, לוגית ככל שתהיה, ש-1+1=2, זה לא ישנה את המציאות.

כעת: ברור לחלוטין שכמו ב-1+1=2, זו עובדה ולא מוסכמה, הוא הדין לכל שבר/חלקיק. זה שחצי תפוח הוא חצי תפוח, זו עובדה. לא מוסכמה, אלא עובדה. גם אם המתמטיקה תסכים שחצי תפוח שווה 1, הרי שזה לא יסלף את המציאות. המתמטיקה אולי נתנה לנו את הסימון היפה 0.5 כדי לציין "חצי", אבל חצי זה חצי. הוא הדין בכל שבר. הוא הדין בכל שבר עשרוני. ועכשיו, למה מנסים להגיד לי ששבר עשרוני אינסופי אינו מציאותי-עובדתי. ההבדל היחיד בינו לבין שבר עשרוני סופי, הוא ה"אינסופיות". האם ה"אינסופיות" היא מוסכמה מתמטית? - ברור שלא. אינסופיות היא תיאוריה בלתי ריאלית, אך מובנת וקיימת. לכן, בדיוק כמו שהשבר העשרוני 0.9 הוא עובדה, ולא מוסכמה, הרי שעצם קיום הרעיון/התיאוריה של השבר העשרוני ...0.999 שהוא אינסופי, אינה מוסכמה. "0 נקודה ומיליון 9 אחרי הנקודה" זו עובדה בדיוק כמו התפוח השלם, החצי והרבע. ו"0 נקודה ומיליארד 9"? - גם היא עובדה ולא מוסכמה. ו"טריליון"? - גם. ו"אינסוף" - זה לא? מדוע?. אלא שברור שה"אינסוף" אינו הופך את העובדה הבסיסית המציאותית למוסכמה מתמטית, אלא הופך את הריאלי לתיאוריה.

עכשיו: ללא המוסכמה המתמטית, ...0.999 = 1 או לא?. אף אחד לא טען שלא. אף אחד לא טען שמשוואה זו איננה מוסכמה. המקסימום שהושמע כאן, הוא שללא המוסכמה המתמטית, אין כזה מושג ...0.999. ואני חושב שזה לא נכון. וכפי שהסברתי. היות השבר העשרוני הזה אינסופי אינו הופך אותו למתמטי ומוסכמתי, אלא לתיאורטי ורעיוני. תיאוריה/רעיון = מתמטיקה?? גם זו מוסכמה מתמטית???.

שלא תבינו לא נכון. אני מבין בערך את דברי עוזי ו., ואני מבין שזו הוכחה מתמטית ולוגית לבלתי קבלת השבר האינסופי הזה, לפחות מ-1. אני לא שולל את טענת המתמטיקה, כל עוד היא מוסכמה. אבל האם זה נכון להגיד שללא מוסכמה, השבר הזה אינו שווה ל-1?. למה אף אחד לא יכול לענות כן?. ואם התשובה היא אכן לא (ולא "ללא מוסכמה אין בכלל מספרים", וכפי שהסברתי), אזי מדוע.

ללא מה שנכתב כאן מקודם, לא הייתי צריך להסביר את כל זה; אבל בעצם שאלתי בתחילת הפסקה, היא השאלה "מדוע?", המסיימת את ההסבר-שאלה הארוך הזה. כמובן לא אשכח להודות לכל אלה שמנסים בטוב ליבם להסביר לי, איש פשוט, ההולך ומסתבך בנבכי המתמטיקה, המציאות, ההגיון והתיאוריה ומה שביניהם. תודה רבה לכם. לכולכם. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 18:56, 29 באוקטובר 2009 (IST)

בגלל הפרדוקס של זנון, איש, כמו שאמרתי מקודם. גם אם בראש שלך אתה עוצר בשלב כלשהו ואומר "זה רחוק מ-1 עוד טיפטיפה, ממש מעט", אז לא - זה מתקרב עוד, ועוד ועוד ועוד. עד אינסוף. וזה מגיע. במציאות, מציאות התפוח, זה מגיע בהכרח, לפי הפרדוקס. לכל היותר, במשחקי לוגיקה, זה מתקרב לנצח. אבל במציאות ואפילו במתמטיקה, זה מגיע. אדם נבו•שיחה 19:24, 29 באוקטובר 2009 (IST)

הערה קאנטניאנית - זה שאתה יודע ש 1+1=2 כי אתה ספרת מקרים כאלה עשרות אלפי פעמים לא מבטיח שזה נכון, אלא זו ידיעה אפריורית. כך שהמתמטיקה יחד עם היותה שייכת לתחום שאינו בר השגה מתוך הנסיון ועל כן לכאורה אין לה ולא כלום עם המציאות, היא (לדברי קאנט) כן מכילה מידע על עולמנו. ומכאן שאם קיבלת ש 1+1=2 (או 5+7=12) כי כך קובעת האריתמטיקה הרי אין סיבה שלא לקבל ש 0.9999...=1. שנילי • שיחה 19:46, 29 באוקטובר 2009 (IST)

האם 0.499... עם 9 נגרר לאינסוף שווה לחצי? ‏Yonidebest Ω Talk‏ 19:57, 29 באוקטובר 2009 (IST)

יפה אני מרגיש שאני מתחיל להיות מובן :). שאלתו של יוני היא שאלה מעניינת. לשנילי: התוודעתי דרך דבריך והקישורים למושגים חדשים שלא הכרתי. אך אנא, בוא נדבר במילים פשוטות: אתה אומר שזה ש-1+1=2 היא קביעה נכונה מתוך נסיון, אינו מכריח את היות זאת נכון. במילים אחרות, תפוח ועוד תפוח אינם בהכרח שני תפוחים? יש מצב שזה לא בהכרח נכון? אם כך, נכונות מהי?. לנבו: פתחת כאן תובנה חדשה. אתה טוען שזה מגיע בסוף. הצרה היא שזה אכן פרודוקס. זה הרי לאמיתו של דבר נצחי. הנצח הוא לא ריאלי (במגבולותינו אנו), אבל הוא תיאוריה עובדתית, ולא מוסכמה מתמטית. האינסוף, הוא הנצח, לעולם (לנצח!) לא יגיע. זה שהוא מגיע, זה רק מוסכמה מתמטית, אבל זה פשוט לא נכון "באמת". הוא פשוט לעולם לא מגיע, ולכן הוא לעולם יהיה ויישאר פחות מ-1, שכבר הגיע מזמן... . הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 20:04, 29 באוקטובר 2009 (IST)

קראת את הפתרון שמופיע בפרדוקס של זנון? זה לא "נצח", זה סכום מוגבל, רק שהמדידה שלך לוקחת בכל פעם חלק קטן והולך מהסכום המוגבל שנותר. ככה שבעצם, אכילס עוקף את הצב, אתה רק לא מסכים להסתכל על זה. אדם נבו•שיחה 20:07, 29 באוקטובר 2009 (IST)

נבו, אתה כשרון מבוזבז. אתה צריך להיות מורה ל"מתמטיקה ופילוסופיה לוגית פשוטה". לענייננו: אתה טוען שהתפוח, שחלקיק ממנו נלקח זהו משהו סופי. אך אם אותה לקיחה היא אינסופית, הרי שהיא לעולם לא תיחסר בסוף במאומה. כי האינסופיות הרי לא נגמרת. במילים אחרות התיאוריה של ...0.999 היא אשליה. עצם התיאוריה אם כן היא רק מוסכמה מתמטית, ומכאן ש- ...0.999 שווה ל-1, זו כבר מסקנה מתבקשת. כי המוסכמה המתמטית ...0.999 היא מעצם טבעה 1. האם מה שכתבתי נכון?. הָאִישׁ וְהָאַגָּדָה - חיוג מהיר - מפעיל אמין וחזק, זה בידכם 20:24, 29 באוקטובר 2009 (IST)

כן. 0.499... עם 9 נגרר לאינסוף שווה לחצי. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 20:37, 29 באוקטובר 2009 (IST)

אני סבור שכדאי להמשיך את הדיון בשיחת משתמש:האיש והאגדה כדי לא להכביד על דף זה. גדי אלכסנדרוביץ' - שיחה 20:29, 29 באוקטובר 2009 (IST)

לא הבנתי כלום. Fade to Black - שיחה 22:39, 8 בנובמבר 2009 (IST)

חחחחחחחחחחחחחחחחח. גדול MT0 - שיחה 22:52, 8 בנובמבר 2009 (IST)

מספר מדומה

למה לא מתקיים $i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1$? איזה כלל מתקיים למספרים ממשיים ולא ל-i? ‏ 21:34, 10 בנובמבר 2009 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

כי הפונקציית השורש לא מוגדרת היטב למספרים שליליים. ראה למשל: $\ -1=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=((-1)^{2})^{1/6}=1^{1/6}=1$. גם כאן הגענו לסתירה. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 21:57, 10 בנובמבר 2009 (IST)

או פשוט יותר, שורש זה לא "ההפך של שורש ריבועי" לדוגמא אם נבטל עם שורש את ההעלאה בריבוע נקבל: ${\sqrt {\left(3\right)^{2}}}={\sqrt {\left(-3\right)^{2}}}\Rightarrow 3=-3$ דבר שכמובן איננו נכון. שמוליק - שיחה 22:43, 11 בנובמבר 2009 (IST)

קבוע מילס

$\theta \approx 1.3064$ אני מחפש מידע על מספר המקיים שכל $\lfloor \theta ^{3^{n}}\rfloor$ עבור n טבעי הם מספרים ראשוניים. תודה, 20:28, 28 בנובמבר 2009 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

ראה en:Mills' constant (אתה מוזמן לתרגם לכאן: קבוע מילס). עוזי ו. - שיחה 21:20, 28 בנובמבר 2009 (IST)

הסתברות של כל הנקודות בקטע [0,1]

הבנתי שאם מסתכלים על הקטע הסגור [0,1] אז קיימות שם אינסוף נקודות. ואם מתייחסים לנקודה בקטע כאל מאורע בכל המרחב הזה, אז ההסתברות שלו היא 0. אם סוכמים את כל הסתברות המאורעות מקבלים 0 למרות שהסתברות של כל המרחב צריכה להיות 1. יכול להיות שאני טועה איפשהו בניסוח שלי... בכל מקרה, למה פעם זה יוצא 0 ופעם 1 ? תודה. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

שכחת שיש אינסוף מאורעות אפשריים בקטע הזה, ומכפלה של אפס באינסוף איננה בהכרח אפס. ראה גם התפלגות אחידה. ‏odedee • שיחה 00:48, 3 בדצמבר 2009 (IST)

אי-אפשר לסכם על קבוצה שאינה בת מניה, ולכן מוכרחים לוותר על הנסיון לחשב את ההסתברות על-ידי סיכום נקודות, ולהגדיר מידה; ראה מידת לבג - וגם משפט ויטלי. עוזי ו. - שיחה 02:16, 3 בדצמבר 2009 (IST)

אם ירשה לי עוזי לנסח בלשון בני אדם: אנו יכולים לסכם אינסוף פריטים בתנאי שאנו יכולים לתת לכל אחד מהם מספר סידורי. אין דרך לסדר את כל המספרים בין 0 ל 1 עם מספר סידורי - לכן גם לא ניתן לסכום אותם. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

זה ניסוח בלשון בני-אדם של הפסוקית הראשונה. נראה אותך נותן אותו טיפול לשאר המשפט. עוזי ו. - שיחה 09:02, 3 בדצמבר 2009 (IST)

סליחה, לא התיימרתי להיות בעל כוחות על טבעיים. בלשון בני אדם הובהר שההליך שעליו חשב OP אינו אפשרי, ודי לו בכך. אם כבר - שאלה: האם הוכחת משפט ויטלי תלויה באקסיומת הבחירה? אם כן - האם ניתן בכלל לבנות את תורת המידה ללא אקסיומת הבחירה? אילן שמעוני - שיחה

ולכן במקרה כזה מדברים על צפיפות הסתברות $\ f(x)$ כך ש-$\ P(x<X<x+dx)=f(x)dx$. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 23:22, 4 בדצמבר 2009 (IST)

זיהוי סימן

=

מה מייצג הסימן $\equiv$ במתמטיקה? תודה מראש. 17:38, 4 בדצמבר 2009 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

זהות או הגדרה. שנילי • שיחה 17:53, 4 בדצמבר 2009 (IST)

זה מייצג גם יחס שקילות. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 17:56, 4 בדצמבר 2009 (IST)

למה התכוונת ב"זהות או הגדרה"? איך אני יודע מתי לשים = רגיל ומתי $\equiv$? 15:05, 5 בדצמבר 2009 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

בסימן שוויון (=) משתמשים כאשר שני אגפי המשוואה שווים במקרה או במקרים מסוימים; בסימן זהות ($\equiv$) משתמשים כאשר שני האגפים שווים זל"ז תמיד, כלומר שווים זהותית. המשוואה $\ x-2=2-x$ היא דוגמא למקרה הראשון, ואילו $\ x-2=x-2$ היא דוגמא למקרה השני. בנצי - שיחה 18:22, 5 בדצמבר 2009 (IST)

ראה סימון מתמטי#לוגיקה פורמלית. נעה - שיחה 18:34, 5 בדצמבר 2009 (IST)

הוכחה ללא אינדוקציה

איך מוכיחים ללא אינדוקציה ש: ${\frac {2^{6n-1}+5\cdot 9^{n}}{11}}\in \mathbb {Z}$ לכל $n\in \mathbb {N}$? תודה, 22:02, 20 בדצמבר 2009 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

מחשבים מודולו 11: $\ 2^{6n}=64^{n}\equiv (-2)^{n}$ וגם $\ 9^{n}\equiv (-2)^{n}$. לכן $\ 2^{6n-1}+5\cdot 9^{n}\equiv (-2)^{n}(2^{-1}+5)\equiv 0{\pmod {11}}$. עוזי ו. - שיחה 22:08, 20 בדצמבר 2009 (IST)

מספרים מרוכבים (104)

למדתי ש i= שורש מינוס 1. למדתי גם ש i בריבוע= מינוס 1. השאלה שלי היא למה לא מתקיימת כאן הנוסחא- שורש (a)*שורש (b) = שורש (a*b) ולפיכך i*i = (שורש מינוס 1) * (שורש מינוס 1)= שורש 1= 1. מקווה שהובנתי. תודה. סול במול - שיחה 16:13, 13 בינואר 2010 (IST)

הסיבה היא שבאופן עקרוני אין דבר כזה "השורש של a". יש "שורש של a", בלי הא הידיעה -- למעשה, בדיוק שניים לכל a (פרט לאפס). כשעובדים במספרים ממשיים אפשר להניח שהשורש תמיד חיובי, וזה פותר את רוב הבעיות. במספרים מרוכבים אין בחירה קנונית (קבועה) של השורש, ולכן אפשר בקלות "להוכיח" פרדוקסים. עוזי ו. - שיחה 16:16, 13 בינואר 2010 (IST)

ומה עם הפרקוקס הבא: $\ -1=(-1)^{1/3}=(-1)^{2/6}=((-1)^{2})^{1/6}=1^{1/6}=1$ ? בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 16:58, 13 בינואר 2010 (IST)

בעצם, זה נפתר אם זוכרים ש-$\ 1^{1/6}=\pm 1$. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 17:38, 13 בינואר 2010 (IST)

נוסחה לנגזרת ה-n-ית של x^x עבור x=1

אני מחפש נוסחה ל- $\left.{\frac {d^{n}x^{x}}{dx^{n}}}\right|_{x=1}$ לפי n. תודה, 21:51, 13 בינואר 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

במקום לגזור את הפונקציה הזו, הוצא לוגריתם שלה וגזור אותו. ‏odedee • שיחה 09:43, 14 בינואר 2010 (IST)

אתה מתכוון $x^{x}=e^{x\ln {x}}$? אני יודע שככה גוזרים את הפונקציה הזו, אבל אני צריך למצוא נוסחה כללית לנגזרת ה-n-ית. 13:51, 14 בינואר 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

בערך. אני מתכוון שאם $\ y=x^{x}$, גוזרים את $\ \log y=x\log x$. האמת היא שלא שמתי לב שהשאלה היא על הנגזרת ה-n-ית, אבל נדמה לי שאם את הנגזרת הראשונה אתה יודע, אפשר די בקלות לחשב את השנייה, ולראות לאיזה כיוון הביטוי מתפתח. בלי לחשב, נראה לי שזה יהיה בינום כלשהו. ‏odedee • שיחה 18:45, 14 בינואר 2010 (IST)

עשרת הערכים הראשונים הם 1, 2, 3, 8, 10, 54, 42-, 944, 5112-, 47160. אני לא רואה שזה מתפתח לאיפושהו, ובטח לא הצלחתי למצוא נוסחה כללית. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST) 19:01, 14 בינואר 2010 (IST)

זה באמת פחות אלגנטי משחשבתי. איך חישבת את עשר הנגזרות הראשונות? ‏odedee • שיחה 05:47, 15 בינואר 2010 (IST)

אולי מנוע חיפוש וולפרם אלפא יעזור לך. -SuperJew • רב-שיח • כ"ט בטבת ה'תש"ע 07:33, 15 בינואר 2010 (IST)

כבר ניסיתי, לא עבד. 18:38, 15 בינואר 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

חישבתי אותן בעזרת וולפרם אלפא (שכמו שאמרתי, לא מצא נוסחה). 18:39, 15 בינואר 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

טוב, זה לא נראה פשוט במיוחד... אני מציע שתפנה למשתמש:עוזי ו.. ‏odedee • שיחה 03:35, 16 בינואר 2010 (IST)

נראה לי שתצטרך להשתמש בכלל לייבניץ, כאשר את הפונקציה שלך יש לבטא כמכפלת שתי פונקציות, אלא אם כן יציג עוזי דרך אחרת, ישירה יותר. הביטוי הכללי מסורבל למדי, אבל אחרי הצבת x = 1 הוא יראה אחרת. בנצי - שיחה 20:39, 16 בינואר 2010 (IST)

עניתי בדף השיחה שלי. למתעניינים במשמעויות קומבינטוריות של המעבר בין מקדמי טור טיילור של פונקציה F והפונקציה $\ e^{F(x)}$ אני ממליץ על Generatingfunctionology של Herbert Wilf, שאת המהדורה השניה שלו אפשר להוריד כאן. עוזי ו. - שיחה 21:34, 16 בינואר 2010 (IST)

נוסחאות נסיגה

האם קיים משפט שאומר: $\sum f(n)=\theta (\int f(x)dx)$?מ. שלום (שיחה | תרומות) • ד' בשבט ה'תש"ע • 12:21, 19 בינואר 2010 (IST)

(הכוונה לסדרי גודל של סיבוכיות)מ. שלום (שיחה | תרומות) • ד' בשבט ה'תש"ע • 14:21, 19 בינואר 2010 (IST)

אם הפונקציה מונוטונית, ההפרש בין הסכום לאינטגרל אינו עולה על $\ |f(1)|+|f(n)|$, וזה בדרך כלל זניח בהשוואה. עוזי ו. - שיחה 20:21, 19 בינואר 2010 (IST)

אוקי, אז בעצם זה תלוי בשאלה האם $\ f(n)=o(\int f(x)dx)$. ועדיין, האם אפשר להוכיח את זה?מ. שלום (שיחה | תרומות) • ו' בשבט ה'תש"ע • 21:22, 20 בינואר 2010 (IST)

זה לא תמיד נכון. אם הפונקציה פולינומית, אז כן; אם היא אקספוננציאלית אז לא. עוזי ו. - שיחה 21:32, 24 בינואר 2010 (IST)

קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים

קיומם של אינסוף מספרים ראשוניים:

"על-כן, N אינו מתחלק באף מספר ראשוני, בסתירה לכך ש- N>1"

1)אמנם הבנתי לבסוף שהכוונה היא ש"N אינו מתחלק באף מספר ראשוני שנמצא ברשימה", אבל זה לא כל כך ברור מהמשפט, ואני לא יודע איך לנסח את זה בשפה מתמטית, אשמח אם מישהו בעל הבנה בנושא יבהיר את הנושא.

2)למה זה בסתירה לכך ש- N>1?

תודה מראש, ספקן - שיחה 10:13, 24 בינואר 2010 (IST)

1. הכוונה היא, בדיוק כפי שכתוב, ש(אם מניחים שיש מספר סופי של ראשוניים ומגדירים את N בהתאם אז) N אינו מתחלק באף מספר ראשוני. 2. הסתירה היא למשפט הראשון בהוכחה - "באינדוקציה, אפשר לראות שכל מספר טבעי גדול מ-1 מתחלק במספר ראשוני". עוזי ו. - שיחה 14:34, 24 בינואר 2010 (IST)

ו-2: כל המספרים שגדולים מאחד ולא ראשוניים מורכבים מגורמים ראשוניים, אז N ראשוני --אני ויקיגמד ואני גאה בזה! - שיחה 14:43, 1 בפברואר 2010 (IST)

אי שוויונות עם שני ערכים מוחלטים או יותר

העברה משיחה:ערך מוחלט. גילגמש • שיחה • ראו את מיזם ההמשך! 13:10, 8 בפברואר 2010 (IST)

הי לכולם, שאלתי שאלה זו בויקיספר אך כיוון שאין תגובה כבר המון זמן אנסה את מזלי פה :) כאשר יש לי תרגיל למשל, $\ |x-3|+|x+1|>6$, ואני רוצה לפתור אותו בדרך הצירים, כלומר :

1. להשוואות בסיסים לאפס.
2. להציב אותם על הצירים ולרשום תחום.
3. (בשלב זה הבעיה) - כיצד אני יודעת מתי להציב מינוס ומתי לא? האם כך?
   • משוואה של a>x לא נוגעים.
   • משוואה של a<x<b מכפילים את המשוואה השמלאית במינוס.
   • משוואה של x<a מכפילים את שני הבסיסים במינוס.

דבר נוסף שאשמח לקבל בו עזרה הוא לגבי בדיקה. יודע לי כי יש לבצע בדיקה בתרגילים אלו אך שכחתי איך.

תודה רבה! חן.

לא בשיטת הצירים (אין לי מושג למה הכוונה) הייתי פותר את זה כך: יש 4 מקרים (2^2) אחד מתוכם לא אפשרי (שהראשון חיובי והשני שלילי), קיבלתי 3 אי-שיוויוונים פותר את שלושתם. עוד אחד יורד (0>2) ומקבל X>4 או X>-2. בדיקה? - אפשר לבדוק אחד מכל טווח (‎-1,-2,3,4‎ כמפרידים = 5 בדיקות) ומקווה לטוב (הבדיקה לא הוכיחה שהפתרון נכון). כמובן שיכלתי מלכתחילה לראות שיש רק 3 אפשרויות (לדוגמה בעזרת שרטוט ציר-מה שהיה כדאי אם היו פה יותר מ2 ערכים מוחלטים שאז היינו בודקים 2‎^n משוואות מול 2n-1) אבל הרעיון אותו דבר, שמוליק - שיחה 15:04, 8 בפברואר 2010 (IST)

לשואל הנכבד, בשיטה שלך, ("שיטת הצירים") - לגבי התחום אני מבין שהסתדרת. לגבי הצבה - אתה פשוט לוקח מספר מהתחום ומציב, ועם קיבלת איבר שלילי - אתה הופך את הסימן. Rex - שיחה 18:01, 8 בפברואר 2010 (IST)

ראשית, תודה. אך, עדין לא הבנתי (לא עניתם לי על השאלה) - כאשר אני מקבלת, למשל, שהבסיס X-3 חיובי, עלי לשנות את הסימן לפניו כיוון שהוא חייב להיות חיובי? עדין לא הבנתי כיצד לשנות את הסימנים. אשמח ליותר פרוט... אני יודעת לפתור את התרגיל, אך, איני מבינה מתי מציבים מינוס/פלוס. אלו שלושת המצבים :

1. $\ -(x-3)-(x+1)>6$ - מדוע פה הכפילו את שני הערכים במינוס ?
2. $\ -(x-3)+(x+1)>6$ - מדוע פה הכפילו רק את הערך הראשון ולא גם ואו את השני?
3. $\ (x-3)+(x+1)>6$ - מדוע פה השאירו את המשוואה כמו שהיא.

תודה רבה, חן.

כשיש דבר כזה A|=B| כש-A גדול מאפס אז A=B , כשA קטן מ0 אז A=-B. לכן כש שיש |x-3| אם x<3 אז x-3<0 אז הסימן התהפך, אחרת הסימן נשאר. שמוליק - שיחה 15:17, 10 בפברואר 2010 (IST)

תודה שאתה מסביר לי.

1. במילים שלך, כל אי שיוויון שמשווים אותו למספר הקטן מאפס - יש לשנות את הסימן (כי a<0 => a=-b) מדוע זה כך? על איזה חוק?
2. ועוד משהו - האם על פי הסימן ++, -+ ו--- משנים את סימני המשוואה, כלומר :
3. כאשר $\ x<-1$ (-1 קטן מאפס ולכן) יש להכפיל את אי השיוויונים במינוס. בדיוק ההפך כאשר $X<3$. הסדר לא משנה כיוון שמדובר ב++ ו--
4. אולם כאשר המשוואה $-1\leq X\leq 3$, אז המשוואה במינוס ואחר כך בפלוס ולכן משנים את המשוואה הראשונה ואחר כך את השני על פי הסדר?

תודה רבה רבה! עד כה כבר למדתי משהו, חן.

1. ‎ |a|= b וגם a<0 גורר a=-b מעצם הגדרת "ערך מוחלט" ("מחיקת הסימן" זה בעצם להכפיל במינוס במידה והוא קיים)
2. לא הבנתי את השאלה (אבל אולי התשובה הבאה עונה עליה)
3. לא סדר הכתיבה קובע אלא מתי הוא מתהפך: כש-X בין 1- ל3 אז X-3<0 וX+1<0 בצורה דומה בודקים את כל המצבים. (אזהרה! המשפט שמופיע בסוגריים עלול לבלבל ולא מוסיף בצורה משמעותית! זה בולט שהסדר לא חשוב למשל כשיש ביטוי ערך מוחלט ממעלה שנייה שהוא מתאפס בשני מקומות. לדוגמה,|x²+x-2| שמתאפס בשני מקומות ב2- וב1)

שמוליק - שיחה 00:27, 15 בפברואר 2010 (IST)

נראה לי שהבנת את השאלה שלי. אני לא הבנתי את ההסבר שלך... השאלה שלי הייתה מדוע דווקא מכפילים את X-3 ולא את הבסיס השני במינוס/פלוס? על פי ההגדרה שלך המערכת חיובית ($x\leq 3$) ושלילית ($-1\leq X$), איך אני יודעת איזו מערכת להכפיל במינוס ומדוע? - חשבתי שכיוון שתחילה פותרים את אי השיווון $-1\leq X$ ו"הפתרון" מינוס ולאחר מכן פותרים את המשוואה השניה ומקבלים "פתרון" פלוס - אז יש להכפיל את הבסיסים על פי "סדר" הסימנים (קודם מינוס ואז פלוס). הבנת שאמרת שהדבר לא כך - לא הבנתי; איך הגעת שכאשר X בין 1 ל-3 אז שני הבסיסים קטנים מאפס? תודה רבה לך, חן.

במקום לשנן כאן כללים ושיטות, מספיק לזכור את ההגדרה של ערך מוחלט (הרי בלעדיה אין לך סיכוי לפתור משוואות כאלה). $\ |a|$ הוא $\ a$ אם זה ערך חיובי, ו- $\ -a$ אם זה ערך שלילי. לכן אפשר לחלק את אי השוויון למקרים, לפי הסימן של כל אחד מהביטויים, ולהחליף את הערך המוחלט בביטוי או במינוס הביטוי, לפי הסימן. עוזי ו. - שיחה 11:49, 15 בפברואר 2010 (IST)

אתה חוזר עבורי על הנאמר - בהסבר אין כללים חדשים, הכל חוזר להגדרת הערך המוחלט. עבורך קל לומר "לכן אפשר לחלק את אי השוויון למקרים, לפי הסימן של כל אחד מהביטויים, ולהחליף את הערך המוחלט בביטוי או במינוס הביטוי, לפי הסימן" - לי ברור רק חלק ממה שאתה אומר (איך אני יודעת את הסימן?).לא הבנתי איך אני יודעת מי מבין הבסיסים להכפיל במינוס כאשר X נמצא בין שני התחומים ($\ -(x-3)+(x+1)>6$ - מדוע פה הכפילו רק את הבסיס הראשון ולא את השני?). אני אשמח לתשובה.

את לא "יודעת" את הסימן של x-3, משום שהוא אינו קבוע. לפעמים חיובי ולפעמים שלילי. אני הייתי פותר כך:

$\ |x-3|+|x+1|>6$ אם ורק אם

$\ x-3\geq 0$ וגם $\ x+1\geq 0$ וגם $\ (x-3)+(x+1)>6$; או

$\ x-3\geq 0$ וגם $\ x+1<0$ וגם $\ (x-3)-(x+1)>6$; או

$\ x-3<0$ וגם $\ x+1\geq 0$ וגם $\ -(x-3)+(x+1)>6$; או

$\ x-3<0$ וגם $\ x+1<0$ וגם $\ -(x-3)-(x+1)>6$.

הפתרון של כל שורה בנפרד אינו מסובך (חיתוך של כמה תנאים). גם שילוב ארבעת המקרים אינו מסובך (איחוד של כמה תנאים). עוזי ו. - שיחה 12:48, 15 בפברואר 2010 (IST)

הוספתי לאחר התנגשות עריכה:

הערה קטנה: הרשי לי להמליץ לך על שני פורומים שאני נעזר בהם אישית, ושהם יעילים ונוחים יותר מדף זה (המיועד להסברים קצרים וממצים). פורום עזרה בלימודים ושיעורי בית ופורום מתמטיקה בתפוז, בשניהם תקבלי מיידית תשובות ארוכות מפורטות ומשוקעות, כשעל שאלות ברמה זו אני ממליץ על הפורום הראשון, שיש להם יותר נסיון בהסברת מושגים מסוג זה.

בקשר לשאלתך, אנסה להסביר. את לוקחת כל איבר (x-3) או (x+1) ובודקת על כל תחום בנפרד, איזה סימן הוא נותן באותו תחום. דוגמה: לתחום הראשון, (x<-1) את לוקחת איבר מהתחום (נניח x=-5, או x=-8 או x=-100, לא משנה, העיקר איבר מהתחום) ומציבה אותו במקום ה-x, ובודקת האם האיבר המתקבל הוא חיובי או שלילי. במקרה שלפנינו הצבת איבר מהתחום (נניח x=-5) באיבר (x-3) תתן תוצאה שלילית ‎(-5-3=-8‏), ובאיבר (x+1) תתן גם תוצאה שלילית. עכשיו: בכל מקום בו את מקבלת תוצאה שלילית - את הופכת את הסימן. (x-3) הופך להיות -(x-3) ו(x+1) הופך להיות -(x+1). אותו הדבר לגבי התחום השני (רק x-3 מתהפך) ולגבי התחום השלישי (שום דבר לא מתהפך). מקווה שעזרתי. Rex - שיחה 12:59, 15 בפברואר 2010 (IST)

ישראל, פתרת לי את כל הבעיה במספר מילים פשוטות - עכשיו הכל מתחבר למדוע המורה אמר לי להציב מספרים לבדיקה ואיך אני משנה את הסימן, תודה רבה :) חן!

אם 0.9 מחזורי באמת שווה ל 1

אם 1 כפול 9 שווה 9 ו1 שווה 0.9 מחזורי אז 0.9 מחזורי כפול 9 שווה 9 אז איך זה ש 0.9 מחזורי כפול 9 שווה ל 8.9 מחזורי(8.9898989...) ולא ל9? זה אומר ש8.9 מחזורי שווה ל9, תוכלו להוכיח את זה?

שאלת אנונימי - הועבר מויקיפדיה:ספר אורחים. מתניה • שיחה 16:43, 11 בפברואר 2010 (IST)

"8.9 מחזורי" אינו $\,8.9898989...$ אלא $\,8.999999...$. ראה 0.999.... עוזי ו. - שיחה 17:31, 11 בפברואר 2010 (IST)

כיצד ניתן להוכיח שלא קיים מספר שהשורש שלו והשורש של מחציתו הם מספרים טבעיים

אני יוצא מנקודת הנחה שאכן אין שני מספרים כאלה, ואם יש - אשמח לדעת מה הם.
למה לא יכול להיות שהשורש של n הוא מספר טבעי וגם השורש של 2n הוא מספר טבעי? ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

נסמן את השורש ב-k

${\sqrt {n}}=k\Rightarrow n=k^{2}\Rightarrow 2n=2k^{2}\Rightarrow {\sqrt {2n}}={\sqrt {2k^{2}}}={\sqrt {2}}\cdot k$

שורה זו נוסחה מחדש בשורה הבאה ונשארה לצרכי תיעוד (נא לדלג לשורה הבאה, למרות שגם שורה זו תוקנה בעזרת הקו החוצה): מכיוון שk טבעי רציונאלי ושורש 2 לא, ברור שמכפלתם אינה רציונלית ובפרט אינה טבעית. יותר מזה, אתה יכול להחליף את המילה "טבעי" ב"רציונלי", שמוליק - שיחה 09:55, 15 בפברואר 2010 (IST)

מכיוון ש-k רציונלי ושורש 2 לא, ברור שמכפלתם אינה רציונלית ובפרט אינה טבעית. שמוליק - שיחה 11:57, 15 בפברואר 2010 (IST)

קצר בהיר ומהיר - תודה ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

על לא דבר, מכיוון שכשאחי ראה את מה שכתבתי הוא שאל: "ומי אמר של 2 אין שורש רציונלי?" אקשר להשורש הריבועי של 2‎#הוכחת אי רציונליות למען כל הנתקלים בהוכחה ותוהים תהייה זו. שמוליק - שיחה 10:33, 15 בפברואר 2010 (IST)

השואל הסתפק רק לגבי הטבעיים, אבל הצדק עמך, הטענה נכונה גם לגבי הרציונאליים. Rex - שיחה 11:43, 15 בפברואר 2010 (IST)

"מכיוון ש-5 טבעי ו-0.8 לא, ברור שמכפלתם אינה טבעית"... עוזי ו. - שיחה 11:46, 15 בפברואר 2010 (IST)

צודק, תוקן. והתירוץ: בהתחלה כתבתי הכל לפי "רציונלי" ואז ראיתי ששאל על טבעיים אז החלפתי הכל. שמוליק - שיחה 11:57, 15 בפברואר 2010 (IST)

השורש של (2 ועוד השורש של (2 ועוד...))

אם מחשבים את התוצאה של $\left|{\sqrt {2+\left|{\sqrt {2+\left|{\sqrt {2+\dotsb }}\right|}}\right|}}\right|$ מקבלים 2 (ע"י $\left|{\sqrt {2+\left|{\sqrt {2+\left|{\sqrt {2+\dotsb }}\right|}}\right|}}\right|=x$, אחרי העלאה בריבוע: $2+\left|{\sqrt {2+\left|{\sqrt {2+\dotsb }}\right|}}\right|=x^{2}$, מציבים לפי השיוויון שהגדרנו בהתחלה: $2+x=x^{2}$, וממשיכים במשוואה ריבועית רגילה). השאלה שלי היא איך לחשב את הביטוי ${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\dotsb }}}}}}$, שלו אינסוף תוצאות שונות, ולכן צריך לחשב את $(((x^{2}-2)^{2}-2)^{2}-2)^{2}\dotsb =x$ (ב"לחשב" אני מתכוון להציג נוסחה פשוטה לערכיו). תודה, 18:31, 15 בפברואר 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

אני חושד שלכל מספר ממשי בקטע $\ [-2,2]$ אפשר לבחור סדרת סימנים שהביטוי המתאים לה מתכנס אליו. עוזי ו. - שיחה 23:43, 15 בפברואר 2010 (IST)

האין זאת (הביטוי שבתחילת השאלה) סדרה בעלת גבול יחיד (אם היא מתכנסת) ולכן חייב להיות לה מקסימום פתרון אחד? (2) Rex - שיחה 00:03, 16 בפברואר 2010 (IST)

כוונת השואל היא שבכל הוצאת שורש בוחרים את הסימן באופן בלתי תלוי (גם אם קבוע מראש). לכל בחירת סימנים יהיה לביטוי ערך אחד, אבל יש $\ \aleph$ דרכים לבחור את הסימנים. עוזי ו. - שיחה 10:05, 16 בפברואר 2010 (IST)

אגב, $\ \aleph$ מה? $\ \aleph _{0}$? $\ \aleph _{1}$? תודה, 19:16, 20 בפברואר 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

לא יודע. עוזי ו. - שיחה 20:07, 20 בפברואר 2010 (IST)

מספרים מרוכבים (107)

המשוואה היא : 19^(i-). הפתרון שווה בדיוק ל 3^(i-) כי (i-) ברביעית שווה 1, ומתוך כך גם מינוס i בחזקת 16 שווה 1. מינוס i בשלישית שווה i, כי מינוס i בריבוע שווה מינוס אחת, ומינוס אחת כפול מינוס i שווה i.

אולם, אם נפתור בדרך הבאה:

i)^19=((-i)^2)^9.5=(-1)^9.5=(-1)^9*(-1)^0.5=(-1)*(i)=-i-)

מהי הטעות בדרך השנייה?? מקווה שהובנתי (ואני שונא לכתוב מת' במחשב, שונא!)סול במול - שיחה 18:50, 18 בפברואר 2010 (IST)

הטעות היא במחשבה ש- $\ (-1)^{0.5}$ מוגדר היטב. עוזי ו. - שיחה 19:01, 18 בפברואר 2010 (IST)

זו שאלה שחוזרת על עצמה כבר מספר פעמים. לכל מספר מרוכב (ובפרט, לכל מספר ממשי) יש n שורשים מסדר n (המשפט היסודי של האלגברה) ולכן אין שורש אחד יחיד מוגדר היטב. חפש בארכיונים האחרונים שאלה דומה. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 19:05, 18 בפברואר 2010 (IST)

השורש הריבועי של 1- שווה ל i±, כי יש לשורש מסדר 2 שני שורשים. 20:48, 18 בפברואר 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

אני רוצה להוסיף על השאלה. נניח יש לי תפוח אחד, אני יכול ליצג אותו כ-1. אם יש לי תפוח וחצי, אני יכול ליצג אותו כ-1.5. נניח אני חייב למישהו תפוח, אז משתמשים במינוס 1 (פה זה כבר לא טריואלי). האם יש איזשהי משמעות אינטואיטיבת לרעיון של i תפוחים? או שבמקום הזה המתמטיקה כבר נמצאת בעולם של ההגדרות הפורמאליות שאין טעם לחפש משמעות אינטואיטיבית? אודה למביני עניין במתמטיקה על תשובה החובץ בגבינה - שיחה 12:58, 19 בפברואר 2010 (IST)

המספרים המרוכבים מתקבלים על ידי 'המצאת' מספר שאינו ממשי Nachum - שיחה 13:39, 19 בפברואר 2010 (IST)

חובץ, ראה מספר מרוכב#שימושים, מקווה שזה יעזור. Rex - שיחה 15:01, 19 בפברואר 2010 (IST)

ומה עם $\pi$ תפוחים? (טוב, לפאי תפוחים יש משמעות ) אבל ל-${\sqrt {2}}$ תפוחים? המתמטיקה משמשת לא רק לספירת תפוחים. ל-i יש משמעות במכניקת הקוונטים (פונקציית הגל היא מרוכבת) אך מכיוון שכל האופרטורים הפיזיקליים הם הרמיטיים כל הגדלים המדידים הם בסופו של דבר מספרים ממשיים. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 18:32, 19 בפברואר 2010 (IST)

גבול של סדרה

אני התחלתי ללמוד אינפי ואחד הנושאים הראשונים שלמדנו היה גבול של סדרה הבנתי שיש סדרות שיש להן גבול ויש כאלו שאין להן. מה שמענין אותי האם קיים מושג כזה של סדרה שיש לה שני גבולות (לא חלקיים) או שעצם ההגדרה של גבול סותרת את האפשרות שיהי גבול נוסף. דקדוקית - שיחה 12:29, 4 במרץ 2010 (IST)

לכל סדרה בעלת גבול, קיים גבול יחיד. הדרך הפשוטה לזכור את זה היא בהוכחה. נניח שלסדרה A1,A2... יש גבול, ונקרא לו lim1. קיים אינדקס n מסויים כך שכל איברי הסדרה An, An+1, An+2... מצויים בקרבת lim1. את הקרבה הזו אפשר לצמצם ככל שנרצה, אבל מובטח שלכל סביבה של lim1 שנבחר, בכל גודל, כל איברי הסדרה (למעט אולי מספר סופי), מוכלים בה.

נניח שקיים lim2: מכאן שקיימת גם לו סביבה, ולה אינדקס m שהחל ממנו כל האיברים של הסדרה בסביבה. אם m בא לפני n, הרי שהחל מנקודה מסויימת לכל סביבה שנבחר, כל האיברים בסדרה יהיו קרובים גם ל-lim1 וגם ל-lim2... ומכאן ש-lim1=lim2. Assafsh - שיחה 13:36, 4 במרץ 2010 (IST)

ולהוכחה קצת יותר ריגורוזית, נניח שלסדרה מתכנסת יש 2 גבולות, L1 ו-L2. אזי לכל $\varepsilon >0$ קיימים N1 ו-N2 כך שלכל n > N1 ו n>N2 מתקיים $\ |a_{n}-L1|<\varepsilon \ ,\quad |a_{n}-L2|<\varepsilon$. כעת, נסתכל ב-n שגדול מהמקסימום של N1 ו-N2, אזי מאי-שוויון המשולש מתקיים: $\ |L1-L2|=|L1-a_{n}+a_{n}-L2|\leq |L1-a_{n}|+|a_{n}-L2|<2\varepsilon$. מכיוון שזה נכון לכל אפסילון קטן כרצוננו נובע ש L1=L2. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 14:35, 4 במרץ 2010 (IST)

ראי גם נקודת הצטברות ומרחב האוסדורף. עוזי ו. - שיחה 14:21, 4 במרץ 2010 (IST)

תודה רבה לכל העונים על התשובות וההפניות, היה מחכים ומפורט דקדוקית - שיחה 14:48, 4 במרץ 2010 (IST)

ריבוע של (שורש X )

ריבוע של (שורש X) שווה ל X או לערך המוחלט של X ? תודה... ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

${\sqrt {X}}^{2}$ מוגדר היטב רק עבור $X\geq 0$, אלא אם לוקחים בחשבון גם מספרים מרוכבים. בשני המקרים, התוצאה תהיה שווה ל־X. דולב • שיחה 18:35, 6 במרץ 2010 (IST)

אם X מספר ממשי אז הריבוע שלו תמיד מספר חיובי, כלומר הערך המוחלט של X. מאידך שורש מוגדר היטב (מעל הממשיים) רק עבור X חיובי, כך שבמקרה זה הערך המוחלט של X שווה ל-X. מעל שדה המספרים המרוכבים המצב יותר מורכב וריבוע לא מחזיר בהכרח ערך מוחלט. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 18:37, 6 במרץ 2010 (IST)

ולגבי השורש של (X בריבוע) , האם זה שווה לערך המוחלט של X? תודה. ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

${\sqrt {X^{2}}}=\pm X$ דולב • שיחה 21:06, 6 במרץ 2010 (IST)

לענ"ד מה שדולב כתב איננו נכון. השורש תמיד חיובי. זה נכון שהמשוואה ${\sqrt {X^{2}}}=0$ פתרונה הוא $\pm X$. Shannen - שיחה 19:27, 7 במרץ 2010 (IST)

הצגת הגרף של y = x tan(sqrt(x^2+y^2))

חיפשתי את הגרף של הפונקציה $y=x\tan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})$ (ספירלה), אבל אף אתר שמצאתי לא הצליח לחשב את זה (אפילו לא walframalpha). מישהו מכיר אתר שיצליח? תודה, 16:22, 9 במרץ 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

לא שיטה, אלא טריק: עבור לקואורדינטות קוטביות ושים לב ש-${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=r$ ו-$y/x=\tan {\theta }$, כך שאתה בעצם צריך לשרטט את גרף $\tan {r}=\tan {\theta }$ או $r=\theta$. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 19:31, 9 במרץ 2010 (IST)

אני מכיר (ומעדיף) את השימוש בקוארדינטות קוטביות בספירלה הזו, אבל אני לא מכיר אתר שיהפוך את זה לגרף. 19:36, 9 במרץ 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

משוכזה. ‏odedee • שיחה 21:23, 9 במרץ 2010 (IST)

תוכנה מתאימה לשרטוט גרפים כאלו היא en:gnuplot. אבינעם - שיחה 21:54, 9 במרץ 2010 (IST)

משום מה, wolframalpha מציג גרף שכולל 2 ספירלות במקום ספירלה אחת. 11:54, 10 במרץ 2010 (IST) ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

המלצה שלי להשתמש בתוכנה Mathematica מבית Wolframalpha מאפשר גם הצגת גרפים תלת מימדיים. ♠ גיל כ. (שיחה) ♠ 01:02, 17 במרץ 2010 (IST)

מספרים אי רציונליים (109)

האם זה נכון ומוכח, שהשורש הריבועי של כל מספר טבעי הוא או מספר טבעי או מספר אי רציונלי? אם כן, מה ההוכחה? תומר - שיחה 14:09, 20 במרץ 2010 (IST)

אילו השורש של X טבעי היה מספר לא טבעי אבל כן רציונלי, כלומר $\ {\sqrt {x}}=m/n$ כאשר m ו-n טבעיים ובלי גורמים משותפים, אז $X=\ {\frac {m^{2}}{n^{2}}}$. במצב כזה X לא יכול להיות מספר טבעי, כי הוא שווה ליחס בין שני מספרים (שני הריבועים) שאין ביניהם גורמים משותפים, ולכן הוא לא מספר שלם. 87.68.42.217 14:26, 20 במרץ 2010 (IST)

כתבתי לפני התנגשות עריכה: אכן וההוכחה לכך פשוטה למדי והיא הכללה להוכחת אי הרציונליות של שורש 2: יהי n מספר טבעי. נניח כי קיימים $\ b$ ו-$\ a$ זרים (כי ניתן לצמצם את השבר עד שהם אכן יהיו זרים) כך ש- $\,\left({\frac {a}{b}}\right)^{2}=n$. המחלק משותף מקסימלי של $\ b$ ו-$\ a$ הוא 1 (כי הם זרים). לפי המשוואה: $\,a^{2}=nb^{2}$, לכן $\ b$ מחלק את $\ a^{2}$. אם $\ b>1$ הרי שלפי המשפט היסודי של האריתמטיקה קיים ראשוני $\ p$ כך שהוא מחלק את $\ b$, כלומר מחלק גם את $\ a^{2}$. לכן, מכיוון שהוא ראשוני הוא חייב לחלק גם את $\ a$. מכאן שהמחלק המשותף המקסימלי של $\ b$ ו-$\ a$ גדול מ-1 בסתירה לכך שהם זרים. לכן השורש במקרה זה אינו רציולני. נותר המקרה $\ b=1$, במקרה הזה השורש של $\ n$ הוא פשוט השלם $\ a$.

דניאל ב. 14:42, 20 במרץ 2010 (IST)

מגניב, תודה! תומר - שיחה 16:47, 20 במרץ 2010 (IST)

אכן, הוכחה יפה. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 19:19, 20 במרץ 2010 (IST)

זה נכון לחזקות מכל סדר. ואם משתמשים במשפט היסודי של האריתמטיקה, ההוכחה הרבה יותר פשוטה: כתוב את x כמכפלת חזקות של ראשוניים; אז החזקות של כל הראשוניים בפירוק של $\ x^{d}$ מתחלקות ב-d. עוזי ו. - שיחה 20:37, 20 במרץ 2010 (IST)

שדה (אלגברה)

ברצוני להראות ש: חוג המנה: Z\5Z הוא שדה

סמן לעצמך אילו אקסיומות יש בכלל צורך לבדוק; ואז בדוק אותן. עוזי ו. - שיחה 22:04, 24 במרץ 2010 (IST)

הפרדוקס של סקולם

על פי ספרו של בכלר, מתמטיקאי בשם סקולם (Skolem) הוכיח שלמספרים הטבעיים ולמספרים הממשיים אותו "מבנה" ומכאן נובע שיש להם אותו מספר איברים, אך זה עומד בניגוד להוכחת האלכסון של קנטור. האם מישהו יודע יותר ויכול להרחיב על הפרדוקס ועל פתרונו (אם יש)? בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 18:34, 27 במרץ 2010 (IDT)

קישרתי לוויקיפדיה האנגלית בגוף דבריך. אביעדוס • י"ג בניסן ה'תש"ע • 19:40, 27 במרץ 2010 (IDT)

ממה שהבנתי מהחומר הדל שמצאתי בעברית (מתמטיקה אני מעדיף לא לקרוא באנגלית): הפרדוקס מסתמך על משפט של סקולם שלכל מערכת אקסיומות המנוסחת בשפה מסדר ראשון בהכרח קיים מודל מכל עוצמה שהיא. כלומר, לא ניתן להגדיר את קבוצת המספרים הטבעיים בצורה שלא יתקיים מודל שלה שהוא אינו בן מנייה. אני מניח שאי אפשר לפתור את זה וקצת מבאס, אבל המתמטיקה מתקדמת כך שאפשר לחיות עם זה. כמובן שאיני ערב לדיוק הדברים וכדאי לפנות לוויקי האנגלית. דניאל ב. 19:50, 27 במרץ 2010 (IDT)

זה הצד השני של המקל; מודלים שונים של המספרים הטבעיים הם הבסיס לאנליזה לא סטנדרטית, שאין בה כמובן שום סתירה לאנליזה המקובלת. עוזי ו. - שיחה 19:54, 27 במרץ 2010 (IDT)

ה"פרדוקס" נובע ממשפט לוונהיים-סקולם, שלפיו יש מודל בן-מניה למספרים הממשיים, במסגרת מודל מתאים של תורת הקבוצות, ובסתירה לכך שהמספרים הממשיים אינם שווי-עוצמה למספרים הטבעיים. הפתרון הוא שבמסגרת אותו מודל מוגבל של תורת הקבוצות, באמת אין התאמה הפיכה בין הקבוצות האלה, למרות ששתיהן שקולות בתורת הקבוצות הרגילה. עוזי ו. - שיחה 19:52, 27 במרץ 2010 (IDT)

לוגיקה (110)

http://img99.imageshack.us/i/log1.png/

(לא יודע לטך, אם מישהו יכול להחליף את זה הוא מוזמן).

מה מהטענות הבאות נכונות? אם טענה היא נכונה צריך להוכיח אותה בעזרת טיעונים הגיוניים, אם היא לא נכונה צריך להביא דוגמה נגדית ממערכת כלשהי.

הטענה הראשונה ($\forall x\exists yP(x,y)\implies \exists y\forall xP(x,y)$) אינה נכונה: אמנם לכל שאלה יש תשובה, אבל אין תשובה המתאימה לכל השאלות (כי "ככה" זו לא תשובה). עוזי ו. - שיחה 20:16, 10 באפריל 2010 (IDT)

ומה עם השנייה?

נכונה. אם יש צבע שכולם אוהבים, אז. עוזי ו. - שיחה 20:30, 10 באפריל 2010 (IDT)

מחרוזת מאוזנת עם מספר הגבלות

שלום , אני צריך למצוא נוסחה רקורסיבית למחרוזת שבנויה מ 1 ו 1- שבה בכל רישא ממש סכום המחרוזת גדול ממש מ 0 וסכום המחרוזת כולה שווה ל 0.

מחרוזת רקורסיבית ללא שימוש במספרי קטלן

תודה 89.138.250.103 16:10, 27 באפריל 2010 (IDT)

מספר המחרוזות הוא כמובן מספר קטלן; ע"ש. עוזי ו. - שיחה 17:09, 27 באפריל 2010 (IDT)

מעבר בין בסיסים דרך בסיס עשר

אין בעיה להמיר מספר בבסיס עשרוני לכל בסיס אחר וכל בסיס אחר לבסיס עשרוני. האלגוריתם להמרת מספר בבסיס לא עשרוני לבסיס לא עשרוני אחר, כוללים בדרך כלל את המרת הבסיס הראשון לבסיס העשרוני ואת מהבסיס העשרוני לבסיס השני. יש מעברים ישירים בין בסיסים שאחד הוא החזקה של השני כמו (2 ו-8) אך האם יש מעברים כאלה גם בין כל זוג מספרים, למשל 5 ו-9? הנדב הנכון - שיחה 11:39, 30 באפריל 2010 (IDT)

הסיבה שעוברים דרך בסיס עשר היא מכיוון שנוח לנו לבצע חישובים בבסיס 10. אם תחשב בבסיס 5, תוכל להמיר באותה שיטה מספרים בבסיס 9 ישירות לבסיס זה. משהו דומה למה שיש בין 2 ל־8 לא יעבוד, מכיוון שאי אפשר להתייחס לחלק מהספרות בנפרד.Tzafrir - שיחה 14:19, 30 באפריל 2010 (IDT)

דיפרנציאציה של פרמטרים תחת סימן האינטגרל

ריצ'רד פיינמן ציין באוטוביוגרפיה שלו, "אתה בטח מתלוצץ, מיסטר פיינמן!":

...הספר גם לימד אותי איך לעשות דיפרנציאציה של הפרמטרים תחת סימן האינטגרל...

איפה אני יכול למצוא מידע על כך, ואיך משתמשים בשיטה הזו? תודה, נו, טוב - שיחה 22:45, 2 במאי 2010 (IDT)

בעברית זה נקרא "גזירה מתחת סימן האינטגרל", ובאנגלית en:Differentiation under the integral sign. בברכה, אבינעם - שיחה 22:52, 2 במאי 2010 (IDT)

הספר "חשבון אינפיניטיסימלי מתקדם" (מורי ר. שפיגל, הוצאת שאום) זמין יחסית; הוא מטפל בנושא תחת הכותרת גזירה מתחת לסימן האינטגרל בפרק 8. בסופו של דבר פעולות הגזירה והאינטגרציה מתחלפות. עוזי ו. - שיחה 23:31, 2 במאי 2010 (IDT)

נדמה לי שזה גם תלוי בבסיסים ?77.124.112.200 07:41, 3 במאי 2010 (IDT)

כמובן; ראה הערך באנגלית. עוזי ו. - שיחה 21:05, 3 במאי 2010 (IDT)

ואם תורשה לי הערה תירגומית: שאלתו של השואל מעידה על תירגום לקוי מאוד מצידו של המתרגם, ומעידה על בורות מתימטית. בעיה לא פחותה בהקשר זה, היא בחירת המתרגם או שיקוליו של מי שבוחר כזה, שכן זה אמור לדעת שספר כזה מחייב מתרגם בעל רקע בפיזיקה או במתימטיקה. נחסוך מכם תירגומים משונים ומבדחים בערוצים 'המדעיים' בטלביזיה, מלבד בספרות מתורגמת כתובה, ואסתפק בשתי דוגמאות: א. באחת התוכניות (לא זוכר איזו) בערוץ 8 או בערוץ נשיונל ג'יאוגרפיק הישראלי, תורגם הביטוי radioactive decay, שהקשרו הפיזיקלי-גרעיני מובהק, לריקבון רדיואקטיבי, במקום להתפרקות. בדוגמא אחרת, כך, לפי התירגום, רב-סרן מצדיע לסרן, אף על פי שמדובר ב-Captain של הצי, שדרגתו מקבילה ל-Colonel בחילות היבשה, או לאל"מ, בצה"ל. בנצי - שיחה 18:31, 4 במאי 2010 (IDT)

שורש 2

הועבר משיחה:0.999... מכיוון שכבר אינו קשור לנושא הערך

המתמטיקה מתיחסת ל0.99999 (אינסוף פעמים 9 אחרי הנקודה) כשווה ל- 1 קיימות הוכחות אלגבריות ואחרות לכך, אבל ... האם באמת המספרים שווים, או שאנחנו אומרים, או מציגים, שהם שווים לצורך המתמטיקה, על מנת שנוכל להתעסק איתם?? לדעתי, המספרים הם "כמעט אותו דבר" אבל לא ממש אותו דבר - 0.9999999 לעולם לא יהיה ממש 1 אלא כמעט 1 לדעתי, המתמטיקה הידוענ לנו כיום אינה יודעת לעסוק באינסוף ואינה מתאימה לאינסוף ולכן אנו נאלצים לקבוע ש- 0.99999999 = 1 כי אחרת לא נוכל לטפל במספרים כאלה זה נובע מקביעה אקסיומית שזה אותו דבר, מקביעה שלנו כי כדי לטפל באינסוף צריכים להציג אותו או להתיחס אליו כמספר סופי, בעוד האמת היא שזה לא ממש כך כלומר - לצורך שימשו במערכות המתמטיות הקיימות היום, אנחנו קובעים כי 0.99999999999 = 1 שהרי אם הם היו באמת אותו דבר, אז למה המספר 0.9999999999 הוא אינסופי ולא סופי? האם נכון שלמעשה כל הטיפול באינסוף (ובתאומו האפס) הוא טיפול מאלץ או מאולץ, על מנת שנוכל לטפל בהם בעוד הם בעצם לא ממש מתאימים למתמטיקה הרגילה? 89.138.5.251 13:06, 19 במאי 2010 (IDT)

כמו יהודי טוב, אענה לך על שאלה בשאלה, והשאלה שלי תספק לך תשובה - למה אתה מתכוון כשאתה כותב 0.9999.... ? אני אגיד לך למה אני מתכוון כשאני כותב זאת. אני מתכוון לסכום $\,9/10+9/100+9/1000+\dots$. אני לא מכיר שום מובן אחר לכך. והסכום הזה, שאפשר לסמן אותו כ 0.9999... - קל להוכיח שהוא שווה בדיוק ל1. לכן, כן, שני המספרים האלה שווים. המסקנה היא שלמספרים ממשיים אין בהכרח ייצוג עשרוני יחיד. יש מספרים ממשיים שיש להם ייצוג עשרוני יחיד (למשל 1.21212121212....) אך יש מספרים רבים שאין להם ייצוג יחיד. 85.64.171.226 13:11, 19 במאי 2010 (IDT)

שווה בדיוק ל 1,משתי סיבות עיקריות: א. אין שום מספר שאינו אפס, קרוב לאפס ככל שיהיה, שאפשר לדחוק בין השבר המחזורי האינסופי 0.9 ל 1. ב. אם אתה מקבל את הרעיון ששבר מחזורי אינסופי בכלל קיים, נובעות מזה כמה מסקנות חד משמעיות, בין השאר שאין הבדל בין X שווה ל Y ל X שואף ל Y. שים לב של עוד אתה חותך את השבר המחזורי הזה בפחות מאינסוף הוא קטן מאחד. המפגש והשוויון מתקיימים רק באינסוף אילן שמעוני - שיחה 17:07, 20 במאי 2010 (IDT)

לגבי השאלה שלך האם נכון שלמעשה כל הטיפול באינסוף (ובתאומו האפס) הוא טיפול מאלץ או מאולץ, על מנת שנוכל לטפל בהם בעוד הם בעצם לא ממש מתאימים למתמטיקה הרגילה? - רוב המתמטיקאים רואים בחשבון האינסופיים צעד טבעי ומתבקש. למעשה החלו להשתמש באינסוף לפחות אלפיים שנה לפני שהוא הוגדר מתמטית באופן מסודר. ישנו מיעוט קטן מאד בין המתמטיקאים שמתייחס לאינסוף כאל תוספת שגויה. הבעיה עם דחיית רעיון האינסוף הוא שיש מקרים רבים שזה "מתפוצץ לנו בפנים". למשל - מה האורך של אלכסון בריבוע? חשבון פשוט יעלה שארכו הוא שורש של שתיים. אבל את השורש של שתיים אי אפשר לכתוב בתור אף שבר סופי. יוצא שהבעיה הפשוטה הזו מאלצת אותנו להכיר באינסוף. אילן שמעוני - שיחה 21:34, 20 במאי 2010 (IDT)

אני לא ממש מסכים איתך בנקודה האחרונה. שורש 2 הוא מספר סופי בהחלט, אין לי שום בעיה לבנות קטע באורך הזה (כפי שציינת בעצמך). העובדה שבשיטה העשרונית המוגבלת לטורים של חזקות של עשר אי אפשר לייצגו בצורה סופית לא אומרת דבר על טבעו כמספר. גם את 1/3 אי אפשר לכתוב בצורה סופית בשיטה העשרונית, זה אומר שהעיסוק באינסוף צץ כשמטפלים בו? בוודאי שלא (אפשר לדוגמה לכתוב אותו כ-0.3 בבסיס 9). דניאל ב. 23:16, 20 במאי 2010 (IDT)

אבל שורש שתיים לא ניתן לייצוג סופי כשום שבר. הוא אירציונלי. ההוכחה שהוא אירציונלי פשוטה, כמו גם ההוכחה שכל מספר אירציונלי לא ניתן לאף ייצוג סופי או מחזורי. לא משנה באיזה בסיס תעבוד ואיזה טריקים תנסה - אין לך אפשרות לכתוב את שורש 2 כמספר סופי. אז שנינו מסכימים שהשורש 2 קיים (עובדה, יש אורך כזה באלכסון הריבוע) ואי אפשר לייצג אותו בשום אופן סופי או מחזורי. אופס נתקלת באינסוף.להבדיל מ1/3, במקרה הזה אין דרך לצאת מזה יפה. או שמתכחשים לקיומו של שורש 2, או שמקבלים את רעיון הגבול באינסוף וחתכי דדקינד/סדרות קושי. הלך עליך. אילן שמעוני - שיחה 06:08, 21 במאי 2010 (IDT)

דרך אגב, מתמטיקאי ישראלי שעובד בחו"ל, דורון משהו, טוען שהמחיר (במשפטים בעייתיים ואולי גם סתירות לוגיות) שמשלמים עבור "הכרה באינסוף" אינו מצדיק את ההכרה באינסוף. הוא טוען שאינסוף זה מושג שסותר את עצמו שמקורו במגבלות השכל האנושי. אילן שמעוני - שיחה 06:53, 21 במאי 2010 (IDT)

אילן, נכון ששורש 2 לא ניתן לייצוג סופי כשום שבר. אבל הוא ניתן לייצוג סופי בדרכים אחרות. הנה דרך סופית לייצג אותו: "שורש 2". יש מספרים שלא ניתן לייצג בשום דרך סופית (הוכחה: כמות הנוסחאות היא בת מניה, אבל הממשיים בם בעוצמת הרצף). לסיכום - שורש 2 הוא דוגמה למספר גדיר, כלומר מספר שניתן לייצוג בצורה סופית. 85.64.171.226 13:50, 21 במאי 2010 (IDT)

כמוכן: מהי בדיוק הבעיה שלך עם סדרות קושי? ההגדרה שלהם נמנעת במכוון משימוש באינסוף.Tzafrir - שיחה 14:05, 21 במאי 2010 (IDT)

איך ההגדרה של סדרות קושי נמנעת משימוש באינסוף? סדרת קושי היא קודם כל סדרה, כלומר פונקציה מ $\,\mathbb {N}$ ל $\,\mathbb {R}$, כלומר תת קבוצה אינסופית של הקבוצה $\,\mathbb {N} \times \mathbb {R}$. 85.64.171.226 14:20, 21 במאי 2010 (IDT)

לכתוב שורש 2 אינו ייצוג מספרי. זה לא מספק שום מידע לגבי מיקומו על ציר המספרים. ברגע שאתה מתייחס אליו כאל מספר אתה נתקל באינסוף. אתה צודק ששורש 2 אינו טרנסצנדנטי, אבל הוא מאלץ אותנו להחליט אם אנחנו מקבלים את קיום הזהות גבול=שויון. אם שורש 2 הוא מספר, אזי הוא גבול של סדרה איסופית, ואז גם 0.999 מחזורי אינסופי שווה אחד. אם שורש 2 אינו מספר אז אנחנו בבעיה גדולה מהכיוון השני. לגבי אותו דורון שדמי, אם הוא פרופסור למתמטיקה יש סיכוי גבוה שמדובר באותו אדם. אילן שמעוני - שיחה 14:27, 21 במאי 2010 (IDT)

שורש 2 הוא ייצוג סופי. פונקציית השורש היא פונקציה שהגדרתה (באמצעות לוגיקה מסדר ראשון) היא סופית, והפעלתה על המספר 2 נותנת את המספר שרצית, לכן זהו ייצוג מתמטי חוקי לחלוטין של המספר. בשום מקום לא התייחסתי לטרנסצנדנטיות ואין כאן שום קשר לטרנסצנדנטיות. גם פאי הוא מספר שיש לו ייצוג סופי, אף שאינו אלגברי. 85.64.171.226 14:33, 21 במאי 2010 (IDT)

שורש 2 אינו ייצוג מספרי. זו פונקציית השורש הפועלת על המספר 2. תוצאת הפונקצייה היא מספר. המספר אינו "שורש 2". המספר הוא כן מקומה של התוצאה על ציר המספרים. מקום זה ניתן להגדרה אך ורק על ידי סדרה אינסופית. אילן שמעוני - שיחה 15:30, 21 במאי 2010 (IDT)

הגדר ייצוג מספרי. הנה ההגדרה שלי: ייצוג מספרי של המספר x הוא פסוק בלוגיקה מסדר ראשון אשר המספר x מקיים, ויתר על כן - רק המספר x מקיים. פסוקים מסדר ראשון תמיד מורכבים ממספר סופי של סימנים. אפשר לכתוב פסוק המגדיר את שורש 2 בעזרת סדרה אינסופית (שהגדרתה היא סופית), ואפשר גם בהמון דרכים אחרות. 85.64.171.226 15:35, 21 במאי 2010 (IDT)

יצוג מיספרי לאירציונליים - חתכי דדקינד או סדרות קושי. בשני המקרים מדובר בייצוג אינסופי. אין ייצוג מספרי סופי לאירציונליים. אילן שמעוני - שיחה 16:06, 21 במאי 2010 (IDT)

אני לא מבין למה אתה מתעקש לכתוב שוב ושוב את הטענה הזאת. אני יכול לייצג את שורש 2 בעזרת מספר סופי של סימנים מתמטים, כלומר לייצג אותו בצורה סופית. הנה דוגמה:

$\,(x^{2}=2)\land (x>0)$ הוא פסוק מסדר ראשון שרק שורש 2 מקיים, ולכן הוא ייצוג סופי של שורש 2. 85.64.171.226 16:09, 21 במאי 2010 (IDT)

סיבת ההתעקשות היא שזהו לב העניין. פסוק אינו מספר - אם כי פסוק עשוי להגדיר מספר חח"ע. שורש 4 הוא פסוק, 2 הוא מספר הממלא את דרישות הפסוק. הצורות היחידות שמאפשרות להגדיר פתרונות לפסוקים שהעלית הם שני הפיתוחים האינסופיים שהוזכרו - קבוצות חסומות של אינסוף רציונליים כשאין רציונלי בחסימה במקרה של חתכי דדקינד, סדרות אינסופיות וחסומות בסדרות קושי. אלה הצורות היחידות להגדיר מספר אירציונלי. אנסה להסביר זאת בדרך נוספת: על מנת שהביטוי X יחשב למספר אתה צריך, בין השאר, להגדיר כיצד אתה מבצע עליו פעולות כמו כפל וחיבור. הפסוק "שורש 2" אינו ניתן לסכימה. השבר האינסופי שמתחיל ב 1.4142135623730950488016887242097 ניתן לסכימה על פי השיטות שהזכרתי - איחוד קבוצות בחתכי דדקינד, סדרה של סכומים בסדרות קושי. אני מקווה שהצלחתי להסביר את הקושייה. אילן שמעוני - שיחה 16:39, 21 במאי 2010 (IDT)

טוב. עכשיו לפחות אני מסכים שאנחנו מתקדמים. אתה טוען "שורש 4 הוא פסוק, 2 הוא מספר". זוהי החלטה שרירותית כמובן. לשם נוחות אני מעדיף לעבוד עם מספר בעל 2 ספרות, נאמר 23. אתה כמובן תטען ש23 הוא מספר. אני טוען אחרת - 23 הוא מחרוזת סופית של תווים מעל האלף בית $\,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}$. מוסכמה אנושית אומרת לי כיצד לייחס משמעות מספרית לכל רצף סופי של ספרות מעל האלף בית הזה, כך שכשאתה כותב 23 אני אמנם רואה רצף של תווים מעל האלף בית הנ"ל, אך יודע איך לתרגמו למספר 23. כשבונים את המתמטיקה בצורה פורמלית (על סמך אקסיומות צורמלו-פרנקל) נתקלים בעיה - איך לבנות את המספרים. הפיתרון המקובל הוא בניה שמבוססת על קבוצות. את המספר 0 מייצגת הקבוצה הריקה. פרטים מדוייקים על צורת ההגדרה הזאת יש בערך מספר טבעי. העניין שצריך להבין פה הוא שזוהי צורה אחת אפשרית של הגדרה. צורה שמובילה לכך שבאמת כל רציונלי מיוצג על ידי קבוצה סופית וכל אי-רציונלי מיוצג על ידי קבוצה אינסופית. אך זוהי רק דרך אפשרית אחת לייצג מספרים! אתה בעצמך אמרת ש"שורש 4" אמנם שווה ל2 אך הוא לא המספר 2. אם כך, מדוע הקבוצה $\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}$ היא כן המספר 2? כאמור, זהו ייצוג אפשרי של המספר הזה. אפשר לייצג מספרים בדרכים רבות אחרות, למשל כפי שהצעתי לעיל - על ידי פסוק אותו מקיים אותו מספר, ורק אותו המספר, ואז גם לשורש 2 יש ייצוג סופי. יש מספרים ממשיים שאין להם כל ייצוג סופי (למעשה רובם כאלה), אך כל מספר אלגברי, למשל, אינו כזה. למעשה - כל מספר שאי פעם נתקלת בו - אינו כזה, ולו רק כי בחייך נחשפת רק לכמות סופית של מידע, ולכן מעולם לא נתקלת במספר שלא ניתן לייצג בצורה סופית. 85.64.171.226 16:48, 21 במאי 2010 (IDT)

שים לב להבדל עקרוני בין הייצוג הלא מספרי שורש 2 לייצוג המספרי על פי אקסיומות פאנו שהבאת. השני הוא ייצוג אופרטיבי - ישנם כללים מוגדרים הייטב של הפעולות. הראשון - אינו אופרטיבי. למשל, למרות שיחס סדר קיים במספרים ממשיים מה אתה יכול לומר על 3 כפול סינוס 28 מול שורש 2? הגדרה אופרטיבית של אירציונליים מחייבת סיכום אינסופי ומחייבת את הזהות של שואף ל.. עם שווה ל.... אינני יודע כיצד אתה רואה את זה, אבל בעיני זה לא שרירותי מאחר ויש מעט מאד דרכים להגדרה אופרטיבית של אירציונליים. במובן זה ההגדרה כפויה עלינו כפתרון של תנאים נתונים ,ולכן אינה שרירותית לגמרי. אילן שמעוני - שיחה 17:23, 21 במאי 2010 (IDT)

האם אפשר לדבר על יחס סדר ויחסים ארתמטיים בשפה מסדר ראשון? אם כן (אני באמת לא יודע הידע שלי בנושא שטחי ביותר) הרי שהאנונימי צודק, והוא מסוגל לבנות את כל המספרים הגדירים כלשונו. כמובן שנותרו c מספרים שאין לנו איך לבנות, ויש כבר צורך באינסוף. דניאל ב. 18:17, 21 במאי 2010 (IDT)

ישנה אנליזה לא סטנדרטית של רובינזון. היא בעייתית, אבל עקבית עם עצמה. היא מחייבת קיומו של מספר מיוחד, שגדול מכל מספר אחר ובכל זאת אינו אינסוף. פרט לזה לא ידועה דרך. אין לי מושג אם הוכח שלא ניתן לבנות דרך נוספת שנמנעת משימוש באינסוף או שפשוט אף אחד לא בנה כזו עדיין. אילן שמעוני - שיחה 20:08, 21 במאי 2010 (IDT)

כאמור, בלתי אפשרי לפתח את הממשיים ללא אינסוף. אולם כפי שהדגים האנונימי ניתן לבנות כל מספר "מעניין" כגון שורש 2. דניאל ב. 22:04, 21 במאי 2010 (IDT)

פה נמצאת הטעות. מה שהוא הציג אינה בניה של מספר אירציונלי. מה שהוא הציג זו פונקציה שניתן להשתמש בה רק אחרי שהיא מוגדרת היטב, והגדרה שלה מחייבת פיתוח אינסופי. כלומר - לכתוב "שורש 2" זה נטול כל משמעות ללא מבנה מסודר שמאמת את קיומו של היצור הזה ומגדיר איך ניתן לטפל בו. המבנה המסודר הזה כולל בכל מקרה (אולי למעט רובינזון, אני לא בקיא בשיטה שלו) ייצוג אינסופי. לטעון "ניתן לבנות ללא שימוש באינסוף" זה, איך לומר, בערך כמו לטעון "ניתן לחזור בזמן, תאמינו לי". כל זמן שלא מוצע מבנה כזה, או הוכחה שניתן לבנות מבנה כזה, זו הצהרה ריקה מתוכן. אילן שמעוני - שיחה 23:15, 21 במאי 2010 (IDT)

אז בוא נבהיר - זה תלוי מה אתה רוצה לעשות. אפשר לבנות בקלות את השדה $\,\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}:a,b\in \mathbb {Q} \}$ בצורה שבה כל איבר יהיה מיוצג על ידי קבוצה סופית, ושתוכל להגדיר על קבוצה זו את כל הפעולות האריתמטיות הרגילות, וזאת, כאמור, ללא כל שימוש באינסוף. אם תרצה, אציג בניה כזאת. 85.64.171.226 12:12, 22 במאי 2010 (IDT)

בוא נראה אם יש משהו מאחורי הסמלים. אתה בונה את השדה Q, ומראש מניח קיום שורש 2? אילן שמעוני - שיחה 14:49, 22 במאי 2010 (IDT)

לא. הוא אומר לך שהוא מסוגל להתשמש אך ורק בקבוצות סופיות ולבנות את השדה הידוע כ-$\,\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$. כלומר הוא מסוגל לבנות בצורה סופית את שורש 2 כך שיכלול את כל תכונותיו ללא שימוש באינסוף. דניאל ב. 20:53, 22 במאי 2010 (IDT)

"השדה הידוע כ Qשורש 2"... אני לא מכיר שדה כזה. Q בד"כ מסמל רציונליים. בהמשך ההגדרה הוא מציע סכום של a עם b*שורש 2 (a ו b שייכים ל Q) ושוב הוא משתמש במשהו שעדיין לא הוגדר ולא נבנה. מה יהיה? אילן שמעוני - שיחה 22:35, 22 במאי 2010 (IDT)

קח את קבוצת כל הזוגות הסדורים $\ (a,b)$ ($\ a,b\in \mathbb {Q}$) עם הפעולות $\ (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$ ו- $\ (a,b)\cdot (a',b')=(aa'+2bb',ab'+a'b)$. זה השדה $\ \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$. עוזי ו. - שיחה 22:41, 22 במאי 2010 (IDT)

בהמשך לדבריו של עוזי: אם תבחן את השדה תגלה שעל אף שהוגדר בצורה סופית שורש 2 הוא איבר שלו. לפשר הסימון ראה הרחבת שדות. דניאל ב. 01:18, 23 במאי 2010 (IDT)

נחמד! אבל - כוונתך לשורש (2,0) או (2,2)? 2 לא נמצא בשדה הזה אם הבנתי נכון... ואיך זה פותר לנו את שאלת אורך האלכסון של ריבוע יחידה? אילן שמעוני - שיחה 20:10, 23 במאי 2010 (IDT)

בשדה הזה, המספרים $\ (a,0)$ מתנהגים בדיוק כמו המספרים הרציונליים. המספר (1,0) הוא איבר היחידה, ואין שום דרך להבדיל בינו לבין ה-1 ה"רגיל". אם תבדוק, תגלה ש- $\ (0,1)^{2}=(2,0)$, ולכן המספר (0,1) הוא "באמת" שורש 2. עוזי ו. - שיחה 20:19, 23 במאי 2010 (IDT)

שבירה
העובדה ש (1,0) בריבוע שווה ל (2,0) מראה כל דבר פרט ל"מתנהגים בדיוק כמו המספרים הרציונליים". איבר היחידה לכפל ברציונליים נותן, כשהוא מועלה בריבוע, את עצמו. כך מתנהג איבר יחידה טוב וממושמע, ולא את 2. כך או כך, עם כל כמה שזה נחמד, אין זה פתרון אורך האלכסון של ריבוע היחידה. אני מזכיר לכולם מה נושא הדיון - שאלת קבלת הזהות בין "שואף ל.." עם "שווה ל..". הטיעון שלי היה ששאלה פשוטה כמו אלכסון ריבוע היחידה - שורש 2 - מאלצת אותנו ללכת לאינסוף. מבחינה זו הסיבוב המלבב לשדה, אליו שילח אותנו האלמוני, לא ממש פרודוקטיבי. סקרנותי מחייבת אותי לבקש מעוזי הבהרות לגבי מתנהגים בדיוק כמו המספרים הרציונליים. המספר (1,0) הוא איבר היחידה, ואין שום דרך להבדיל בינו לבין ה-1 ה"רגיל"., אבל אני אמתין עם זה בסבלנות לאחר סיכום פתיל זה. אילן שמעוני - שיחה 20:45, 23 במאי 2010 (IDT)

אתה מתבלבל בין (1,0) הלא הוא איבר היחידה 1 שהעלתו בריבוע תתן כמובן (1,0). ובין (0,1) שהוא שורש 2 לכל דבר. הבניה הזאת בונה את שורש 2 בדיוק כמו שצריך, ואכן ניתן לייחס ל-(0,1) את אורך האלכסון של ריבוע. הרי הרחבת שדות התפתחה באופן היסטורי בכדי לתת מענה לבעיות הגאומטריות העתיקות של היוונים. דניאל ב. 21:00, 23 במאי 2010 (IDT)

ברשותכם אעביר את הדיון בשורש 2 להכה את המומחה לשם הוא מתאים. שכן מזמן הוא כבר חרג מנושא הערך לו שייך דף השיחה. דניאל ב. 21:02, 23 במאי 2010 (IDT)

איבדתי אותך. אם היית אומר ש (1,1) הוא שורש 2 ניחא - הרי מיקום הקואורדינטה (1,1) נמצא בדיוק במרחק שורש 2 מ (0,0). אבל הזוג הסדור (1,0), גם אם על פי הגדרות השדה נותן (0,2) בהכפלה בעצמו, לא מוסר שום מידע על אורך אלכסון ריבוע היחידה. אילן שמעוני - שיחה 21:49, 23 במאי 2010 (IDT)

אתה רוצה להגיע לשורש 2 נומרית? מהרגע שאתה מגדיר יחס סדר על השדה הזה תקבל את כל המידע הנומרי שאתה צריך. דניאל ב. 22:00, 23 במאי 2010 (IDT)

במקום אוסף הזוגות, שיכול לבלבל, אפשר להתבונן באוסף הביטויים הפורמליים $\ a+bx$ כאשר a,b מספרים רציונליים, עם פעולת החיבור הטבעית, ופעולת הכפל $\ (a+bx)(a'+b'x)=(aa'+2bb')+(ab'+a'b)x$. ביחס לפעולה הזו, $\ x^{2}=(0+1x)\cdot (0+1x)=2+0x=2$. עוזי ו. - שיחה 22:02, 23 במאי 2010 (IDT)

דניאל, חזור בבקשה אחורה לטענה שלי "לכתוב שורש 2 אינו ייצוג מספרי". באמת היית צריך את כל זה על מנת לתרגם "מספרי" ל"נומרי"? יש לי מילון עברי אנגלי ספייר בבית, אם אתה מעוניין. לגבי הגדרת יחס סדר - זו לא דוגמה שלי. אם אתה טוען שהדוגמה הזו אכן תפיק את אורך אלסון ריבוע היחידה ללא ערוב אינסוף, עליך ועל האלמוני חובת ההוכחה. אילן שמעוני - שיחה 22:20, 23 במאי 2010 (IDT)

יש פה בעיה של הגדרות. בנינו לך את שורש 2 מכל כיוון אפשרי. מה עוד חסר לך בדיוק? נסח את זה בצורה מתמטית. איזה תנאי אתה רוצה ששורש 2 יקיים ש(0,1) שעוזי בנה אינו מקיים? דניאל ב. 22:27, 23 במאי 2010 (IDT)

כל הדיון הזה הוא מעניין, אבל קצת מחמיץ את הנקודה. הוא בכלל לא עוזר לנו להבין איך מחברים ומחסרים מספרים "מורחבים" כאלו. לדוגמה, איך אני מחבר את (2,0) (מההרחבה עם שורש 2) עם (2,0) (מההרחבה עם שורש 3)? נראה שהקושי הבסיסי הוא מושג הגבול. אילן, אני מנסה להבין מה הבעיה שלך בדיוק עם המושג הזה. בתור התחלה, מהו ההפרש בין 1 לבין 0.9999999999999999‎...‎ ?Tzafrir - שיחה 22:31, 23 במאי 2010 (IDT)

הבנייה שעוזי הציג בונה רק את $\,\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$. אם אתה רוצה לבנות את כל השורשים של רציונליים ובכלל את כל השורשים של פולינומים רציונליים עליך לבנות את שדה המספרים האלגבריים שגם כן ניתן לבנייה סופית ניתן לבנייה בת מנייה (נכון?). הדיון כבר מזמן לא עוסק ב-0.999... דניאל ב. 22:37, 23 במאי 2010 (IDT)

דניאל, זו לא בעיה של הגדרות. כשנאמר משהו כמו "אין דרך להבדיל בין (0,2) לבין 2 מהרציונליים". זה משפט אירציונלי פר אקסלנס. מה שנבנה זה משדה אחר מהרציונליים, ונותן את התוצאה שלו בשדה אחר מהרציונליים. הבנייה הזו מלכתחילה לא ענתה על תנאי השאלה. אני שמח שאתה והאלמוני נהנים מההזדמנות להפגין ידע בהרחבת שדות, ואני גאה בכך שסיפקתי לכם את ההזדמנות, אבל מכיוון שהתברר שההצהרות היו ריקות אני נאלץ בצער להחזיר אתכם למשבצת ההתחלה: יש לנו ריבוע יחידה, ויש לו אלכסון. זו מוטיבציה לשאול מהו שורש 2 (לא שורש (2,0) ולא (0,2) וגם לא (2,2), תודה ששאלת). האם יש דרך לענות לשאלה זו ללא שימוש באינסוף? רגע, כבר עניתי לשאלה הזו- לא. אתה טוען אחרת? לצפריר, ההפרש הוא 0. השניים זהים. אילן שמעוני - שיחה 23:00, 23 במאי 2010 (IDT)

(לא!) עוזי ו. - שיחה 00:07, 24 במאי 2010 (IDT)

אילן, כבר איבדתי אותך לגמרי. הרי הראו לך ממש את מה שאתה מבקש! בנייה סופית של שורש 2 (הלא הוא אלכסון ריבוע היחידה) על כל תכונותיו. מה הבעיה? דניאל ב. 00:20, 24 במאי 2010 (IDT)

"עליזה באה במבוכה נוראה. דומה היה עליה שפסוקו של הכובען אין לו כל משמע, ועם זאת ברי היה שבלשון בני אדם נאמר." מה אורך האלכסון, דניאל? אילן שמעוני - שיחה 07:40, 24 במאי 2010 (IDT)

א. למטה אילן כבר הסכים שיש בעיה אם לא מקבלים את מושג האין־סוף ושהוא אישית מקבל אותו. כך שנראה לי שנקודות המחלוקת הן מועטות למדי. אני מקווה שאילן יסכים איתי.

ב. אתה מצליח לבנות שדה מספרים שכולל את שורש 2 ואת שורש 3. מעצם היותו שדה מספרים הוא מאפשר פעולות שקוראים להם "חיבור" ו־"כפל". אבל הנה שאלה פשוטה: מהו בדיוק ההפרש בין שורש 2 לבין שורש 3? התשובה שתיתן לי היא, בעצם, "שורש שתיים פחות שורש שלוש". לשם השוואה: די פשוט לבנות בניה הנדסית (עם סרגל ומחוגה) של שורש שתיים ושורש שלוש של אותה יחידת מידה, ולהשוות ביניהם (עד כדי אי־דיוקים אנלוגיים). גם אצל הממשיים הם נמצאים על אותו ציר מספרים וקל להשוות ביניהם.

ג. מה בדיוק ההבדל בין "השורש של 2" ל"שורש של ‎-1"? למה האחרון אינו מבין הממשיים? נשמע לי קצת מסוכן לטעון שעצם העובדה שאנחנו יכולים להגדיר משהו אומר שהוא קיים. יש כמובן את תורת הקבוצות הנאיבית שנכשלה בגלל זה.

אז אני מקווה שמוסכם על כולם שאנחנו בגן העדן האינסופי ושאין לנו בעיות עם זה.Tzafrir - שיחה 11:19, 24 במאי 2010 (IDT)

אילן - התרומה שלי לדיון לא היתה די קונסטרוקטיבית; חיכיתי ש-85 יסביר את הרמזים שלו בעצמו. הרעיון הוא פשוט: כל מספר שניתן לתאור סופי ("מספר גדיר") אפשר, כמובן, לבנות בלי להזדקק לאינסוף; התאור הסופי מאפיין אותו באופן חד-משמעי, ואפשר להשתמש בו בתוך מערכות סופיות בלי שאפשר יהיה להבחין (בזמן סופי, אם רוצים להיות קטנוניים) בינו לבין המספר ה"אמיתי" שעליו חשבנו מלכתחילה. מצד שני, אם לא בונים באופן מלא מערכת מספרים גדולה מספיק (כמו שדה המספרים הממשיים), התאור הסופי אינו מצביע על אובייקט חיצוני (המספר שורש-2), ולכן יש כאן מעין רמאות - המספר הוא התאור של עצמו, ותו לא. הבניה האלגברית של שורש 2 (או כל מספר אלגברי אחר) חוזרת על הפעלול הלוגי הזה בכלים אלגבריים. לכן: כדי להבין כל מספר (גדיר) בפני עצמו, אין צורך באינסוף. כדי לאחוז בכל המספרים (הגדירים; אפילו - השלמים) בבת-אחת, צריך כמובן קבוצה אינסופית. עוזי ו. - שיחה 00:26, 24 במאי 2010 (IDT)

עוזי, אני פשוט לא מבין את ההצהרה שלך שלא ניתן להבחין בין 2 מהרציונליים ל (0,2) בשדה החביב שבניתם. הרי זה אינו אותו שדה, ולכן - זה אינו אותו מספר. ההבחנה נראת לי פשוטה - זה מספר בודד שהוא איבר בשדה, וזה זוג מספרים שהוא איבר בשדה השני. בנוסף גם פעולות אריטמתיות נותנות תוצאה שונה ((0,1) כפול עצמו נותן (0,2). 1 כפול עצמו נותן 1). אז - איפו קושי ההבחנה? לי הם נראים שונים כמו כוס תה מול בייגלה (הזהות הטופולוגית בכוונה, אבל בהומור). אילן שמעוני - שיחה 07:32, 24 במאי 2010 (IDT)

אז מה אם זה אינו אותו שדה? גם הרציונליים והממשיים אינם אותו שדה אבל לא תחלוק על כך ש-2 של הממשיים הוא 2 של הרציונליים. אין אף פעולה אריתמטית שנותנת תוצאה שונה. אתה מתבלבל בין איברי השדה! (1,0) הוא איבר היחידה 1 שבריבוע נותן (1,0). (0,1) הוא איבר שונה והוא שורש 2 שבריבוע נותן (2,0) הלא הוא 2. אורך האלכסון לפי משפט פיתגורס הוא שורש 2 שבנינו אותו כאן במפורש. דניאל ב. 11:32, 24 במאי 2010 (IDT)

כלומר אורך האלכסון הוא (0,1)? איפה זה על הסרגל? עשיתם תרגיל יפה, אבל אתה מעט נסחף איתו. הבנייה אינה עונה על תנאי השאלה. אילן שמעוני - שיחה 11:50, 24 במאי 2010 (IDT)

השדה הוא שדה סדור לכן ניתן להשתמש בסדר ובעובדה שהרציונליים צפופים כדי לכלוא את (0,1) בין שני רציונליים ובכך לקבל קירוב נומרי טוב ככל שתרצה. דניאל ב. 12:11, 24 במאי 2010 (IDT)

תבנית:פוער עיניים גדולות איך אתה מגדיר עליו סדר? אילן שמעוני - שיחה 15:42, 24 במאי 2010 (IDT)

מספיק להגדיר מתי איבר של השדה חיובי כי אז תוכל לקבוע שאיבר אחד גדול מאחר אם ההפרש בינהם חיובי. אז מגדירים: $\ (x,y)>0$ אםם x,y חיוביים, או x שלילי ו-y חיובי כך ש-$\ x^{2}<2y^{2}$, או x חיובי ו-y שלילי כך ש-$\ 2y^{2}<x^{2}$. והרי לך סדר על השדה שמתלכד עם הסדר המוכר לך של הרציונליים והממשיים. דניאל ב. 21:21, 24 במאי 2010 (IDT)

גן העדן

6 הפני שלי:

• "אף אחד לא יגרש אותנו מגן העדן שקנטור בנה עבורנו." - דויד הילברט.
• שאלת הלגיטימיות של ה(שימוש ב)אינסוף היא יותר עניין של פילוסופיה מאשר של מתמטיקה.

בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 22:44, 23 במאי 2010 (IDT)

אבל מתמטיקה היא פילוסופיה... יש בד"ח ידוע. אילן שמעוני - שיחה 23:03, 23 במאי 2010 (IDT)

אני מנסה להבין למה זה בדיוק מפריע לך. "פילוסופי" זה כללי מדי מבחינתי. בתחילת הדיון כתבת "ישנו מיעוט קטן מאד בין המתמטיקאים שמתייחס לאינסוף כאל תוספת שגויה. הבעיה עם דחיית רעיון האינסוף הוא שיש מקרים רבים שזה 'מתפוצץ לנו בפנים'. למשל - מה האורך של אלכסון בריבוע? חשבון פשוט יעלה שארכו הוא שורש של שתיים." כלומר אם אני מבין אותך נכון, המתמטיקה מסתדרת יפה עם שימוש בגדלים אינסופיים, ולא מסתדרת אם נמנע השימוש הזה. אתה יכול להסביר למה אתה מתעקש להסתבך?Tzafrir - שיחה 23:24, 23 במאי 2010 (IDT)

איפה ראית שאני מתעקש להסתבך? ההסתבכות (שהייתה מעניינת, במידה) באה מאלמונימי ודניאל, שטענו שהם הוכיחו את השערת רימן ונסעו בזמן. מה אני אשם בזה? אילן שמעוני - שיחה 23:29, 23 במאי 2010 (IDT)

כלומר לדעתך אין שום בעיה מתמטית עם דחיית רעיון האין־סוף? אם כך, למה כוונתך ב"מתפוצץ בפנים"? לחילופין, האם אתה מוכן להסתדר עם רעיון האין־סוף?Tzafrir - שיחה 23:48, 23 במאי 2010 (IDT)

לא, להיפך. אם אנחנו דוחים את רעיון האינסוף, זה מתפוצץ לנו בפנים כבר בבעיות פשוטות כמו שורש 2. אני אישית מקבל אותו - אם כי אני אוהב להראות את הסיבוכים שנובעים מכך. באמת הגיע הזמן שאכתוב ערך למשפט קושי לטורים מתכנסים, שערכם המוחלט אינו מתכנס. אילן שמעוני - שיחה 07:25, 24 במאי 2010 (IDT)

הבעיה היחידה שלמתטיקה יכולה להיות עם אינסוף זה שיוולדו סתירות ממושג זה. ישנה מערכת אקסיומות המבוססת על אקסיומות צרמלו-פרנקל ונכון להיום היא שיחזרה את כל המתמטיקה הידוע ולא נתגלתה בה אף סתירה. כך שבמבחינת המתמטיקה אין כרגע בעיות עם האינסוף. בברכה, MathKnight הגותי (שיחה) 23:30, 23 במאי 2010 (IDT)

לא ראיתי שהאלמונימי ודניאל טענו שהם הוכיחו את השערת רימן ונסעו בזמן. אפילו לא ראיתי שהם אמרו שהם רוצים מתמטיקה בלי אינסוף. הם רק ניסו לתקן בלבול קטן שהתבלבלת, והוא הרעיון שאותו אינסוף (שחיוני להרבה דברים אחרים) חיוני בשביל של־2 יהיה שורש. אז לא, האינסוף לא חיוני בשביל זה כמו שהם הדגימו בשלוש דרכים שונות, אבל לא תמצא שדניאל או האלמונימי אומרים שהוא מיותר. (ודרך אגב, קצת קשה לדבר על ...0.99999 כשה ... מסמל "וכן הלאה עד אינסוף" בלי להזכיר אינסוף). בכבוד - קיפודנחש - שיחה 01:54, 26 במאי 2010 (IDT)

אתה צודק כמובן. האופן המאד איטי והדרגתי שבו הם הביאו את מה שהביאו גרם לי לפקפק שיש להם מה להביא, ולכן באה ההערה הספקנית-אך-מבודחת על השערת רימן ומסע בזמן. בסופו של דבר (הרבה סופו של דבר ) הם בהחלט סיפקו את הסחורה. 10:00, 27 במאי 2010 (IDT)

מציאת מקדם בפונקציה רציונלית

$\ (1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}+x^{8}+x^{9})^{100}$

איך אני מוצא למשל את המקדם של $\ x^{300}$ ? ―אנונימי לא חתםמש:אנונימי ‌ 00:00, 10 בינואר 2000 (IST)

גוזר 300 פעמים ומציב x=0. ירון • שיחה 21:57, 22 ביולי 2010 (IDT)

באופן כללי, אם אני לא טועה, אין אלגוריתם יעיל שפותר את הבעיה הזאת. מקרים פשוטים ניתן לחשב בעזרת מניפולציות של פונקציות יוצרות. דניאל ב. 00:35, 26 ביולי 2010 (IDT)

המקדם הזה הוא מספר הפתרונות למשוואה $\ i_{1}+i_{2}+\cdots +i_{100}=300$ תחת האילוצים $\ 0\leq i_{1},\dots ,i_{100}\leq 9$. את הנוסחה הכללית אפשר לחשב אינדוקטיבית. עוזי ו. - שיחה 19:25, 28 ביולי 2010 (IDT)

גוף אליפטי תלת מימדי?

הוגדר? נחקר? (מניח שכן.) אפשר בבקשה סיכום של תכונותיו/הפניה? נפחו? מעניין אותי, כי הגיוני שיהיו לו רק שני מוקדים, עם אותה ההגדרה כמו האליפסה, אבל מה עם האקסצנטריות שלו, למשל? תודה.

ראה אליפסואיד. עוזי ו. - שיחה 13:29, 9 באוגוסט 2010 (IDT)

תודה עוזי. אפשר בבקשה סקירה מקיפה מעט יותר, רצוי בעברית?

כלומר: הגדרות, נוסחאות, הצגה במערכת צירים תלת מימדית, המשמעות הגראפית של הפרמטרים a,b,c, וכו׳. ובכלל - אולי אני טועה - המשוואה שמופיעה שם מתארת מעין צורה קנונית, לא? כלומר, שלושת צירי האליפסואיד על שלושת הצירים ? [בהנחה שיש שלושה צירים...] מזכיר מאד את צורת האליפסה הקנונית.

מצטער אם אני מטריח - לא נורא אם לא, זה מסקרנות בלבד. אין לי צורך מהותי.

אסוציאטיביות וקומוטטביות

מהו ה-Zn={0,1,2, ...,n-1} הקטן ביותר בו ניתן ליצור פעולה בינארית שהיא קומוטטיבית אבל לא אסוציאטיבית. כמדומני ב-Z1 וב-Z2 אי-אפשר.

הפעולה NAND (על שני איברים, 0 ו-1) היא קומוטטיבית אבל לא אסוציאטיבית. עוזי ו. - שיחה 00:11, 10 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה הסתברותית

מכונת לוטו מזכה אדם במיליון שקלים חדשים אם הוא מנחש את המספר הנכון. ידוע שהמספר הוא בין 1 ל- 999 (לא כולל מספרים שמכילים את הספרה 0). במכונת הלוטו יש 3 כדורים שרשום עליהם 1, ו-3 כדורים שרשום עליהם 2 ו-3 כדורים שרשום עליהם 3 ......... ו-3 כדורים שרשום עליהם 9 (בקיצור, לכל ספרה יש 3 כדורים, חוץ מלספרה 0) . המספר נבחר בשני שלבים. שלב1 - קודם מוציאים כדור ממכונה מיוחדת שיש בה רק 3 כדורים: הספרה 1, הספרה 2, הספרה 3. הספרה שתצא תציין את מספר הספרות של המספר המוגרל. למשל, אם יצא הספרה 2, אז בשלב2 נוציא שני כדורים ממכונת הלוטו המתוארת לעיל. (לכן המספר יכול להיות בין 0 ל- 999 - לא כולל מספרים שמכילים את הספרה 0). כאשר כל כדור שמוציאים בשלב2 לא מחזירים. (בשלב1 זה לא משנה אם מחזירים או לא, כי זה ממכונה נפרדת ואנו מוציאים רק כדור אחד כדי לקבוע כמה כדורים להוציא מהמכונת לוטו). דוגמה: בשלב1 - הגרלנו את הספרה 3 (יש 3 אפשרויות במכונה זו: 1 או 2 או 3), אז בשלב2 נוציא שלושה כדורים ממכונת הלוטו, נניח שיצא: כדור ראשון - 1, כדור שני - 4, כדור שלישי 2. (המספר הזוכה 142) מי שניחש 142 הוא הזוכה! . השאלה שלי האם יש הסתברויות שונות לכך שיצא מספר בעל ספרה אחת, שתיים ושלוש ספרות. כלומר, מה עדיף לי לנחש? מספר בעל ספרה אחת או מספר בעל שתי ספרות או בעל 3 ספרות? הסתבכתי עם החישוב להסתברות כי נראה שההסתברות בשלב2 תלויה בשלב1. לכן אני פונה לעזרתכם.

הסיכוי שיוגרל המספר 5 הוא 1/3 עבור שיצא מהמכונה הראשונה בשלב1 הספרה 1 וגם 3/27 שייצא ממכונת הלוטו בשלב2 הספרה 5. אז סה"כ 1/81 . לגבי הסיכוי שיוגרל המספר 123: 1/3 עבור שלב1 וגם 3/27 עבור שלב2 (לספרה 1) וגם 3/26 עבור שלב2 (לספרה 2) וגם 3/25 עבור שלב2 (לספרה 3). סה"כ 6/52650 . לכן שווה לנחש מספר חד ספרתי. (אם הייתי בוחר מספר עם ספרות זהות כמו 666, אז הסיכוי היה אפילו יותר נמוך, כי לא מחזירים את הכדור). אולי זאת הסיבה שהמספר בלוטו האמיתי הוא בעל ספרות קבוע, אחרת כולם היו בוחרים מספר בעל ספרות הכי נמוך 195.168.109.60 10:11, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

הסיכוי לכל המספרים החד-ספרתיים, יחד, הוא שליש, וזה גם הסיכוי המשותף לכל המספרים התלת-ספרתיים. אבל יש הרבה יותר מספרים מהסוג השני מאשר מספרים מהסוג הראשון. עוזי ו. - שיחה 15:30, 20 באוגוסט 2010 (IDT)

שאלה במתמטיקה (118)

אני מחפש מידע על משפט במתמטיקה. אני לא יודע אם יש שם למשפט. המשפט הוא כזה: אם סינוס או קוסינוס של זווית שהיא כפולה רציונלית של פיי (או רציונלית במעלות), הוא בעצמו מספר רציונלי, אז הסינוס (או קוסינוס) הוא אחד מ-5 האפשרויות הבאות: ‎-1,‏ ‎-0.5,‏ 0,‏ 0.5‏ או 1 (והזווית היא כמובן מהצורה פיי כפול מונה חלקי 1 או 2 או 3 או 6, או כפולה של 30 מעלות). אני מחפש ערך בויקיפדיה והוכחה למשפט. אם אין בויקיפדיה בעברית, אפשר גם באנגלית או בשפות אחרות. תודה, אורי אבן-חן - שיחה 21:55, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

נראה לי שאם תחקור את האקספוננט המרוכב המתאים תוכל להגיע למסקנות בעניין. אני-ואתה • שיחה 22:30, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

האתר הזה מספק הוכחה מלאה לטענה; העיקר הוא הלמה הראשונה, שלא קראתי בעיון (ראה גם פולינומי צ'ביצ'ב, שבעזרתם אפשר להוכיח בקלות טענה מעט חלשה יותר מן הלמה הזו). את הלמה השניה אפשר להוכיח בשורה אחת, על-ידי הוצאת מכנה משותף. עוזי ו. - שיחה 22:39, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

והנה הוכחה: נניח שמדובר בכפולת-פאי $\ {\frac {m}{n}}\pi$, כאשר n,m זרים. בגלל משפט פיתגורס, אם הקוסינוס רציונלי אז הסינוס הוא שורש של רציונלי, ולהיפך. בשני המקרים המימד של ההרחבה $\ \mathbb {Q} [\rho _{n}^{m}]/\mathbb {Q}$ מחלק את ארבע (משום שהוא סכום של שני שורשי-רציונליים); אבל $\ \mathbb {Q} [\rho _{n}^{m}]=\mathbb {Q} [\rho _{n}]$, והמימד של השדה הציקלוטומי הוא המעלה של הפולינום הציקלוטומי, שהיא פונקציית אוילר של n. תרגיל: הערך $\ \varphi (n)$ הוא 1,2 או 4 אם ורק אם n=1,2,3,4,5,6,8,10,12; ואידך זיל גמור. עוזי ו. - שיחה 22:50, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה. ראיתי את האתר והאמת היא שלא חשבתי שההוכחה כל-כך מסובכת. לפני כמה שנים הוכחתי את המשפט, זה התבסס על הנוסחה של cos(x+y)‎ ויוצא שלכל מספר n,‏ cos(n*x)‎ הוא פולינום ממעלה n של cos(x)‎ עם מקדמים שלמים, המקדם של cos(x)^n הוא ‎2^(n-1)‎, ויוצא שהמכנה חייב להיות לכל היותר 2, כלומר האפשרויות הן רק המספרים שכתבתי קודם.

בכל מקרה, לדעתי כדאי שיהיה ערך בויקיפדיה על המשפט הזה, בעברית ובאנגלית. מישהו מתנדב להוסיף אותו? בינתיים אני אכתוב משהו בערך של סינוס (טריגונומטריה). אורי אבן-חן - שיחה 23:44, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

מן הפולינום שמצאת (שהוא פולינום צ'ביצ'ב) נובע רק שהמכנה הוא חזקה של 2 (ולא דווקא 2). כדי לסגור את ההוכחה מהפינה הזו צריך להבחין ש-$\ \sin(\pi /8)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$, שאינו פתרון למשוואה ריבועית עם מקדמים רציונליים (ואז להסביר מדוע זה חל על כל המספרים $\ \sin(2^{-n}\pi )$ עבור $\ n\geq 3$). לדעתי המקום הטבעי למשפט הוא בשדה ציקלוטומי. עוזי ו. - שיחה 02:15, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה. לא ידעתי שקוראים לזה פולינום צ'ביצ'ב. אני זוכר שהוכחתי שהמכנה חייב להיות 1 או 2, אם המכנה הוא גדול מ-2 (כולל חזקה של 2) אז יוצא שהדרגה הגבוהה ביותר של הפולינום היא שבר, וכידוע קוסינוס של כפולות של pi/2 הוא תמיד מספר שלם. אני לא זוכר בדיוק איך הוכחתי, אולי באינדוקציה, יכול להיות שהייתה לי טעות אז בכל מקרה אני שמח שהמשפט נכון. אורי אבן-חן - שיחה 03:03, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

הקוסינוס של $\ \pi /8$ מקיים את המשוואה $\ T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1=0$, שבה "הדרגה הגבוה ביותר של הפולינום" היא 4, ולא שבר. עוזי ו. - שיחה 11:08, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

לא הבנת אותי. התכוונתי שאם הקוסינוס הוא שבר רציונלי בעל מכנה גדול יותר מ-2, אז אם מציבים אותו בפולינום הנ"ל, מקבלים שבר, ואי אפשר לקבל מספר שלם. הפולינום יכול להיות מספר שלם רק עבור מספרים שלמים, או פלוס מינוס חצי, או מספרים אי-רציונליים. לדוגמה אם מציבים 1/4 בפולינום הנ"ל, אז הדרגה הגבוהה ביותר של הפולינום ($8x^{4}$) היא 1/32, הדרגה הבאה היא -1/2, ובסה"כ יוצא 17/32, שזה לא מספר שלם. אפשר לראות שעבור 1/4 לא מקבלים מספר שלם עבור אף פולינום, כלומר זה לא קוסינוס של זווית רציונלית. אורי אבן-חן - שיחה 12:44, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

זה נכון, במקרה, עבור הפולינום T_4; זה לא נכון עבור הפולינום $\ 8x^{4}-2x^{3}-4x+1$, שיש לו אותה מעלה ואותו מקדם מוביל, ויש לו שורש - $\ {\frac {1}{4}}$ - שהמכנה שלו גדול מ-2. איך תמשיך את ההוכחה עבור T_8 וכדומה? עוזי ו. - שיחה 12:59, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

בפולינומים של צ'ביצ'ב, או שכל הדרגות זוגיות, או שכל הדרגות אי-זוגיות, ושאר המקדמים הם 0. אני לא זוכר בדיוק איך הוכחתי, אבל אני חושב שאפשר להוכיח שאם x הוא מספר רציונלי והמכנה שלו גדול מ-2, אז יוצא שהאיבר בעל הדרגה הגבוהה ביותר הוא שבר, והפולינום כולו הוא שבר. במקרה של מכנה 2 זה לא עובד, כי הפולינום $\ 4x^{3}-3x$ נותן מספר שלם (1 או ‎-1), ואילו הפולינומים ממעלה של חזקת 2 נותנים תמיד ‎-1/2, כלומר קוסינוס של $\ 2\pi /3$ (אם מציבים 1/2 או ‎-1/2). אורי אבן-חן - שיחה 14:00, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

עוד שאלה במתמטיקה

יש לי עוד שאלה במתמטיקה. המספר פאי מופיע בהרבה נוסחאות, חלקן נוסחאות גאומטריות. השאלה היא, למה בכל הנוסחאות הגאומטריות המימד של פאי הוא 1, גם כשמדובר בשטח ונפח? למה פאי לא מופיע בריבוע או בשלישית, בנוסחאות של שטח ונפח (בהתאמה)? הייתי אולי מצפה שבנוסחאות של שטח פאי יהיה בריבוע, ובנוסחאות של נפח פאי יהיה בשלישית, וכן הלאה. תודה, אורי אבן-חן - שיחה 03:17, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

זו "אנומליה" של המימדים הנמוכים. ראה ספירה (גאומטריה)#שטח פנים ונפח של ספירה n-ממדית. עוזי ו. - שיחה 06:24, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה. וואלה, לא ידעתי שהמימד של פאי גדל עם המימדים. אבל בכל זאת, המימד של פאי הוא בערך חצי מהמימד של הכדור או הספירה שבהם מדובר. למה המימד של פאי הוא לא כמו מימד הכדור או הספירה? אורי אבן-חן - שיחה 12:57, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

ה"מימד" של פאי הוא אפס, משום שהוא סקלר. מכיוון שהנפחים והשטחים האלה מתקבלים מאינטגרלים מסויימים, התשובה הטובה ביותר שאני יכול להציע היא ש- $\ \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi /2}}$, כאשר $\ \Gamma$ היא פונקציית גמא. עוזי ו. - שיחה 13:01, 6 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה במתמטיקה (119)

איך מוכחים (בעזרת עקרון שובך היונים) שאם בוחרים n+1 מספרים מהקבוצה {3,2,1,..2n} אז יש בהם שני מספרים שאחד מחלק את השני ללא שארית?

אתה מחלק את הטבעיים למחלקות שקילות כך: לכל מספר אי זוגי m מגדירים את המחלקה $\ A_{m}=\left\{2^{k}m:k\in \mathbb {N} \right\}$. יש n אי זוגיים בין 1 ל-2n ולכן לפי עקרון שובך היונים אם בוחרים n+1 מספרים בין 2n הראשונים יש שניים באותה מחלקה שמהגדרת המחלקה קל לראות שאחד מחלק את השני. דניאל ב. 23:24, 11 בספטמבר 2010 (IDT)

ועכשיו גיליתי שההוכחה הזאת בדיוק כבר מופיעה בערך עקרון שובך היונים. תמיד טוב לבדוק בערך קודם. דניאל ב. 11:26, 12 בספטמבר 2010 (IST)

שאלה במתמטיקה (119ב)

ברשותכם יש לי שאלה נוספת במתמטיקה. אני יודע שהפונקציה היחידה שהנגזרת שלה שווה לה, היא e בחזקת x או 0 (או ליתר דיוק: קבוע כפול e בחזקת x). לעומת זאת בסינוס וקוסינוס, הנגזרת הרביעית שווה לפונקציה, ולכן גם השמינית וכן הלאה. השאלה היא, אילו פונקציות שוות לנגזרת ה-n שלהן למספר כלשהו n? לדוגמה נגזרת שלישית, חמישית, שישית, שביעית וכן הלאה. ואם אפשר להגדיר גם מספר לא שלם z, כך שהנגזרת ה-z של הפונקציה שווה לפונקציה המקורית? אני יודע שאפשר להגדיר פונקציות כאלה לפי טור טיילור שלהן, אבל אני לא ממש בקי במשוואות דיפרנציאליות. נדמה לי שבסינוס וקוסינוס היפרבולי, הנגזרת השנייה שווה לפונקציה. זה נכון? ומה לגבי נגזרות מסדר כללי? לדוגמה, באיזו פונקציה הנגזרת השלישית שווה לפונקציה המקורית? (כאשר הנגזרת הראשונה והשנייה שונות כמובן מהפונקציה המקורית). אורי אבן-חן - שיחה 02:27, 12 בספטמבר 2010 (IST)

לכל משוואה דיפרנציאלית מהצורה

$f(x)=f^{(n)}(x)$

יש פתרון כמובן, אני רק לא יודע אם הוא תמיד אנליטי. לדוגמה ששאלת, (נגזרת שלישית שווה לפונקציה המקורית, אבל הנגזרות הראשונה והשניה לא) יש שני פתרונות:

• $f(x)=e^{-{\frac {x}{2}}}\sin({\frac {\sqrt {3}}{2}}x)$
• $f(x)=e^{-{\frac {x}{2}}}\cos({\frac {\sqrt {3}}{2}}x)$

במקרה של הנגזרת השניה הפונקציות ההיפרבוליות הן אכן הפתרונות. Easy n - שיחה 13:22, 12 בספטמבר 2010 (IST)

קח שורש יחידה $\ \rho$ מסדר n; הפתרון הכללי למשוואה שלך הוא צירופים ליניאריים של הפונקציות $\ e^{\rho ^{i}x}$. אלו אמנם פונקציות מרוכבות, אבל אפשר לפרק אותן לחלק ממשי וחלק מרוכב, וזה נותן הצגה ממשית של אותו מרחב פונקציות. עוזי ו. - שיחה 17:21, 12 בספטמבר 2010 (IST)

תודה על התשובות. אורי אבן-חן - שיחה 15:14, 13 בספטמבר 2010 (IST)

עוד משהו. אני מניח שב-i בנוסחה שלך התכוונת למספר שלם כלשהו, ולא למספר המרוכב i. אולי עדיף להשתמש באות אחרת, לדוגמה k‏: $\ e^{\rho ^{k}x}$. זה נכון? אורי אבן-חן - שיחה 16:03, 13 בספטמבר 2010 (IST)

מספר מחלקים

יש לי שאלה שלא מצאתי לה תשובה מפורטת ברשת. האם כל מספר שיש לו שורש שלם, מספר המחלקים שלו הוא אי זוגי. והפוך, אם השורש של המספר הוא לא שלם, אז מספר מחלקיו הוא זוגי. (דוגמה, עבור 8 שהשורש שלו אינו שלם, אז מספר מחלקים הוא זוגי: 1,2,4,8) (דוגמה, עבור 9 שהשורש שלו שלם, אז מספר המחלקים הוא אי זוגי: 1,3,9). איך מוכיחים את זה בצורה פורמלית? תודה!

אכן, נכון הדבר. ההוכחה פשוטה: לכל n טבעי נחלק את מחלקיו לזוגות כך שלכל מחלק d נתאים את המחלק n\d. אם n אינו ריבוע שלם הרי שבכל זוג כזה שני מחלקים שונים וכל מחלק מצוי בזוג אחד בלבד ולכן מספר המחלקים זוגי. אם n ריבועי הרי שקיים מחלק יחיד (השורש שלו) הנמצא בזוג עם עצמו ולכן יש מספר אי זוגי של מחלקים. דניאל ב. 13:05, 14 בספטמבר 2010 (IST)

אפשר גם להסיק את זה ישירות מהנוסחה למספר המחלקים של n. אם $n=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$ הוא הפירוק של n לגורמים ראשוניים ו-$\ d(n)$ הוא מספר המחלקים של n אז: $\ d(n)=\prod _{i=1}^{r}(k_{i}+1)$ (מספר המחלקים שווה למכפלת עוקבי המעריכים של הראשוניים). מכפלה היא מספר אי זוגי אם ורק אם כל הגורמים אי זוגיים ולפי הנוסחה זה קורה רק כאשר כל המעריכים של הראשוניים זוגיים שזה בדיוק שקול לכך ש-n ריבועי (השורש של n הוא פשוט אותה מכפלה של ראשוניים עם מעריכים קטנים פי 2). דניאל ב. 13:22, 14 בספטמבר 2010 (IST)

חזק!!! חיפשתי את זה 3 ימים ברשת ולא מצאתי כלום!. טוב לדעת שיש תמיד לאן לפנות. תודה.

i בחזקת מספר מדומה

בהמשך למה שכתבתי בשיחה:מספר מדומה#i בחזקת מספר מדומה, אני חושב שהמשפט "פעולת ההעלאה של היחידה המרוכבת i בחזקת מספר מדומה היא תמיד ממשית" אינו נכון. במקרה הטוב יש אינסוף ערכים לביטוי i בחזקת ia. במקרה הפחות טוב חלק מהערכים הנ"ל הם לא ממשיים. מישהו יודע? אורי אבן-חן - שיחה 02:44, 16 בספטמבר 2010 (IST)

מגדירים $\ x^{y}=e^{y\log(x)}$; הפונקציה $\ z\mapsto e^{z}$ מוגדרת היטב, אבל פונקציית הלוגריתם אינה כזו. התוצאה היא שאם y אינו שלם (ממשי), תוצאת החזקה תלויה בענף שבו בחרת כדי להגדיר את הלוגריתם. עם זאת, יש ללוגריתם ענף מקובל, המוגדר היטב בכל מקום פרט למספרים הממשיים השליליים (לרבות אפס), ואם משתמשים בהגדרה לפיו, הטענה שאתה מצטט נכונה. עוזי ו. - שיחה 09:38, 16 בספטמבר 2010 (IST)

וקצת מתמטיקה

ושאלה נוספת: אני יודע ששטח הפנים של כדור הוא הקטן ביותר מכל הגופים בעלי נפח זהה, אבל השאלה היא איך מוכיחים את זה? ואם יש ערך בויקיפדיה שם אפשר לראות הוכחה? תודה, אורי אבן-חן - שיחה 15:45, 26 בספטמבר 2010 (IST)

לא ראיתי הוכחה שכזו, אבל אני משער שאפשר להוכיח את זה על-ידי כתיבת פונקציונל מתאים ושימוש במשוואת אוילר לגראנז'. ירון • שיחה 17:01, 26 בספטמבר 2010 (IST)

ההיסטוריה של המתמטיקה (והפיזיקה) מכירה סדרה של בעיות מהסוג הזה - מהו העקום (או המשטח) הטוב ביותר (או הגרוע ביותר) העונה על אילוצים מסויימים; ראה למשל בעיית הברכיסטוכרון, עקום השרשרת או בעיית פלטו. עד סוף המאה ה-17, הפתרון של כל אחת ואחת מהן דרש המצאה גאומטרית מחוכמת, ונחשב להישג מרשים. חשבון הוריאציות (שהתפתח על בסיס החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי) סיפק בסופו של דבר פתרון אחיד לכל הבעיות האלה, ואני מניח שלא קשה לפתור במסגרתו גם את השאלה שלך. עדיין, כשאפשר למצוא פתרון גאומטרי ישיר, יש בו עניין בפני עצמו, משום שהוא מספק תובנות שקשה לראות בפתרון האנליטי. (מאידך, השיטות הגאומטריות בדרך כלל אינן יודעות להוכיח ש*קיים* משטח אופטימלי, אלא רק ש*אם* הוא קיים, הוא מוכרח להיות כזה וכזה).

פתרון גאומטרי מפורט לשאלה על השטח הקטן ביותר העוטף נפח נתון - אפשר למצוא ב"100 Great Problems of Elementary Mathematics" של Heinrich Dorrie: זו הבעיה האחרונה בספר, והיא מיוחסת ליעקב שטיינר (1796-1863) (אולי מישהו ירצה לכתוב על בעיית הספרה של שטיינר). קצת מפתיע שהבעיה הזו לא נשאלה לפניו; אולי המתמטיקאים היווניים, שהחשיבו את הכדור לצורה מושלמת, חשבו שהתכונה הזו שלו מובנת מאליה? הפתרון די מסובך, ולא אנסה לצטט אותו כאן.

(לו היית שואל על מעגל - שהוא העקום הקצר ביותר המקיף שטח נתון - הייתי יכול להציע נימוק גאומטרי פשוט ומשכנע. ראה גם אי-שוויון איזופרימטרי, העוסק בבעיית המעגל ומתעלם, למרות כותרת שעשויה בהקשר זה להטעות, מבעיית הספירה). עוזי ו. - שיחה 17:07, 26 בספטמבר 2010 (IST)

הבעיה הראשונה בספר של Dorrie היא בעיית הבקר של ארכימדס, המוזכרת בערך מספרים גדולים, וראויה לערך משלה. הבעיה ה-23 זכתה לערך משלה, המשפט היסודי של האלגברה, שראוי להרחבה לפי ספרו של .Dorrie אני משער שעוד רבות מ-100 הבעיות שבספר ראויות להופיע בוויקיפדיה, כערכים עצמאיים או כסעיף בערך רחב יותר. כעת רק חסר הוויקיפד שיטפל במשימה נכבדה זו. דוד שי - שיחה 23:32, 26 בספטמבר 2010 (IST)

תודה על כל התשובות. וכן, אני מתעניין גם במקרה הכללי של כדור ב-n ממדים, שהמעגל הוא מקרה פרטי שלו ב-2 ממדים. אורי אבן-חן - שיחה 00:24, 27 בספטמבר 2010 (IST)

כפתרון אמפירי אפשר להתייחס לבועות סבון שצורתן נקבעת ממתח הפנים ששואף לבצע מינימליזציה של שטח הפנים ביחס לנפח הפנימי. Amirber - שיחה 00:42, 2 באוקטובר 2010 (IST)