לדלג לתוכן

קרל פרידריך גאוס – הבדלי גרסאות

←‏תורת המספרים: הרחבה קלה על הקשר בין חוק ההרכבה ל"חבורת המחלקות". מקווה שלא הארכתי יתר על המידה.
מ (הוספת קישור לאחזקת הבית)
(←‏תורת המספרים: הרחבה קלה על הקשר בין חוק ההרכבה ל"חבורת המחלקות". מקווה שלא הארכתי יתר על המידה.)
בהקשר זה של הפן האנליטי יותר של עבודתו בתורת המספרים, גאוס הכיר גם את הטכניקות המתמטיות הקריטיות להוכחת [[משפט ארבעת הריבועים של יעקובי]]; הזהות שמקיימת החזקה הרביעית של פונקציית תטא, אשר בה השתמש יעקובי להוכחת המשפט, מופיעה באחד מכתביו הלא מפורסמים על [[פונקציה אליפטית|פונקציות אליפטיות]], כשלצידה מופיעה הערה על הצגת מספר כסכום של ארבעה ריבועים. המשפט הזה זכור ב[[היסטוריה של האריתמטיקה|היסטוריה של תורת המספרים]] כדוגמה הראשונה של שימוש ב[[תבנית מודולרית|תבניות מודולריות]] להוכחת תוצאה בתורת המספרים. במקרה זה המחלוקת אינה האם הוא הכיר את טכניקות ההוכחה של המשפט, אלא האם הוא עשה את הדדוקציה הספציפית של הנוסחה המפורשת של יעקובי מהזהויות שגזר (הנוסחה של יעקובי לא מופיעה בכתביו באופן מפורש), אף על פי שזה סביר למדי, שכן זו נובעת בנקל מעבודתו.
 
אחד החלקים העמוקים והטכניים ביותר בכל "מחקרים אריתמטיים" הוא החלק שבו בונה גאוס את חוק ההרכבה של [[תבנית ריבועית בינארית|תבניות ריבועיות בינאריות]] – אותו הוא מציג במאמרים 234–244 של הפרק החמישי של ספרו. "הרכבה" של תבניות ריבועיות בינאריות היא פעולה מתמטית שמקבלת שתי תבניות ריבועיות בינאריות <math>f_1,f_2</math> ומחזירה תבנית שלישית כזאת <math>f_3= f_1\circ f_2</math> באופן כזה שאוסף המספרים המיוצגים על ידי התבנית <math>f_3</math> (כתבנית מעל השלמים) מורכב ממכפלות כל זוגות השלמים (''n'',''m'') כאשר ''n'' הוא מספר שמיוצג על ידי <math>f_1</math> ו-''m'' מיוצג על ידי <math>f_2</math>. למשל, ההרכבה של התבניות <math>4u^2 + 3uv + 5v^2</math> והתבנית <math>3r^2 + rs + 6s^2</math> היא{{הערה|[https://dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/QuadForms4PiInSky.pdf]}} התבנית <math> 2x^2 + xy + 9y^2</math>, כאשר ''x'' ו-''y'' מחושבים כך: <math>x = ur-3us-2vr-3vs, y = ur + us + vr - vs</math>. גאוס הוכיח שהרכבה כזאת תמיד ניתנת לביצוע.: למעשה,תחילה ההגדרההראה שלושניתן כלליתתמיד יותרלהרכיב מאשרתבניות ריבועיות בינאריות מאותה דיסקרימיננטה ''D''{{הערה|בדוגמה זו,הקודמת שכןשתי התבניות הללו הן בעלות דיסקרימיננטה זהה 71-.}}, ואילוולאחר גאוסמכן הגדירהתקדם מעבר לכך והגדיר חוק הרכבה כללי, המאפשר להרכיב אף תבניות לא פרימיטיביות ובעלות דיסקרימיננטה שונה. החוק שבנה חשף מבנה נסתר ואלגנטי בתורת התבניות הריבועיות הבינאריות, ואחת המסקנות ממנו היא הקביעה שאוסף מחלקות השקילות של תבניות ריבועיות בינאריות מדיסקרימיננטה ''D'' מהווה [[חבורה אבלית]] סופית ביחס לפעולת ההרכבה! חבורה זו נקראה בהמשך המאה ה-19 בשם "חבורת המחלקות" <math>\mathbb{Cl}(D)</math>. חוק ההרכבה שלו עמד בליבה של התאוריה החישובית של תבניות ריבועיות במשך מאתיים שנה, וההכללה הראשונה שלו לתבניות מסדר שלישי ורביעי ניתנה בסדרת מאמרים מ-2004 של זוכה [[מדליית פילדס]] [[מנג'ול בהרגבה]].
 
בהקשר זה של הפן האלגברי של עבודתו האריתמטית, הוא הוכיח גם{{הערה| Zur Theorie der complexen Zahlen [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/pdfcache/PPN23599524X/PPN23599524X___LOG_0056.pdf]|כיוון=שמאל}} את המקרים n = 3 ו-n = 5 של [[המשפט האחרון של פרמה]]. גאוס פיתח הוכחה אלטרנטיבית אלגנטית למקרה n = 3 של המשפט האחרון, שהייתה בהירה יותר מההוכחה שניתנה על ידי אוילר. באמצעות פיתוח שיטתי של תכונות ה[[שדה ציקלוטומי|שדה הציקלוטומי]] השלישי <math> Q(\zeta_3)</math> (כאשר <math> \zeta_3 = e^{2\pi i/3}</math>) ו[[נסיגה אינסופית|שיטת הנסיגה האינסופית]] של אוילר ו[[פייר דה-פרמה|פרמה]], הוא הוכיח את אי הפתירות של המשוואה <math>x^3 + y^3 + z^3 = 0</math> במספרים שלמים מרוכבים; אף על פי שהתוצאה שלו הייתה כללית יותר, ההוכחה נתגלתה כברורה ופשוטה יותר מאשר במקרה הממשי. אף על פי שההוכחה שלו מובילה לאסטרטגיה שמצליחה בעבור ערכים אחרים של n, הוא מעולם לא העסיק את עצמו עם המשפט באופן שיטתי משום שלא החשיב את ההתמקדות בו למועילה במיוחד לעתיד ענף תורת המספרים.