משתמש:Avneref/מדע/אצבע גלילאו

קישור ישיר אל כותרת (כלשהי) בערך הנוכחי בלבד: #אנטרופיה

פיטר אטקינס: מתוך "אצבע גלילאו", עשרת הרעיונות הגדולים של המדע. עריכה מדוייקת וממצה!

הקדמה

פרימן דייסון: הבחין בין מדע מונע-מושגים ל-מונע-מכשירים (מדע שימושי). כנראה בעקבות פרנסיס בייקון, שהבחין בין: רעיונות נושאי פירות (fructifera), לבין מחוללי הארה (lucifera).

אבולוציה

• אנכסימנדרוס ממילטוס (מאה 6 לפה"ס) יחד עם תאלס ואנכסימנס שיער שבעלי חיים יכולים לעבור גלגולים של התפתחות.
  • משתמש:Avneref/מדע/דן גראור#מאפיינים: אמפדוקלס , המאה ה-5 לפנה"ס
• ראיה חזקה (ברמה ניסויית) לאבולוציה: התאמה בין אבולוציה מאקרוסקופית לבין מולקולרית. עוד
  • טעויות תכנון, כמו עין היונקים, שם כלי הדם (אלומת אקסונים??) הם בחזית הרשתית, ויוצאים דרך חור - הכתם העיוור.
  • גנים מדומים: [4]?

- עש שהסתגל להשחרה של גזעי עצים כתוצאה מפיח באויר באנגליה: Biston betularia

DNA

משתמש:Avneref/מדע/דן גראור

אנרגיה

• אריסטו ("מדע-כורסה"): גוף צריך כוח כדי להתמיד בתנועה קבועה; חץ באויר נדחף ע"י מערבולות אויר (האמת, ההיפך: כוח דרוש להתנגברות על חיכוך, ובריק אין צורך בכוח; הוא הגזים בחשיבות השפעות חיצוניות); "תורת הגלגלים"; למרות גאונותו ושאיפתו לחקור, אריסטו תקע את המדע ל-2000 שנה.
• אייזק ניוטון מת בשנה (לפי הלוח היוליאני) שבה נולד גלילאו גליליי; לחובבי סמליות: "העביר את השרביט".
• אנרגיה (ἐνέργεια: "בעבודה"): מושג לא קיים אצל ניוטון. הוצע לראשונה: תומאס יאנג (לא מוזכרת!), 1807: "מכפלת מסה או משקל, במהירות בריבוע". בתחילת המאה ה-19, הייתה רק בספרות. בדיוק באמצעהּ הפכה לפיזיקלית: ויליאם תומסון ב-1846: "הפיזיקה היא מדע הכוח"; ב-1851: "האנרגיה היא העקרון הראשוני".
• המטבע העובר לסוחר של הנהלת חשבונות הקוסמית; יש רק 2 סוגי אנרגיה:
  • אנרגיה קינטית: בעבר, "אנרגיה בפועל", לייבניץ טבע את: "הכוח החי" (vis viva); פרדוקסלית, ככל שיש לכדור תותח יותר כוח חי - יכול לזרוע יותר מוות.
  • אנרגיה פוטנציאלית ("בכוח"): מונח מאת ויליאם ג'ון מקורן רנקין (לא מוזכר!), 1853; ממיסדי תורת האנרגיה.
  • חשמלית: פוטנציאלית של אלקטרונים, בסביבת מטענים חיוביים. כימית: מסובכת יותר, אבל גם היא פוטנציאלית וקינטית. גרעינית: פעולות בין חלקיקים תת-אטומיים. יוצאת דופן: קרינה אלקטרומגנטית
• חום: אופן להעברת אנרגיה המנצל הפרש טמפרטורות; ולא: אנרגיה של חום (שלא קיימת - יש רק פוטנציאלית או קינטית, ושילוב שלהן). המונח הנכון: חימום, שמעורר תנועה תרמית אקראית לא-סדירה. התנועה התרמית אינה חום! קל להפיק אנרגיה בצורת חום, קשה להפיק אנרגיה בצורת עבודה, כי עבודה צריכה להופיע כתנועה סדורה של אטומים (באותו כיוון).

אנטרופיה

כל שינוי הוא קריסה אל אי-סדר.

• מנוע קיטור סימל את העושר של אנגליה. בנוסף - הוא מודל כללי להמרה של חום לעבודה.
• סאדי קרנו (צוער באקול פוליטכניק); למרות טעות של כולם שהחום הוא נוזל (קלוריק, שהציע אנטואן לבואזיה), הוכיח בספרון Réflexions sur la puissance motrice du feu (et sur les machines propres à développer cette puissance שיעילות של מנוע חום אידיאלי (כולל מנוע וטורבינת קיטור, מנוע בעירה פנימית וסילון), הוא כהפרש הטמפרטורות בין שני המאגרים, החם והקר (הסבר: במנוע קרנו). המסקנה נראתה מגוחכת ונזנחה, עד שויליאם תומסון (הלורד קלווין) קרא את והבין; אז כבר ידעו, שלא קלוריק נשמר וזורם אלא האנרגיה, שחום ועבודה הם צורות שלה, ושהמנוע רק ממיר את החום.
• הגדרות (שקולות) לעיקרון התרמודינמיקה:
  • קלווין: מנוע לא יכול לפעול זמן ארוך ללא מאגר קר (למעשה: לא ייתכן תהליך מחזורי שתוצאתו היחידה היא המרה של כל החום לעבודה).
  • רודולף קלאוזיוס, במאמרו Über die bewegende Kraft der Wärme (הכוח המניע): חום לא זורם מגוף קר לגוף חם (כלומר, במערכת סגורה, ללא עבודה חיצונית; במקרר זה כן קורה). הוא טבע את אנטרופיה, שהיא מדד ל"איכות" של אנרגיה [אנלוגיה: ספרים (האנרגיה) בספריה מסודרת: אנטרופיה גבוהה]. קבע שהשינוי באנתרופיה = היחס בין האנרגיה הנמסרת כחום, לבין הטמפרטורה שבה זה קורה. הוא הבחין, שההגדרות שקולות, והגדיר אותן: אנטרופיה לעולם אינה קטנה (למעשה: אנטרופיה של מערכת מבודדת גדלה בכל שינוי ספונטני). ניסח את החוק הראשון והשני בקיצור: Die Energie der Welt ist konstant; Die Entropie der Welt strebt einem Maximum zu.
• לכן, קלווין: הרכיב החיוני ביותר במנוע הוא המאגר הקר שלו; הסבר 1: בכל מנוע חום, חום נלקח ממאגר חם (ירידה קטנה באנטרופיה, בגלל שהוא חם), חלק ממנו הופך לעבודה (אין שינוי באנטרופיה), וחלק זורם למאגר קר (עליה גדולה באנטרופיה, בגלל הקור); סה"כ: עליה באנטרופיה, בזכות המאגר הקר. בלעדיו המנוע ייעצר. לכן גם, ככל שההפרש גדול יותר: המאגר הקר קר יותר, דרושה פחות אנרגיה מבוזבזת כדי שתעבור כחום למאגר הקר, ושעדיין העליה באנטרופיה שם תהיה לפחות כירידה במאגר החם, ולכן המנוע יעיל יותר.
• לודוויג בולצמן, חקוק על מצבתו: אנטרופיה = קבוע × הלוגריתם של מספר הסידורים האטומיים האפשריים.
• כל תהליך בניה, כרוך בפיזור אנרגיה לסביבה (שמשמשת כמאגר קר): בניה של חומה דורשת עבודה, שמופקת ממכונה (כולל שרירים), תוך פיזור אנרגיה לאויר. גם מנוע חשמלי, ואפילו אידיאלי: הפיזור קורה בתחנת הכוח.
• שריפה של דלק: למשל, הפחמימן (מסוג אלקאן) הקסדקן, $\mathrm {C_{16}H_{34}}$, נמצא בסולר (וגם בשומן חי, שם משמש כסיכה לשרירים, בידוד ומאגר דלק); חמצן תוקף את הפחמימן, מפרק אותו למולקולות פשוטות יותר (עם פחות אנרגיה, וקשרים חזקים יותר): מימן, פחמן דו-חמצני, ומים. אנרגיה משתחררת לסביבה כחום, ולמולקולות המפוזרות יש פחות ודאות באשר למקומן - שני התהליכים מקטינים אנטרופיה.
• בגוף האדם, אלפי צורות של "מנוע קיטור"; למשל: אדנוזין תלת-זרחתי ATP, מולקולה ארוכה עם חלק אורגני ועם זנב שהוא קבוצה של זרחות (יונים של זרחן מוקף ב-4 אטומי חמצן). כשדרושה אנרגיה (כדי לבנות חלבון או להעברת דחף עצבי), אנזים גורם לשחרור זרחה אחת, וה-ATP הופך לאדנוזין דו-זרחתי ADP, שמשמש כמאגר קר (פיזורו מגדיל את האנטרופיה). כדי שה-ATP לא ייגמר, דרוש מנוע חזק יותר, שיוצר מחדש ATP מ-ADP. האנרגיה הדרושה מגיעה ממזון שאנחנו אוכלים, שהאנרגיה שבו נוצרה ע"י מנוע חזק עוד יותר: פוטוסינתזה. אנשי-קדם צדקו כשסגדו לשמש כמקור החיים; הם רק לא הבינו שהיא הכוח המניע את הדעיכה האוניברסלית. החיים הם התרוצצות של מולקולות, שלעיתים קורה שיש להן צורה מתאימה ל"גומחה", והן משחררות מטענן. החיים יצאו לדרך מפני שההתרוצצות עיוורת, בלתי מודעת, בלתי מכוונת נתנה הזדמנות לברירה טבעית לבנות מרקם עצום של פעילויות, שאנחנו מכנים "לחיות".
• ב-1995 הראה טד ג'ייקובסון שאם מצרפים את הביטוי של קלאוזיוס, אל הקשר שבין אנטרופיה לשטח הפנים של התחום (שניהם מתכונתיים, כמו בחור שחור), אז המרחב-זמן המקומי מתעוות בדיוק לפי תורת היחסות הכללית. במובן מתמטי צרוף, החוק השני מרמז על קיומן של משוואות היחסות הכללית!

אטומים

גילוי היסודות

• הגדרה של אנטואן לבואזיה (שמת בגיליוטינה), יסוד: "כל החומרים שטרם הצלחנו לפרק בשום דרך"
• הניג ברנד קיווה להפיק זהב מחול ומשתן אנושי. הוא הפיק מהם זרחן, אחרי שייבש דליים של שתן, הרתיח והניח לעיסה לתסוס, ערבב עם חול, חימם ואסף את האדים שיצאו. החומר זהר באויר, ולכן חשבו שאפשר לרפא איתו מחלות.
• האמפרי דייווי חיבר זוג אלקטרודה לכל מה שזז בהמכון המלכותי של בריטניה הגדולה, וגילה בשבוע אחד ב-1807 את האשלגן באלקטרוליזה של אשלגן חנקתי; ואת הנתרן מסודה לכביסה. בסך הכל גילה גם את הסידן, מגנזיום, סטרונציום ובריום. האלקטרוליזה העלתה את מספר היסודות הידועים מ-33 ל-49.
• ינס יאקוב ברצליוס משוודיה גילה את הצריום, סלניום ותוריום. הנהיג את הסימונים המקובלים היום, במקום סימוניו המוזרים של ג'ון דלטון; הדבר גרם לדלטון לשבץ מוחי ראשון, מתוך 2.

אחרים

• פתרונות של משוואת שרדינגר לאלקטרון באטום המימן; "קליפות" (נקראות כך כי בכל המצבים יש התפלגויות של הסתברות סביב המרכז) של מצבי-אנרגיה (בכל קליפה, לכל המצבים אנרגיה זהה), שבכל קליפה יותר מצבים זמינים: בקליפה 1, אורביטל s יחיד; בקליפה 2, s אחד ו-3 p; בקליפה 3, s אחד, 3 p ו-5 d; וכן הלאה. ב-s הסימטריה כדורית, לכן לאלקטרונים ב-s אין תנע זויתי, והם יכולים להימצא גם בגרעין. ב-p,d,f הסימטריה לא-כדורית, ולכן התנע שונה מ-0.
• שלשות דבריינר

סימטריה

• מתורת החבורות, סימטריה במימדים שונים:
  • מישורית: יש רק 5 דוגמאות של אפריז; יש בדיוק 17 צירופים של דוגמאות טפט.
  • מרחבית: יש 7 תאי-יחידה, ו-14 סוגים של סידורים שלהם במרחב. יש בדיוק 230 סידורים של קופסות-גפרורים (וגם אטומים) במרחב; הסידור קובע את התכונות המכניות (למשל: קשיות, בגלל מישורי-החלקה), אופטיות וחשמליות של חומרים. למשל: מתכות בסידור שישני (סוג אחד של מישורי-החלקה), כמו אבץ: פריכות; בסידור קובי (8 סוגים), נחושת וברזל: חשילות.
  • ב-4 ממדים: יש 4,783 סידורים.
• חוק שימור: לכאורה תובנה משעממת; למעשה עמוקה מאד. מבטאת את הסימטריה של היקום. שימור התנע הקוי = המרחב אחיד בכל מקום (הומוגני), תנע זוויתי = בכל הכיוונים (איזוטרופי). שימור התנע מובלע בהחוק השלישי); מהחוק השני ניתן להוכיח חוק שימור האנרגיה.
  • הקשר בין חוקי שימור לסימטריה כה עמוק, שהם שורדים גם במקום שחוקי ניוטון אובדים: בתורת היחסות ובמכניקת הקוונטים.
  • משפט נתר היסודי בפיזיקה תאורטית: בכל מקום שיש סימטריה, יש חוק שימור מתאים.
• אנרגיה פוטנציאלית חשמלית: סימטריה כדורית; ייתכן שקיים סיבוב ב-4 ממדים, שממיר אורביטל s לאורביטל p, ולכן יש להם אותה אנרגיה.
• הדחיה החשמלית בין אלקטרונים גורמת לשינויים באנרגיה, ולכך שלאורביטל s אנרגיה נמוכה מל-p. מכאן מתקבלת הטבלה המחזורית.
  • הכימיה, בשורשה, היא ייצוג של סימטריה ושבירתה, אובדנה של סימטריה מושלמת המעניקה לכל יסוד את אישיותו.
• אורביטל הוא מקרה מיוחד של פונקצית-גל. עקרון האיסור של פאולי נובע מכך שפונקציות הגל של פרמיוןים יכולות להחליף סימן מבלי שנרגיש (בגלל שההסתברות היא בריבוע); פאולי גילה שפרטים בקרינה שנפלטת מאטומים, מוסברים רק אם הפונקציה מחליפה סימן כששני אלקטרונים מתחלפים. כלומר, הפונקציה חייבת להיות אנטי-סימטרית ביחס להחלפה של אלקטרונים (חלק ממשפט ספין-סטטיסטיקה).
• סימטריה בין פרוטון לנייטרון: אלה נוקליאונים, חלקיקים זהים פרט לאיזוספין , תכונה מקבילה לספין) שלהם. איזוספין בכיוון השעון מתאים למטען "דלוק" - פרוטון. הסימטריה ביניהם לא מושלמת, היא שבורה בגלל פעולות גומלין עם שדה אלקטרומגנטי, ולכן יש הבדל קטן באנרגיה-במסה.
• האטומים פוצלו לראשונה: 1897; הגרעינים: 1919.
• איחוד כוחות:
  • ג'יימס קלרק מקסוול איחד את הכוחות החשמלי והמגנטי (1864), התבסס על עבודתו הניסויית של מייקל פאראדיי, כנראה הנסיין הטוב מעולם, אבל מתמטיקאי חלש. בוזון כיול: פוטון, "צרור של אנרגיה אלקטרומגנטית", הוצע ע"י אלברט איינשטיין (das Lichtquant) ב-1905; שמו ניתן ע"י גילברט ניוטון לואיס (פוס: אור ביוונית), 1916 (או 1926?).
    • עמ' 230: פוטונים חסרי מסה=מרחק גדול.
  • הכוח השלישי, הכבידה: בוזון: גרביטון, מחפשים אבל הוא חלש מדי. בעל ספין 2; "סדרה של טיעונים שנונים מקשרים זאת עם מחזור גאות ושפל, 4 פעמים ביום".
  • הכוח הגרעיני החזק: מקזז את דחיית הפרוטונים, ומחזיק נייטרונים. טווח שיורי (בקיזוז דחיות הקוורקים?) קצר מאד, בערך קוטר הגרעין. בוזון: גלואון. הכוח האמיתי, זה בין הקוורקים, דווקא מתחזק עם המרחק, ולכן הטווח אינסופי. מתקיים כפעולות-גומלין בין האדרוןים.
  • הכוח הגרעיני החלש: מסביר התפרקויות רדיואקטיביות מסוימות. מפרק נייטרון לפרוטון ולאלקטרון. האחרון נפלט כקרינת בטא. בוזונים וקטוריים או בוזוני W ו-Z. אוחד עם הכוח הראשון להכוח האלקטרו-חלש.
• דרך השמונה (בין ההוגים: יובל נאמן), מעין טבלה מחזורית של האדרונים, בה הם מסווגים תוך שימוש בחבורה מיוחדת של פעולות סימטריה: ציר האיזוספין, על ציר ה"מטען-על".
• בהמודל הסטנדרטי, יש 3 משפחות (דורות) האדרונים, ומקבילות להן 3 משפחות של לפטוןים. כמעט כל החומר מורכב מהמשפחה ה-1; שתי האחרות בעלות מסה רבה יותר, ויוצרות חומר אקזוטי יותר.
• קווארק: הכוח החזק ביניהם גדל עם המרחק, ולכן הם לא יכולים להימלט למרחק ולהימצא לבד (התופעה נקראת כרומודינמיקה קוונטית#כליאה). לכן, אי-מציאתם (העובדה שהם לא מתגלים לבד) מהווה ראיה לקיומם!

קוונטים

מעולם לא נוצרה תאוריה שחוללה תדהמה, נבחנה באינטנסיביות, הוכחה בדיוק רב כזה, ולא נמצא לה חריג אחד. גם אחרי דיונים של 100 שנה, לא מבינים את משמעותה.

• דימוי: "נגיף" שחדר לפיזיקה קלאסית בסוף המאה ה-19, עם מדידת הקרינה של גוף לוהט; כירסם ותוך כמה עשורים הרס אותה.
  • יוזף סטפן גילה ב-1879 שעוצמת הקרינה (השטף, ההספק לשטח) תלויה בטמפרטורה ברביעית, חוק סטפן בולצמן: $\ S=\sigma T^{4}=\int _{0}^{\infty }{S_{f}\ df}$. מאוחר יותר פיתח פלאנק את הנוסחה ל-$\ S_{f}$, השטף כתלות בתדירות: התפלגות פלאנק.
  • וילהלם וין גילה ב-1896 את חוק וין באופן אמפירי: $\lambda _{\mathrm {max} }={\frac {2.898\times 10^{6}(=const)}{T}}$ ; ככל שטמפרטורת הגוף גבוהה, כך מתקצר אורך הגל ("ההסחה של וין") של הקרינה המרבית .
• הלורד קלווין בהרצאה למכון המלכותי (27.4.1900) תיאר הכישלון להסביר הבעיות כ"אחת משתי עננות קלות בשמי הפיזיקה". העננות הפכו לסערה, שמחקה את הפיזיקה הקלאסית יחד עם כל ההבנה של המציאות. מקס פלאנק, מוטרד ובאי-רצון, פיתח את החוק המוזר שלו:

$\ S_{f}={\frac {c}{4\pi }}u_{f}={\frac {2f^{3}}{c^{2}}}{\frac {h}{e^{hf/k_{B}T}-1}}$ מכך נובע: האנרגיה של כל מתנד הרמוני (אפילו מטוטלת) היא כפולה שלמה של התדירות בקבוע פלנק. הקבוע החדש קטן כל כך, שבמאקרו לא ניתן להבחין בהבדלי האנרגיה (שבמטוטלת: קפיצות במשרעת).

אח"כ בילה שבועות קשים למצוא בסיס עיוני לחוק, ואז בהרצאה ב-14.12.1900 מול ה-DPG, ייסד את מכניקת הקוונטים.

חוק סטפן-בולצמן מתקבלי ממנו ע"י גזירה; וחוק וין - ע"י אינטגרל (?).

• דימוי: התאוריה הגלית של האור היא דרקון מפחיד, כל המאה ה-19 היו בטוחים בה. אמנם ניוטון קבע שהאור חלקיקי, ואפילו לפלס תמך. אבל ראיות שהצטברו ביטלו זאת; בעיקר: העקיפה, שגילה לאונרדו דה וינצ'י. הנגיף חדר מהקרינה לחומר: איינשטיין הסביר את בעיית קיבול חום (חשבו שלכל החומרים אותו קיבול, מה שלא הסתדר בטמפרטורות נמוכות) ע"י אותו רעיון: המולוקולות מתנדנדות בתדירויות קוונטיות; ומשם חדר ללב החלקיק, והרס את מודל האטום של בוהר.

האפקט הפוטואלקטרי

הרץ גילה, שאור על-סגול על מתכת גורם ליותר התפרקות חשמלית סביבה, עדות ליותר אלקטרונים. פיליפ לנארד הנאצי וג' ג' תומסון חקרו זאת (וגם סטפן ו-וין?) וגילו: מספרם תלוי רק בעוצמת האור; מהירותם תלויה רק בתדירות האור, לא בעוצמה; לכל מתכת יש תדירות-סף לפליטה, ללא קשר לעוצמת האור; הפליטה מיידית ללא השהיה, גם בעוצמה נמוכה. לא ניתן להסביר זאת בתאוריה הגלית מפיזיקה קלאסית, שנובעת ממשוואות מקסוול: האנרגיה אמורה להיתלות בעוצמה, לא בתדירות; אין תדירות סף; דרוש זמן למתכת להתחמם כדי לפלוט.

• פלאנק שיער (בהסבר לגוף שחור) שהאור בא במנות; איינשטיין הוסיף: פוטוןים, מסבירים את כל הבעיות.
• היו שחשבו שהאור חלקיקי (היוונים ללא כל ניסוי, וניוטון) אבל איש לא חשב שהחומר גלי... אופטיקה גאומטרית קובעת התקדמות האור במסלול שזמן המעבר הוא הקצר, או: שמרחק אופטי שלו הקטן ביותר - עקרון הזמן המזערי. בעיה: איך האור "יודע" מהו המסלול הקצר. תאורית הגלים: האור עובר בכל המסלולים, ורק באחד יש התאבכות בונה של הגלים במסלולים סמוכים לו. בגבול שאורכי הגל קטנים ל-0, נשארים רק קווים ישרים (?), אז קטגוריה:אופטיקה פיזיקלית מתכנסת לאופטיקה גאומטרית.
  • מופרטואי קבע גודל "פעולה" (action גם בצרפתית), שחייב להיות מינימלי (עקרון המילטון). מניעו היה תאולוגי: בחיבור (Essai de Cosmologie) הוא כתב שהשלמות של הישות האלוהית מחייבת מאמץ מזערי בכל פעולה. היום התברר, שמותר גם עפולה מירבית, לכן זה נקרא "עקרון הפעולה הסטציונרית." אוילר ובסוף לגרנז' שכללו אותו. לואי דה ברויי התרשם מהיופי, וקבע שלכל חלקיק יש גל, לפי:

$\lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{\gamma mv}}={\frac {h}{mv}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ . דייויסון ותומסון הבן הראו שאלקטרון מבצע עקיפה, ומאז (1999) נצפתה עקיפה אפילו של מאקרו-מולקולות. גליות האלקטרונים מסבירה את רדיוסיהם במודל האטום של בוהר: מותרים רק מסלולים בהיקף שהוא כפולה שלמה של אורך הגל, וכך אין להם התאבכות הורסת.

שקילות

• ורנר הייזנברג פיתח את מכניקת המטריצות , וארווין שרדינגר, את מכניקת הגלים (משוואת שרדינגר); אח"כ התברר שהן שקולות, ונקראות מאז מכניקת הקוונטים.
• מקס בורן ופסקואל יורדן (ג'ורדן) מצאו דרך לשלב את הקשר תנע-מקום של הייזנברג בתורת הקוונטים. שרדינגר מצא דרך אחרת. השיקול איך הגל "יגשש את דרכו" במסלולים האפשריים במרחב, מוביל למשוואת שרדינגר, שמשתמשת באותו קשר תנע-מקום. לכן: התוצאות שקולות. פתרון הוא פונקצית-הגל. המשוואה אומרת: h בריבוע כפול מידת-עיקום-פונקצית-הגל, חלקי המסה, שווה להפרש האנרגיה הפוטנציאלית והקינטית, כפול הפונקציה. משמעות הפונקציה: בורן הבחין שבמונחים קלאסיים, עוצמת האור מתכונתית לריבוע הגל האלקטרומגנטי; ובמונחים קוונטיים, העוצמה מתכונתית לסיכוי למצוא פוטון בתוך תחום במרחב.
• ככלל, המשוואה מראה היכן העיקום: עיקום גדול=אנרגיה גבוהה. למשל, מטוטלת מתמטית: שיא העיקום של הגל במרכז, ומיעוט העיקום בקצוות – אבל שם ערך הפונקציה הגדול ביותר. בנוסף, הגל מתנודד בזמן בתדירות מתכונתית לאנרגיה (איור 7.9); אבל, הסיכוי לא מתאפס כשהגל מתאפס (בזמן), כי הגל מרוכב: כשהממשי מתאפס, הדמיוני הוא בשיא.
• הפונקציה של חלקיק חופשי (למשל: חרוז מחליק על חוט) פשוטה: סינוס שתדירותו תלויה בתנע; בקלאסית, הסיכוי למצוא חרוז בתחום כלשהו אחיד, בקוונטית לא; אם יודעים את התנע בוודאות (= יש תדירות אחת מדויקת), פרט לכיוון – מאד לא יודעים את המקום, כך שיש תחומים שהסיכוי גבוה יותר, לסירוגין; אם ידוע המקום בוודאות גבוהה, לגל יש שיא חד במרכז התחום (כמו לקול חבטה), לכן יש לו תדירויות רבות והוא סכום של חבילת גלים (ששיאיהם מתחברים כמעט רק במרכז).
• חרוז על חוט משופע: הפונקציה עולה בתדירות במורד החוט.
• חרוז על חוט המוגבל משני צדדיו: זה אילוץ תנאי-שפה לשרדינגר, שקובע שרק גלים עם אורכי-גל מסוימים (אלה שאורך החוט הוא מכפלה חצי-שלמה שלהם – ½, 1, 1.5, 2...) הם פתרונות אפשריים; אורך הגל קובע את האנרגיה, ומכאן: היא חייבת להיות מקוונטת (כפי שהציעו לראשונה איינשטיין ופלנק – כאן זה נובע מהמשוואה).

לא ברור: עמ' 283 (פונקצית הגל של מטוטלת, כחבילת גלים באנרגיות רבות: $E_{n}=f\cdot h\cdot n$, שרק אחת מהן: $n={1 \over h}$, מתאימה ל-$f\cdot 1$).

עקרון האי-ודאות

זו המקבילה של הליכה לאיבוד: או שיודעים היכן נמצאים אבל לא לאן הולכים, או שלהיפך. בכל מדידה של: תנע, מקום, יש אי-ודאות $\Delta p,\Delta x$. בהנחה שלחלקיק יש "תנע אמיתי" p, ו"מקום אמיתי" x, מודדים תנע, ומקום: $p_{1}=p+\Delta p,x_{1}=x+\Delta x$; מחשבים את המכפלה: p·x, וההפרש בין המכפלה ה"אמיתית" לבין הנמדדת: $p_{1}\cdot x_{1}-p\cdot x=(p+\Delta p)(x+\Delta x)-p\cdot x=p\cdot \Delta x+x\cdot \Delta p+\Delta p\cdot \Delta x>\Delta p\cdot \Delta x>=h$ . כלומר, תמיד יהיה הפרש בין הנמדד לבין האמיתי, ולא פחות מ-h (יותר נכון: ${\frac {i\cdot h}{2\pi }}$).

יש תפיסה שגויה, שהעיקרון מבטא מגבלה על הבנת המציאות. אטקינס: הייזנברג שגה בפירוש העיקרון שלו; המכניקה החדשה פשוטה יותר! תיאור של חלקיק מבחינת המקום וגם התנע – הוא יותר-משלם. תיאור מקום בלבד, או תנע בלבד – שלם מספיק. פרשנות זו מתאימה לעיקרון המשלימות של בוהר, שכנראה נלקח מ"עקרונות הפסיכולוגיה" של ויליאם ג'יימס. בוהר שילב זאת בסמל שלו: Contraria sunt complementa, וניסה להשליך על סוציולוגיה וספרות (וכך זה הידרדר). זהו חלק מפרשנות קופנהגן (שגויה לדעת אטקינס), של בוהר (וגם הייזנברג: ראה במכניקת הקוונטים לא תיאור של מציאות ממשית, אלא רק מודל מקשר בין תופעות), שכוללת גם פוזיטיביזם: המציאות נתפסת רק במדידות במכשור קלאסי: מכשיר שתוכנן למדוד חלקיק יתפוס רק חלקיק; ולהיפך. המדידה: "הצגה של תכונה קוונטית כפלט של התקן מאקרוסקופי, שאנו יכולים לקרוא" היא הרכיב המרכזי שעליו יש מחלוקת. הפרשנות טוענת שמכניקת הקוונטים לא דטרמיניסטית, כי לא ניתן לדעת בוודאות. במדידה, מתרחשת קריסת פונקציית הגל, מצורה של הסתברות בכל המרחב, ומרבית במרכז – ל"פיק" אינסופי ואפס מסביבו.

החתול של שרדינגר

(עריכה שלי.) ניסוי מחשבתי, Gedanken Experiment. ה"פרשנות" תקפה רק לעולם המיקרוסקופי. במאקרו, החתול קורס למצב שלו ברגע פתיחת התיבה. שרדינגר הציע את הניסוי כדי להמחיש את האבסורד. איינשטיין הציע: תאוריות משתנים חבויים שמשפיעים, והמכניקה לא מסבירה. ג'ון סטיוארט בל הוכיח (בהברקה, 1964) את משפט בל, שמשתנים חבויים מקומיים סותרים את מכניקת הקוונטים (אם כי משתנים מרוחקים – לא), ואפשר לבדוק בניסוי מי צודק. כל הניסויים שנעשו, בתחכום עולה, התיישבו עם המכניקה ולא עם המשתנים.

כדי לפתור את הסיבתיות, הציע יו אוורט את פירוש העולמות המרובים (יש שהציעו: הדיבורים המרובים" כי יש עליו פרשנויות רבות, וסותרות). יש רק דרך אחת לבדוק בניסוי, אך זה מחייב את התאבדות הצופה, ולכן הוא לא נערך...

אטקינס: אין קריסה, אין משתנים, והפתרון כנראה בדקוהרנציה. זה קורה ב"מגבר דחיפות", שבו החיכוך מאפשר להתייצב בשמאל או בימין. לא סגור.

קוסמולוגיה

• יוהאנס קפלר עדיין האמין שהכוכבים נמצאים בקליפה בעובי קילומטרים. עד סוף המאה ה-18 גדל היקום הנצפה לכ-6,000 שנות-אור. גדל יותר אחרי מגדל אייפל (לא בגלל גובהו, כמו שחשבו הטיטאנים שאפשר לחבר את הר פליון להר אוסה ; אלא כי את המעליות בנה ויליאם, שמימן כך את לימודי בנו, ג'ורג' הייל. ניהל את המצפה ע"ש צ'רלס שישב בכלא על מעילה, וביקש כך לקנות את מקומו. אביו סייע לבנות טלסקופ "60, ואח"כ נבנה של "100 (הגדול בעולם). הייל שכנע את האבל שלמד משפטים לעבוד איתו. בעזרת הנרות התקניים שמצאה הנרייטה ליוויט, גילה האבל שהמרחק לאנדרומדה הוא 2 מיליון שנות אור – וקוטר שביל החלב הידוע היה 25 אלף. וסטו סלייפר גילה כבר ב-1912 שהגלקסיות בתנועה קבועה, ועד 1924 גילה 36 גלקסיות מתרחקות. האבל גילה עד 1929 יחס קבוע בין המרחק לבין המהירות; הוא קיבל ערך כזה גדול לקבוע האבל, שיצא שגיל היקום קטן מגיל כדה"א הידוע. "העיקרון הקוסמולוגי": מכל נקודה, נראה שכולם מתרחקים.
• פרד הויל ("המצב היציב"): "המפץ הגדול". פרדוקס אולברס: קפלר כבר הציע פתרון ב-1610, והיום: (1) גיל היקום סופי, לכן האור מגלקסיות רחוקות עדיין לא הגיע; (2) היקום עצמו התפשט, וגלי האור נמתחו לתחום של גלי-מ"מ, בטמפרטורה של 3 קלווין ("אור כוכבים עתיק"). קרינת הרקע הקוסמית, CMB: בדיוק קרינת גוף שחור בטמפ' 2.728 קלווין. אם מתחשבים בכל תנועות כדה"א, הקרינה שווה בכל הכיוונים, עד כדי 0.00001 . לכן המפץ הגדול מסביר אותה טוב יותר מכל תאוריה.
• ידועים הקשרים: קנ"מ היקום עם הזמן (לפי משוואות השדה של איינשטיין, ולפי הנחות על כמות החומר); קצב ההתפשטות (מתוך קבוע האבל); גודל היקום לפי הטמפרטורה (מקרינת גוף שחור: עוצמת הקרינה בכל תדירות לפי טמפרטורה; והגודל קובע את אורכי-הגל); ומצירופם: הטמפ' לפי הזמן. מכאן מוצאים איך השתנה החומר: בטמפ' גבוהות מאד כל החלקיקים מפורקים; אח"כ נקשרים רק בקשרים חזקים; בסוף נקשרים החלשים (דומה למטבח: בישול מפרק מולקולות לפשוטות, שקל לעכל והן יותר טעימות; הקפאה שומרת על קשרים לאורך זמן).

בראשית, מלפני כ-13.5 מיליארד שנה עד זמן-פלנק: $5.4\cdot 10^{-35}$ שנ', היקום היה בקוטר פלנק: $1.6\cdot 10^{-35}$ מ', ובטמפ' פלנק: $1.4\cdot 10^{23}$ מעלות, לא ברור מהם חוקי הפיזיקה; משערים שכל 3 הכוחות שווים בערך. בזמן פלנק נפרדה הכבידה, והאחרים: הכוח האלקטרו-חלש והכוח הגרעיני החזק נותרו שווים, מועברים ע"י בוזונים חסרי מסה, עוד 10 מיליארד זמני פלנק, עד $10^{-23}$ שנ'. אז נפרדו, וכעבור עוד $10^{30}$ טיקים, ב-$10^{-13}$ שנ', נצמדו (אולי בוזון היגסים) לבוזוני הכיול W, Z ונתנו להם מסה, הגבילו את טווחם והפרידו את הכוחות החלש והאלקטרומגנטי. רק בטמפ' $10^{16}$ קלוין נוצרו נוקליאונים. 3 דקות אח"כ ($10^{9}$ מעלות) הם נצמדו ויצרו דאוטריום והליום (23%), עם 77% מימן. שכיחות ההליום רגישה מאד למספר סוגי הניטרינו, ורק 4 מתאימים ל-23%. כיום ידועים 3. התאמה כזו בין המאקרו למיקרו - מרשימה. כל היקום עשוי פלזמה אטומה כי פוטונים לא יכולים לעבור מבלי להתנגש, להיבלע ולהיפלט (כמו בשמש), וכך חולפות 100 אלף שנה. ב-10 אלפי מעלות האלקטרונים נצמדים לגרעינים, לא מפזרים פוטונים והיקום מתבהר לגמרי.

היקום אינו חלק, ואחרי כמיליארד שנה התחילו להתקבץ אטומי מימן, להידחס ולהתחמם, עד היתוך גרעיני. החלה נוקליאוסינתזה כוכבית. היווצרות כוכבים: ענן גז יקרוס לכוכב אם מסתו לפחות מסת ג'ינס (תלוי גם בלחץ ובטמפרטורה). במקרה של מימן והליום, מסה זו היא כ-17 מסות שמש. בזמן הקריסה, הצפיפות גדלה וערך הסף קטן. ב-0.1 מסת שמש הכוכב לא יתחמם מספיק כדי ליצור תגובה גרעינית; מעל 90, לא יהיה יציב. לכן כל הכוכבים הפעילים נמצאים בין שני אלה. בסיום הנוקליאוסינתזה קורס הכוכב, מתפוצץ ומפזר בחלל את החומר ש"נאפה" ממימן. חלק מזה יהפוך לכוכב לכת.

אם היקום "סגור", אז נכון להתייחס כאילו כולו היה בנקודה סינגולרית אחת; אם לא (כמסתבר, לפי ראיות שמצטברות כיום) – אז היה כל היקום הנצפה, בגודל 15 מיליארד ש"א היה בנקודה אחת, אבל עדיין היה מרחב אינסופי מחוץ לה.

• היקום האינפלציוני, וילם דה סיטר; פותר חלק מ-5 בעיות של המפץ הגדול: מקור ההתפשטות, האופק, השטיחות, אין מונופול מגנטי, ומבנה בקנ"מ גדול.
• אחת מגרסאות האינפלציה: רב-יקומים, שכולם נמצאים בינינו כל הזמן (לא קריסה!)
• תורת המיתרים: מוזכרת רק בהקשר של 3 הממדים שרואים; מאד ספקולטיבית, אבל, מסבירה מדוע רואים רק 3: היא קובעת שיש 10 ממדים מרחביים ועוד זמן; מיתרים "מלופפים סביב עצמם", ואנטי-מיתרים מלופפים בכיוון ההפוך; מיתר ואנטי-מיתר שנפגשים מאיינים; הסיכוי לפגישה קיים רק ב-3 ממדים, לכן הם נשארים במצב "התרת כירבול"; אחרי זמן המפץ הגדול, 6 (7?) הממדים הנותרים נשארים לתמיד ללא "התרת כירבול".
• ב-1998 התגלה (ע"י סופרנובות Ia) שהתפשטות היקום כנראה מואצת ("jerk"), אולי כתוצאה מאנרגיית הריק, (אנרגיה אפלה ?) או הקבוע הקוסמולוגי שהציע איינשטיין בזמנו. אח"כ כינה אותה "הטעות החמורה של חיי" ‏, אבל: אם היא חוזרת, אז ההכרזה הזאת הייתה טעות חמורה עוד יותר... היום מכונה אנרגיה אפלה, או (במחווה לאריסטו), "היסוד החמישי" (quintessence).
• עתיד היקום – כנראה שטוח (הקבוע בדיוק בגודל הקריטי, לא ברור מדוע); השמש תסיים את האנרגיה בקרוב – 10^10 שנים, תתנפח לענק אדום שיכלול את מסלול הארץ; מהחיכוך הקל, ייתכן שהארץ תיפול ספירלית לתוך המרכז, או – שהשמש תפלוט חומר לחלל, מסתה תקטן – והארץ תברח החוצה. כל הכוכבים יכבו, אפילו חור שחורים ימותו אחרי זמן עצום: 10^100 שנים, יישארו רק קרינה, אלקטרונים ופוזיטרונים; גם הם יאיינו ויהפכו לקרינה, שתימתח לאורכי-גל אינסופיים, והיקום ייהפך לאין. מהאין המוחלט בא המפץ, ובסוף יהיה אין מוחלט.

תוספות:

• בראשית באתר אש התורה
• על הילברט
• [5]

מרחב-זמן

• 4-ממדים: ארבעה ממדים
• התכווצות פיצג'רלד-לורנץ הוצעה כבר, אבל איינשטיין העמיד על בסיס עיוני: תוצאה של הגאומטריה של המרחב-זמן.
• ניוטון היה כרסמן, לא בלען.
• פרדוקס התאומים: שם לא מוצלח להדגמה ש(במרחב לא-אוקלידי?) קו ישר הוא המרווח (interval) הארוך ביותר, לא הקצר, בין שני אירועים.
• ביטוי מסה, אורך וזמן ביחידות אורך: מסה = ${\frac {Gm}{c^{2}}}$, זמן = t × c². ביטול השימוש בקבוע המסתורי G; זה מרמז ש"כוח הכובד" הוא מלאכותי, ו-G מופיע לא משום שיש לו משמעות בסיסית, אלא סתם כי בחרו להשתמש ביחידה מוזרה (ק"ג) למדידת מסה, במקום ביחידה ה"טבעית" - אורך; עמוק מזה: בביטוי כל הגדלים במונחי אורך, מגיעים לתיאור שבו השפעת המסה על המרחב-זמן הופכת להיות ענף של גאומטריה.
• עקמומיות, איטואיטיבית: במרחב, היא היחס בין הפרש זויות כתוצאה מהליכה במסלול, לבין השטח שמקיף המסלול. דוגמה לעיקום מרחבי (ב-2 ממדים, המוכל במרחב 3-ממדי): כשמקיפים שמינית של שטח פני כדור (שבין הקוטב לבין 90 מעלות מתוך קו-המשווה), מתקבלת העקמומיות:

${\frac {\pi /2}{1/8\cdot 4\pi r^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}$. כללית: עקמומיות#טנזור העקמומיות של רימן, שהוצג בהרצאתו המפורסמת ב-1854. (מוקדם מאד?)

• תורת היחסות הכללית#משוואת השדה של איינשטיין:

$R_{\mu \nu }-{g_{\mu \nu }R \over 2}=8\pi {G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$ או: סכום מומנטי-הפיתול של פאות כל הקוביות-3 = מכפלת התנע-אנרגיה בתוך הקוביות, ב-8π. מציאת פתרונות היא קשה, אך תוך מספר חודשים אחרי ניסוחה (1915) מצא קרל שוורצשילד פתרון לאזור שמחוץ למסה כדורית, ופתרון לאזור שבתוך מסה כדורית אחידה.

• תורת כבידה קוונטית: איחוד, שעדיין לא קיים (2015). מאפיינים שלה:
  • בניגוד לתפיסה ה"מיושנת" של מרחב-זמן רציף, אין "זירה" של ארועים; יש אוסף של ארועים שמגדירים את היקום.
  • המרחב-זמן נעלם בקנה מידה קטן של אורך פלאנק: (${\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}=1.61624\cdot 10^{-35}\,m$), והופך ל"קצף" של ארועים.
  • כפי שיש האפס המוחלט, יש מקסימום מוחלט של טמפרטורה: כ-$10^{32}$ קלווין, אז המרחב-זמן "מותך".
• הגאומטריה היא החותם המוטבע של סיבתיות הארועים.

אריתמטיקה

• סימני פעולות:
  • ג'ון ואליס סבל מנדודי שינה, אולי לכן השתמש בסימן האינסוף.
  • רקורד (Recorde) שהביא את האלגברה לאנגליה, המציא את '=' (עמ' 401). בספרו "משחזת התבונה", 1557: ראשוניים: 1 הוא "ראשוני של כבוד", 402
• יש אינסוף ראשוניים, אוקלידס כבר ידע את זה. השערה: יש גם אינסוף ראשוניים תאומים. סטניסלב אולם (Ulam) גילה את הספירלה שלו; גם עסק בפיתוח פצצת המימן, יחד עם טלר.
• השערת גולדבך: כל זוגי הוא סכום של שני ראשוניים (לא הופרכה ולא הוכחה); השערה נוספת שלו: כל אי-זוגי הוא סכום של 3 ראשוניים; וינוגרדוב הוכיח חלקית (למספרים גדולים).
• אי-רציונליים: התגלו ע"י האסכולה הפיתגוראית, שהאמינו ב:אי-השתנה מול השמש, בחיים צנועים ובצמחונות פרט לשעועית (שרק חיידקי-קולי במעיים יכולים לפרק, בתהליך שמשחרר פחמן-דו-חמצני ומימן...), וגם ביחסים הרמוניים בין שלמים – עד שהתגלה ששורש 2 אינו רציונלי (ליתר אין מידה משותפת עם הניצב). היום ידוע ש-$e^{\pi }$ אי-רציונלי, אבל לא ברור אם גם $\pi ^{e}$ .
• משפט לוונהיים-סקולם (ניסוח חופשי, לא מדויק): כל תחום ידע (שיטתי?) שניתן לניסוח פורמלי ע"י מערכת אקסיומות, ניתן להמחשה ע"י אריתמטיקה. אטקינס: זה עוצר נשימה!
• מספר טרנסצנדנטי (רוב עצום של המספרים); גלפנד הוכיח ש-$a^{b}$ טרנסצנדנטי אם a אלגברי, ו-b אלגברי ואירציונלי. הטבעיים, וגם הרציונליים (קנטור הראה, ע"י האלכסון) ואפילו האלגבריים – כולם בני-מניה. הטרנסצנדנטים הם שהופכים את הממשיים לרבים מהם בהרבה. אטקינס: הטבעיים מפוזרים כל-כך בדלילות, פלא שאנחנו יכולים בכלל לספור!
• גאורג קנטור: עוצמת הרציונליים שווה לעוצמת הטבעיים; האירציונליים "גדולים" יותר: ההוכחה (1874) ע"י שימוש בטבלה דו-מימדית, ובניה על האלכסון של מספר רציונלי, שלא נמצא בשום שורה בטבלה. עניינו היה בשוליים של המחקר המתמטי, ולכן היה נתון בתעוקה, והחל לסבול מהפרעות נפשיות, בין היתר ממורו המשפיע, לאופולד קרונקר (שהתנגד לעיסוק באי-רציונליים בכלל). התקרב לדת, האמין שקבוצות אינסופיות הן ישויות אלוהיות שמינו אותו לגלות אותן לעולם. סיים את חייו במוסד? אומרים שהשתגע, ייתכן כי ניסה להוכיח את השערת הרצף (שהתברר ב-1936 שלא ניתן להוכיח). סימן את עוצמת הטבעיים כ-$\displaystyle \aleph _{0}$ , וניסה להוכיח שעוצמת הממשיים שווה ל-$\displaystyle \aleph _{1}$ (?). בכל מקרה, הראה שמספר הנקודות בכל הקוים, קצרים וארוכים – שווה; וגם בכל המישורים ובכל המרחבים! לכן כנראה קרונקר חשש מאד מכניסה אל "גן-העדן של קנטור" (הגדרה של הילברט).
• תורת הקבוצות פותחה מסוף המאה ה-19, ע"י קנטור, ואחריו גוטלוב פרגה, ג'וזפה פאנו. הייתה הבסיס להגדרת המספר. פאנו ניסה לרכז את כל המשפטים של המתמטיקה בספר Formulario Mathematico, שנכתב ב-Latino sine flexion, גירסה של לטינית פשוטה, ללא דקדוק. היה הגיוני באופן קיצוני. היוונים לא ידעו לייצג מספרים ביעילות (בניגוד לצורות גאומטריות), 0 ו-1 לא היו מספרים בעיניהם, כי לא היו "ריבוי". פאנו קבע אקסיומות: 0 הוא מספר; הוא אינו עוקב של שום מספר; העוקב של מספר הוא מספר; אין שני מספרים בעלי אותו עוקב; כל תכונה שיש ל-0, וגם לעוקב של כל מספר עם התכונה הזאת – היא תכונה של כל המספרים. זהו עקרון האינדוקציה מתמטית.
• מי שהגדיר את המספר באופן מדויק היה פרגה, בספרו Grundlagen der Arithmetik, 1884. המשיכו את הפיתוח: ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל, ממייסדי מכון איינשטיין למתמטיקה [6] בהאוניברסיטה העברית בירושלים. גירסה מודרנית של התורה ידועה כתאורית צרמלו-פרנקל, ZF.
• פרגה זיהה את המתמטיקה עם הלוגיקה; אך ב-1902, ממש כשרצה לשלוח את חיבורו Grundgesetze der Arithmetik ("חוקי היסוד") לדפוס, קיבל מכתב מפורסם מברטראנד ראסל, שהראה לו חוסר עקביות: קבוצות שאינן כוללות את עצמן מביאות לסתירה. האנטינומיה הרסה את פרגה.

ראסל בעצמו כתב את "עקרונות המתמטיקה", ויחד עם מנחהו אלפרד נורת' וייטהד ניסו לייסד לוגיקה שתכלול את כל המתמטיקה כתת-תחום. ספרם Principia Mathematic הופיע ב-3 כרכים 1910-1913; כרך רביעי על גאומטריה לא הופיע. ההוכחה ש-1+1=2 אורכת מספר עמודים. ראסל בנה את תורת הטיפוסים: כל קבוצה יכולה לכלול רק אברים מטיפוס "נמוך" יותר; ואח"כ את "המסועפת" כדי להתגבר על כל הפרדוקסים. אקסיומת הבחירה: "כבשה תמימה" הקובעת שניתן ליצור קבוצה ע"י בחירה של אברים מקבוצות שונות. היא מתגלה כ"זאב טורף", כשמתברר שלא ניתן להפעיל אותה על קבוצות אינסופיות. יש 3 גישות: "היען המתמטי", כולל אנשי מדעים פיסיקליים: להתעלם; "עובדי הרווחה": מכירים בבעיה, ונמנעים משימוש באקסיומה ככל יכולתם, תוך התפתלויות; "הקדושים": כל הוכחה המסתמכת עליה לא תקפה.

• אם כך, המתמטיקה אינה סניף של הלוגיקה. נסיון לגלות מה היא עוד כוללת: עמנואל קאנט יצר הבחנה בין טענות אנליטיות (לא מוסיפות מידע חדש) – לסינתטיות (הטענה, פרדיקט, לא כלולה בנושא); טענות סינתטיות מחולקות לאפריורי ולאפוסטריורי. קאנט: רק טענות סינתטיות אפריורי יש לחקור ע"י פילוסופיה. ביניהן טענות מתמטיות שנכונותן מובנית בתוך מוחנו. רעיון כזה, שהמספרים הטבעיים מתארים מציאות אמיתית (?) פיתח לויצן אגברטוס יאן בראואר: אינטואיציוניזם. הוא אמנם נטש את השקפת קאנט, שהגאומטריה האאוקלידית היא סינתטית אפריורי (הגם שהתברר שיש לה תחליף חסר-סתירה), אך הסכים שהמתמטיקה היא חקר המרחב והזמן. לדעתו, מספרים נוצרים מתוך סריקה של פריטים בזמן. פעולות האריתמטיקה הן גילום של תהליכים במוחנו. בעיות בהשקפה זו: אין התייחסות עקבית לקבוצות אינסופיות; ועקרון השלישי הנמנע, שניסח פרמנידס ואריסטו קיבל כעמוד תווך של הלוגיקה – אינו תקף. לכן אין אפשרות להשתמש בהוכחה בדרך השלילה (Reductio ad absurdum).
• דויד הילברט, הציג בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים בפריז (1900) 10 בעיות מעניינות, שאח"כ (בכתב) מספרן גדל ל-23. הראשונה: השערת הרצף. השניה: אקסיומות האריתמטיקה לא מובילות לסתירה (ש-גדל הפריך). ה-10: בעיית ההכרעה, הופרכה ע"י אלן טיורינג ואלונזו צ'רץ'.

הילברט פיתח גישה פילוסופית למתמטיקה: פורמליזם ("הצרנה"). לפיה, המתמטיקה היא רק היחסים הפורמליים (מבוטאים בנוסחאות על פי חוקים מוגדרים) בין סימנים מוסכמים, והיא חסרת משמעות; רק הפרשנות עליה, המטא-מתמטיקה, מעניקה משמעות. מושפע מקאנט, הוא ניסה להוכיח את טענה 2, ובכך לבסס את כל המתמטיקה רק על הגדרותיה הפורמליות. קורט גדל הוכיח, שלא ניתן לעשות זאת, משפטי האי-שלמות של גדל. יש טענות, שמערכת האקסיומות שתחתן לא מאפשרות להוכיח ולא להפריך. המתמטיקה לא שלמה! באמצעות מכונת טיורינג, הוא הוכיח שלא ייתכן אלגוריתם שיקבע אם כל מכונה יכולה להכריע או לא. השיטה דומה מאד להוכחה של קנטור: על האלכסון של טבלת על המכונות האפשריות, בנייה של מכונה חדשה שלא נמצאת בשום שורה.

• אסכולה נוספת, ריאליזם אפלטוני: מתמטיקה היא יותר מסתם פורמליזם, וגם יותר מאינטואיציוניזם. המושגים קיימים במציאות, גם אם לא ידועות ההוכחות לטענות (?).

אטקינס: המתמטיקה שרדה 3 משברים גדולים:

1. היוונים גילו שיש מספרים שאינם קומנסורביליים ביניהם, ולכן יש אי-רציונליים; זה ערער את האסכולה הפיתגוראית.
2. החשבון דיפרנציאלי, ושהטיפול במספרים קטנים לאינסוף אינו לגיטימי.
3. האנטינומיות של תורת הקבוצות

בכל זאת, רוב המתמטיקה נראה תקף ותקין, יש לו הצלחות מוכחות, והוא שימושי מאד. אטקינס: אני קאנטיאני-חדש, וגם קצת יווני-עתיק, בכך שאני מרגיש שמוחנו התפתח כדי להתאים לתפיסה פשוטה של המציאות: מספרים טבעיים, 3 מימדים, גאומטריה אאוקלידית בלבד. זוהי גישה "סטרוקטורליסטית", אולי ברוח נועם חומסקי. יש הסבורים, שמוחנו מסוגל לעבד גם פעולות לא-אלגוריתמיות; למשל, רוג'ר פנרוז: המודעות היא מנגנון קוונטי לא-מקומי. אבל, אולי מתוך האין נוצר יקום, מדע וכל אשר בו, ועדיין האין מקיף אותנו. אולי אין מציאות חומרית מלבד המתמטיקה המתארת אותה. הוא מכנה תפיסה כזאת אפלטוניזם קיצוני, "אולטרה נאו-פלטוניזם", או "סטרוקטורליזם עמוק." החל מכאן בערך, אטקינס מתחיל להתרגש מאד ולהיסחף לבליל של פילוסופיה עמומה, אז אפשר לעצור כאן.

עתיד ההבנה

• התאוריה של הכול, לקראת איחוד תורת כבידה קוונטית: "מתחילה להופיע ההשקפה, שההיבטים הממשיים היחידים של המרחב-זמן הם היחסים בין אירועים." זה יהיה שינוי פרדיגמה -
• אטקינס: במאה ה-20 התרחש מהפך עמוק בהבנתנו את המציאות. המדע עשה 3 מהפכות במאה שנה, ויעשה עוד לפחות פעם, כנראה פעמיים, ואולי יותר.
• לקראת חיקוי (Emulation) של מודעות ע"י מכונה: "ייתכן שהחייזרים היחידים שאי-פעם נפגוש יהיו אלה שנבנה בעצמנו."

שינויי פרדיגמות עכשוויים יותר:

1. בגלל התפתחות החישוביות, יש נטייה לפתרונות מספריים, שמחשב יכול למצוא, וזה מרחיק אותנו מן ההבנה. (טכנולוגיה פוגעת באיכות החיים!) פתרון אנליטי מבטא הבנה; פתרון מספרי עדי על אין פתרון, אבל יש נתק בהבנה. ...(אמנם) ניתן לנצל כיום גרפיקה להצגת תוצאות. "אנו מצויים בעיצומו של מעבר מראיית היופי שבפתרון אנליטי נאה, לראיית היופי שבהצגה נאה של פתרון ממוחשב."
2. במקרים מסויימים, המדע מוותר על סממנו העיקרי: ניסוי; בגלל: אי-אפשרות (תורת המיתרים); יש רק יקום אחד. בהצדקה פחותה: הברירה הטבעית - נכון שאין ניסויים, לא נכון שאין ראיות אמפיריות.

נספחים

זהות של מדענים

• רוג'ר פנרוז, מתמטיקאי רב-דמיון ואמן ההמחשה: העלה רעיון של תרומה כבידתית לאנטרופיה; בסינגולריות הסופית ("הריסוק הגדול"), ייתכן מבנה מרחב-זמן מורכב כל כך, שאי-הסדר יהיה גדול מהאנטרופיה הנמוכה של הסינגולריות.
• בנג'מין תומפסון , הרוזן מרמפורד, הממציא, הפוליטיקאי, רודף הנשים, החייל, הצבוע, הרפורמיסט והמרגל: ניתן לייצר חום, ומכאן שאין קלוריק.
• ורנר הייזנברג החידתי; ארווין שרדינגר, אוסטרי נמרץ עד רגשנות, וסגנון חיים חריג: מכניקת המטריצות ומכניקת הגלים, התכונות הדינמיות של חלקיקים
• ויליאם הרשל, נגן אבוב במשמר של ממלכת הנובר שהפך לאסטרונום המלכותי של ג'ורג' השלישי, מלך הממלכה המאוחדת (משושלת הנובר, הראשון שדיבר אנגלית ושלא היה בהנובר): הרחיב את מספר הכוכבים הידוע, לפני האהבל .
• אלכסנדר פרידמן, טייס, איש כדורים-מעופפים ומטאורולוג: מצא את המשווואות שמתארות את שינוי קנ"מ היקום בתלות בצפיפות (אחריו עשה זאת ז'ורז' למטר, שהוביל לתאורית המפץ הגדול).
• מתנגד המשטר אנדריי סחרוב: הציע פתרון לבעיית החוסר באנטי-חומר, אבל לא מצא מנגנון ליישומו.
• פייר דה פרמה: שופט זוטר, מתמטיקאי חובב (ומבריק)
• יו אוורט : אנליסט מחקרי נשק, מעשן כבד (ובעל משקל עודף, מת מהתקף לב בגיל 51 אחרי שהאמין בחיי-נצח קוונטיים), מיליארדר שנהג בקאדילק מצועצעת; הציע את פרשנות העולמות המרובים.
• עמנואל קאנט: בן הרצען, המסובך אך רב ההשפעה מבין הפילוסופים במאה-18, שמעט דם סקוטי בעורקיו; מעולם לא עזב את קניגסברג, פרוסיה המזרחית (כיום קלינינגרד, רוסיה). ספרו Kritik der reinen Vernunft מ-1781.
• דויד הילברט: רקדן מעולה וחובב נשים; יליד קניגסברג - כמו קאנט וגודלבך.
• גאורג פרדיננד לודוויג פיליפ קנטור: בן לאב דני ואם רוסית, שניהם ממוצא יהודי; גדל ברוסיה, גר בגרמניה.

שלי

• לויצן אגברטוס יאן בראואר: תמך במחתרת ההולנדית נגד הנאצים, וסייע לתלמידיו היהודיים. אבל גם תמך בחתימה על הצהרת נאמנות לגרמניה, לטענתו כדי שתלמידיו יסיימו את לימודיהם; הושעה למספר חודשים.
• שרדינגר: חזר לאוסטריה ב-1936

מותם של מדענים

• תאלס ממילטוס (546 לפה"ס): סיבת המוות לא ידועה, משערים שמשבץ; (נפל אל מותו?) לאחר שגילה מאובנים של צדפות בראשי הרים, וגם הגיע למסקנה: ”הכל מים”.
• האל-בחסד-עצמו, אמפדוקלס (הראשון לזהות אבולוציה? 430 לפה"ס): הפגין את אלוהותו בכך שהשליך עצמו אל לועו של ההר אטנה.
• לודוויג בולצמן (1906): תלה את עצמו, לאחר שהבחנותיו על תרמודינמיקה והאנתרופיה, לא התקבלו (בעיקר: ויכוחו עם אנרי פואנקרה).
• הנרי מוזלי (1915): פיתח שיטה (חוק מוזלי לקביעת מספר אטומי עפ"י אורך הגל של קרינת X; ויתר על משרת מחקר באוקספורד, התגייס לחיל ההנדסה של צבא הבריטי, ונהרג בגיל 27 (מכדור של צלף טורקי) במערכת גליפולי.
• על מוזלי כתב המשורר וילפרד אוון, שבעצמו נהרג באותה מלחמה: ”לי האומץ, ובידי התעלומה, בי החכמה, ובידי השליטה”.
• אנטואן לבואזיה (1794): היה גובה מיסים וחבר האקדמיה הצרפתית למדעים, די ליברלי, בזמן המהפכה הצרפתית. ככזה, נחשב לחלק מהאליטה ונידון למוות. בערעור, קבע השופט: "הרפובליקה לא צריכה גאונים (או: מדענים)". ז'וזף לואי לגראנז' אמר: "לראש הזה נדרשה שנייה אחת כדי ליפול, אך מאה שנים לא יפיקו עוד אחד שכזה". אחרי שנה וחצי זוכה בידי הממשלה הצרפתית, וחפציו הועברו לאלמנתו, עם פתק: "לאלמנתו של לבואזיה, שהורשע בשוגג".
• פרד הויל (2001): הובא למנוחות בחשאי, כמו תאוריית המצב היציב שלו.
• קרל שוורצשילד (1916): מת ממחלת עור נדירה שקיבל בצבא, זמן קצר אחרי שמצא פתרונות למשוואת איינשטיין.
• ברנהרד רימן (1866): מת משחפת בגיל 40 (טרגי?)
• סאדי קרנו (1832): שרד ילדות אחרי ששני אחיו הגדולים (שנקראו סאדי) מתו בילדותם. אושפז במוסד סגור עם הזיות ומניה, ומת מכולרה בגיל 36 (בגלל המחלה כל חפציו נקברו איתו, ולכן רוב מאמריו אבדו), והונצח במנוע קרנו.

• קורט גדל (1978): נולד ב-ברין שבקיסרות האוסטרו-הונגרית (כיום: ברנו ברפובליקה הצ'כית), שם ערך גרגור מנדל את ניסויי התורשה באפונים. לא היה יהודי, אך שנא את הנאצים והיגר לארה"ב, בפרינסטון היה לחבר טוב של איינשטיין, ומצא פתרון בלתי-צפוי למשוואות שלו, פתרון שמאפשר כביכול מסע לאחור בזמן. נשא לאישה רקדנית גרושה, שסבלה מיחס סנובי. פיתח פרנויה מאויבים מדומים, סרב לאכול ומת מתת-תזונה.
• פרנסיס בייקון (1626): בדק בניסוי אם אפשר לשמר בשר תרנגול ע"י מילוי בשלג; מת מדלקת ריאות.

שלי

• לויצן אגברטוס יאן בראואר (1966): נהרג בתאונת דרכים.

עמיתים

ריצ'רד דוקינס

רשימה

• "האדם, כלומר: הגבר היהודי (וגם פילוסופים יוונים מצטיינים)" - תומר פרסיקו, בלוג
• צבי ינאי, הם היו עשרה, באתר הארץ, 1 בספטמבר 2008

הערות שוליים

שגיאות פרמטריות בתבנית:הערות שוליים
פרמטרים [ טורים ] לא מופיעים בהגדרת התבנית